49.立体几何（线面角1） 2022届高三数学一轮复习大题练

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（Ⅰ）求异面直线BE与GH所成角的余弦值；
（Ⅱ）求直线DF与平面BCD所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）因为AE⊥底面ABC，所以AE⊥AC，
在平面ABC以AC的垂线为x轴，AC，AE所在直线为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（，﹣1，0），C（0，4，0），E（0，0，2），D（0，2，2），F（，﹣，1），G（0，3，1），H（0，2，0），
由于＝（﹣，1，2），＝（0，﹣1，﹣1），
则cs＜，＞＝＝＝﹣，
故异面直线BE，GH所成角的余弦值为；
（Ⅱ）由于＝（﹣，5，0），＝（0，﹣2，2），＝（，﹣，﹣1），
设直线DF与平面BCD所成角为θ，平面BCD的一个法向量＝（x，y，z），
则，即，取x＝5，则y＝z＝，所以＝（5，，），
故sinθ＝＝＝，
故直线DF与平面BCD所成角的正弦值为．
2．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．
（1）证明：与在同一平面内；
（2）已知异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的大小．
（1）证明：连接，，
，分别为，中点，，
，，（3分）
，在同一平面内，设为，则，，，，
，，与在同一平面内．（6分）
（2）解：，为异面直线，所成的角，，
设，则，（7分）
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
所以平面的一个法向量，（10分）
由因为，设直线与平面所成角为，
则，
又，所以．（12分）
3．如图，圆柱的高为3，是圆柱的下底面圆的内接三角形，是上底面圆内的一条弦，，均为圆柱的母线，且，，分别为，的中点．
（1）求证：平面；
（2）若是等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：连接，因为，分别为，的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）解：以底面垂直于的直线为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
若是等边三角形，则可得，0，，，1，，，2，，，2，，
因为，分别为，的中点，所以，，，，，，
则，1，，，2，，，1，，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，则，0，，
设直线与平面所成角为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
4．如图，在四棱锥中，平面，，，，为中点，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
证明：因为，
所以所以．
因为，所以．
因为平面．
因为平面，
所以平面．
（Ⅱ）解：过点作的垂线交于点．
因为平面，
所以，，
所以以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，0，，，2，，，2，，，0，，，，．
因为为的中点，，，．
所以，，，，2，，，2，．
设平面的法向量为，，，则
，令，得，1，．
设直线与平面所成的角为，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
5．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若，当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．
解：（Ⅰ）取，中点，，连接，，．
由，得，，
所以平面．
由，知四边形是平行四边形，则．
由，得平面平面，
所以平面．
（Ⅱ）方法一：
由，
知四边形是以的等腰梯形．
连接，则，平面，
于是点在底面内的射影在上．
取中点，则，
于是当底面时，四棱锥的体积最大．
连接，则．
计算得，，则，
故，
解得，则．
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
方法二：
由，
知四边形是以的等腰梯形．
连接，则，平面，
于是点在底面内的射影在上．
取中点，则，
于是当底面时，四棱锥的体积最大．
如图，以为原点，分别以射线，，为，，轴的正半轴，
建立空间直角坐标系．
由题意得，0，，，，，．
所以，，．
设平面的法向量，
由，得，
取，则．
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
6．如图，在三棱锥中，与是全等的等边三角形，且平面平面．
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
解：（1）取的中点，连接，，
因为三角形为等边三角形，所以，
同理可得，在中，，
又，所以平面，
因为平面，所以；
（2）由（1）可得，，，两两垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴和轴的正方向
建立如图所示的空间直角坐标系，
设的边长为1，
则，0，，，0，，，，，，，，
，，，，，，，0，，
设平面的法向量为，，，
则，即，
令，则，，则，，，
设与平面所成角为，
则，，
所以与平面所成角的正弦值为．