43.立体几何（体积2） 2022届高三数学一轮复习大题练

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（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积．
（1）证明：在四棱锥中，是的中点，是的中点，
所以是的中位线，即，
又平面，平面，所以平面，
因为且，
所以四边形是平行四边形，有，
因为平面，平面，
所以平面，
而，所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）解：连接，，如图所示：
由，
所以的面积为，
又，
所以三棱锥的体积为，
三棱锥的体积为，
所以三棱锥的体积为．
2．如图，在四棱锥中，四边形是梯形，平面，，，，，．
（1）证明：平面；
（2）求三棱锥的体积．
（1）证明：四边形是梯形且，
又，，
又，，可得是等腰直角三角形．
，，
如图，连接交于点，连接．
，
在中，由余弦定理得，
解得，则，故，
又点在棱上，且，，
又平面，平面，
故平面；
（2）解：由（1）知，
在中，，
故，
则，
即．
3．已知四棱锥，其中，，，，平面平面，点是上一点，．
（1）求证：平面；
（2）若是等边三角形，当点到直线距离最大时，求四棱锥的体积．
（1）证明：因为，，则，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，，，平面，
则平面；
（2）解：因为点到直线的距离为，
当时，点到直线的距离最大，此时，
由（1）可知，平面，又平面，
所以，又，，平面，
所以平面，
又为等边三角形，所以，
在中，，，则，
故，所以，
因为，
故，
所以四棱锥的体积为1．
4．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，，分别为，上的点，且，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求四棱锥体积最大时的长．
证明：，，，，．
又平面，平面，平面．
解：，和为底边相同的两个等腰三角形．
取的中点为，连接，，则，，且．平面，
由题得当平面平面时，三棱锥的体积最大，
即四棱锥的体积最大．，，
令，则，，．
令，，
则，
令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
当时，，四棱锥体积的最大值为，
此时．
5．如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，连接，交于点，为的重心．
（1）证明：平面；
（2）若平面底面，平面底面，，，，求四棱锥的体积．
解：（1）证明：延长，交于点，连接
是的重心，是的中点，且，
，，，，
又平面，平面，
平面．
（2）平面平面，平面平面，
，平面，
平面，
平面，，同理，，
，，平面，平面，
为的中点，则到平面的距离，
又为的重心，点到平面的距离满足，
解得．
四边形的面积，
四棱锥的体积．
6．如图，面，四边形是边长为1的为正方形；点在线段上，．
（1）若面，求值；
（2）若面，棱锥体积取得最大值，求四棱锥的高．
解：（1）设．
面，面面，面，
，．
（2）解法一：以为坐标原点，，，所成直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，0，，有，1，，
设，则，，，
面，，
，得：，
因为的底面不变，故即到面的距离取最大值．
到面的距离，
当仅当，即时取最大值．
故四棱锥的高为．
解法二：设．中，作，交于．
面，面，就是到面的距离，
因为的底面不变，所以求四棱锥的高，即求最大时的值．
面，面，．
故在以为直径的半圆上，
当取最大值时，为圆的半径，为圆心．
此时，．