专题21 四边形中的存在性问题

专题21四边形中的存在性问题

1、已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边做正方形ADEF，连接CF．

（1）如图①，当点D在线段BC上时，直接写出线段CF、BC、CD之间的数量关系　   　．

（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他件不变，则（1）中的三条线段之间的数量关系还成立吗？如成立，请予以证明，如不成立，请说明理由；

（3）如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC两侧，其他条件不变；若正方形ADEF的边长为4，对角线AE、DF相交于点O，连接OC，请直接写出OC的长度．

2、如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．

（1）连接GD，求证DG＝BE；

（2）连接FC，求tan∠FCN的值；

（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝3，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断tan∠FCN的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

3、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；

（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；

（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．

4、如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交BC边于点F．

（1）求证：△BEF≌△CDF；

（2）连接BD、CE，请探究：当∠BFD与∠A之间满足怎样的数量关系时，能使四边形BECD成为矩形？为什么？

5、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AD边上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连接BE，CF．

（1）求证：△BDF≌△CDE．

（2）若DE＝BC，求证：四边形BECF是正方形．

6、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（5，0）在x轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，对角线OB＝OA，BC交y轴于点D，且S▱OABC＝20．

（1）如图①，求点B的坐标：

（2）如图②，点P在线段OD上，设点P的纵坐标为t，△PAB的面积为S，请用含t的式子表示S；

（3）在（2）的条件下，如图③，点Q在x轴上，点R为坐标平面内一点，若∠OCB﹣∠CBP＝45°，且四边形PQBR为菱形，求t的值并直接写出点Q的坐标．

7、已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝6．

（1）如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H．求证：△ADP≌△HCQ；

（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．

8、已知：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AB＝10，点P，E，F分别是AB，AC，BC上的动点，且AP＝2CE＝2BF，连结PE，PF，以PE，PF为邻边作平行四边形PFQE．

（1）当点P是AB的中点时，试求线段PF的长．

（2）在运动过程中，设CE＝m，若平行四边形PFQE的面积恰好被线段BC或射线AC分成1：3的两部分，试求m的值．

（3）如图②，设直找FQ与直线AC交于点N，在运动过程中，以点Q，N，E为顶点的三角形能否构成直角三角形？若能，请直接写出符合要求的CE的长；若不能，请说明理由．

9、如图，长方形ABCD在平面直角坐标系中，AD∥BC∥x轴，AB∥DC∥y轴，x轴与y轴夹角为90°，点M，N分别在xy轴上，点A（1，8），B（1，6），C（7，6），D（7，8）．

（1）连接线段OB、OD、BD，求△OBD的面积；

（2）若长方形ABCD在第一象限内以每秒0.5个单位长度的速度向下平移，经过多少秒时，△OBD的面积与长方形ABCD的面积相等请直接写出答案；

（3）见备用图，连接 OB，OD，OD交BC于点E，∠BON的平分线和∠BEO的平分线交于点F．

①当∠BEO的度数为n，∠BON的度数为m时，求∠OFE的度数．

②请直接写出∠OFE和∠BOE之间的数量关系．

10、将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（8，0），点C（0，6）．P是边OC上的﹣一点（点P不与点O，C重合），沿着AP折叠该纸片，得点O的对应点O'．

（Ⅰ）如图①，当点O'落在边BC上时，求点O'的坐标；

（Ⅱ）若点O'落在边BC的上方，O'P，O'A与分别与边BC交于点D，E．

①如图②，当∠OAP＝30°时，求点D的坐标；

②当CD＝O'D时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．

11、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝6，BC＝12．

（1）梯形ABCD的面积等于　   　．

（2）如图1，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．当PQ∥AB时，P点离开D点多少时间？

（3）如图2，点K是线段AD上的点，M、N为边BC上的点，BM＝CN＝5，连接AN、DM，分别交BK、CK于点E、F，记△ADG和△BKC重叠部分的面积为S，求S的最大值．

12、【探索规律】

如图①，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且DF∥BC，EF∥AB．设△ADF的边DF上的高为h1，△EFC的边CE上的高为h2．

（1）若△ADF、△EFC的面积分别为3，1，则＝　   　；

（2）设△ADF、△EFC、四边形BDFE的面积分别为S1，S2，S，求证：S＝2；

【解决问题】

（3）如图②，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，点F，G在BC上，且DE∥BC，DF∥BG．若△ADE、△DBF、△EGC的面积分别为3，7，5，求△ABC的面积．

13、已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10cm，CD＝4cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点C出发，沿DC方向在DC的延长线上匀速运动，速度为1cm/s；当点P到达点B时，点Q停止运动．过点P作PE∥BD，交AD于点E．连接EQ，BQ．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：

（1）连接PQ，当t为何值时，PQ∥AD？

（2）设四边形PBQE的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PBQE的面积为四边形ABQD面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使EQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

14、已知菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，连接PC，在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．

（1）如图，当点P在边AB上，且BP＝3时，求PC的长；

（2）当点P在射线BA上，且BP＝n（0≤n＜8）时，求QC的长；（用含n的式子表示）

（3）连接PQ，直线PQ与直线BC相交于点E，如果△QCE与△BCP相似，请直接写出线段BP的长．