52.立体几何（二面角1） 2022届高三数学一轮复习大题练

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（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
（Ⅰ）证明：因为平面平面，平面平面，平面，
，所以平面；
又因为平面，
所以；
（Ⅱ）解：因为，，所以．
由（Ⅰ）得平面，所以，
所以、、两两垂直．
以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，0，，，0，，，2，，，2，；
因为平面，所以平面的一个法向量是，0，．
而，0，，，2，，
设平面的一个法向量为，，，
则由，得；
取，有，，，
所以，．
由题知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
2．如图（1），在四棱锥和四面体中，四边形为矩形，两个和△全等，△为等边三角形，且，棱锥的四条侧棱相等，平面．现将两个几何体中的和△重合，构成一个新的几何体，如图（2），并且．
（1）证明：点为两个平面和平面的一个公共点；
（2）求平面与平面所成角（锐角）的余弦值．
解：（1）证明：如图（2），，，，、平面，
平面，
如图（1），平面，又如图（2）中，与△重合，
平面，，
，，，四点共面，即点在平面内，
，，
，，，四点共面，即点在平面内，
为平面与平面的一个公共点．
（2）在平面中，作，
如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，0，，，，，，0，，，，，
平面平面，，1，是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，，，
，，，，0，，
，取，得，
记平面与平面所成角为，
则，
平面与平面所成角（锐角）的余弦值为．
3．在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，，点在棱上，点是的中点，且满足．
（1）证明：平面；
（2）若是的中点，求二面角的正弦值．
解：（1）证明：底面为平行四边形，
，，，点在棱上，点是的中点，
，，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，，，0，，，0，，，，，，，，，0，，
，，，，，，，，，
，，
，，、平面，
平面．
（2）设，是的中点，
，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，
，，，，，，
，，解得，
，，，，，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，0，，
设二面角的平面角为，
则，
二面角的正弦值为．
4．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，且BC＝BD，DD1⊥平面ABCD，AA1＝1，BE⊥CD于点E．
（1）试问在线段A1B1上是否存在一点F，使得AF∥平面BEC1？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由；
（2）在（1）的条件下，求平面ADF和平面BEC1所成锐二面角的余弦值．
解：（1）当F为线段A1B1的中点时，AF∥平面BEC1．
证明如下：取AB的中点G，连接EG，B1G，则FB1∥AG，且FB1＝AG，
∴四边形AGB1F是平行四边形，∴AF∥B1G，
∵BC＝BD，BE⊥CD，∴E为CD的中点，
又G为AB的中点，AB∥CD，AB＝CD，
∴BG∥CE，且BG＝CE，
∴四边形BCEG为平行四边形，∴EG∥BC，且EG＝BC，
∵BC∥B1C1，BC＝B1C1，∴EG∥B1C1，EG＝B1C1，
∴四边形EGB1C1是平行四边形，
∴B1G∥C1E，∴AF∥C1E，
∵AF⊄平面BEC1，C1E⊂平面BEC1，
∴当F为线段A1B1的中点时，AF∥平面BEC1．
（2）连接DG，∵BD＝BC＝AD，G为AB的中点，∴DG⊥AB，
∵AB∥CD，∴DG⊥CD，
∵DD1⊥平面ABCD，DC，DG⊂平面ABCD，∴DD1⊥DC，DD1⊥DG，
∴DG，DC，DD1两两垂直，以D为原点，DG，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
由题意得BD＝BC＝CD＝AB＝AD＝2，∴∠DAB＝∠BDC＝60°，
∵AA1＝1，∴D（0，0，0），A（，﹣1，0），D1（0，0，1），A（，﹣1，0），
D1（0，0，1），E（0，1，0），C1（0，2，1），B（，1，0），F（，0，1），
＝（，0，0），＝（0，1，1），＝（，﹣1，0），＝（，0，1），
设平面BEC1的法向量＝（x，y，z），
则，取z＝1，得＝（0，﹣1，1），
设平面ADF的法向量＝（a，b，c），
则，取a＝1，得＝（1，），
设平面ADF和平面BEC1所成锐二面角为θ，
则平面ADF和平面BEC1所成锐二面角的余弦值为：
csθ＝＝＝．
5．如图，四边形为正方形，，，，
（1）求证：点不在平面内；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值．
解：（1）证明：（反证法）假设点在平面内，
设，，，四点确定平面，
四边形为正方形，，
平面与平面不重合，平面，
平面，平面，
平面，平面平面，，，
、中直角梯形的两腰，不可能平行，故假设不成立，
点不在平面内．
（2）设，连接，在直角梯形中，过点作于，
，为的中点，，
，，，，
四边形为正方形，，
平面平面，平面平面，
平面，，
以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
取，则，0，，，2，，，1，，，0，，
，，，，1，，，1，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，3，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设二面角的平面角为，
则，
二面角的余弦值为．
6．如图，四棱锥中，平面，四边形是边长为2的正方形，是等腰直角三角形，为棱上一点，且．
（1）当时，证明：直线平面；
（2）当时，求二面角的余弦值．
（1）证明：连接交于，连接，
因为四边形是正方形，所以为的中点．
因为，所以为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为平面，四边形是边长为2的正方形，是等腰直角三角形，所以．
以为原点，分别以射线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，0，，，2，，，0，，
由可得，
因为平面，所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，因为，，
所以，
取，得，，所以，
所以，
因为二面角为锐二面角，
所以二面角的平面角的余弦值为．