专题24 四边形中的对称综合问题

专题24 四边形中的对称综合问题

1、如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝2，BC＝2，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．

（1）当点E与点C重合时，求DF的长；

（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE＝22.5°，求△DFG的面积；

（3）如果点M为CD的中点，那么在点E从点C移动到点D的过程中，求C′M的最小值．

2、有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝9．

（1）如图1，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）如图2，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK＝3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A′，B′处，小明认为B′I所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由．

3、已知：将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合（点D与D′为对应点），折痕为EF，连接AF、AC交EF于点O．

（1）如图1，求证：四边形AECF为菱形；

（2）如图2，若FC＝2OE，连接DO、D′O，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有等边三角形．

4、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，长方形OABC，点B的坐标为（3，8），点A、C分别在坐标轴上，D为OC的中点．

（1）在x轴上找一点P，使得PD+PB最小，则点P的坐标为　   　；

（2）在x轴上找一点Q，使得|QD﹣QB|最大，求出点Q的坐标并说明理由．

5、如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在P处，折痕为EC，连接AP并延长AP交CD于F点．

（1）求证：四边形AECF为平行四边形；

（2）若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．

6、如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．

（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长

（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，

①求证：EF＝EG．②求AF的长．

（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离为2cm，且BG＝10时，求AF的长．

7、如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．

（1）若∠BEB′＝110°，则∠BEC＝　   　°，∠AEN＝　   　°，∠BEC+∠AEN＝　   　°．

（2）若∠BEB′＝m°，则（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．

（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′．

8、（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，，求证：∠B＝30°，请你完成证明过程．

（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．

（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB＝6，求EF的长．

9、如图，在矩形ABCD中，2AB＞BC，点E和点F为边AD上两点，将矩形沿着BE和CF折叠，点A和点D恰好重合于矩形内部的点G处，

（1）当AB＝BC时，求∠GEF的度数；

（2）若AB＝，BC＝2，求EF的长．

9、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形沿直线EF折叠，使得点A恰好落在边BC上，记此点为G，点E和点F分别在边AB和边AD上．

（1）当BG＝3时，求AE的长；

（2）在矩形翻折中，是否存在FG＝CG？若存在，请求出FG的长，若不存在，请说明理由．

10、综合与实践﹣折纸中的数学

我们在七年级上册第四章《几何图形初步》中探究了简单图形折叠问题，并进行了简单的计算与推理．七年级下册第五章学习了平行线的性质与判定后，我们进行了长方形纸条的折叠与平行线的探究，今天我们继续探究﹣﹣﹣折纸与平行线．

如图1，长方形纸条ABMN中，AB∥MN，AN∥BM．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点A，得到折痕AC，再将纸片展平；第二步，如图2，将折痕AC折到AE处，点B落在B′处；第三步，如图3，将∠NED对折，使点M落在M′处，点N落在N′处，EN′与DB′共线，得到折痕EF．

（1）AC和DE有怎样的位置关系，并说明理由．

（2）折痕AD和EF有怎样的位置关系，并说明理由．

11、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合．

（1）①设BE＝x，则AE＝　   　（用含x的代数式表示）；②求线段BE的长，

（2）求证：AE＝AF；

（3）直接写出线段EF的长．

12、如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，AE是折痕．

（1）如图1，若AB＝4，AD＝5，求折痕AE的长；

（2）如图2，若AE＝，且EC：FC＝3：4，求矩形ABCD的周长．

13、对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点B落在CD边上（如图①），再沿CH折叠，这时发现点E恰好与点D重合（如图②）

（1）根据以上操作和发现，则＝　   　；

（2）将该矩形纸片展开，如图③，折叠该矩形纸片，使点C与点H重合，折痕与AB相交于点P，再将该矩形纸片展开．求证：∠HPC＝90°．

14、已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点E、F分别在边BC、AD上，将四边形ABEF沿直线EF翻折，点A、B的对称点分别记为A′、B′．

（1）当BE＝时，若点B′恰好落在线段AC上，求AF的长；

（2）设BE＝m，若翻折后存在点B′落在线段AC上，则m的取值范围是　   　．