2023年中考复习存在性问题系列正方形存在性问题专题探究讲义

2023年中考复习存在性问题系列    

          正方形存在性问题专题探究

    作为特殊四边形中最特殊的一种，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，是近年来各地中考的热点，其图形复杂，不确定因素较多，解题有一定的难度．因此对此类问题建立解题模型，则可以大大降低学生思维难度。

解题攻略

1. 涉及知识点

（1）有一个角为直角的菱形；

（2）有一组邻边相等的矩形；

（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形

 2. 基本题型

（1）2个定点+2个全动点；

（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;

（3）4个半动点

  3.解题思路

思路1：从判定出发

若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；

若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；

若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．

思路2：构造三垂直全等

若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．

总结：构造三垂直全等的思路仅适合已知两定点的情形，若题目给了4个动点，则考虑从矩形的判定出发，观察该四边形是否已为某特殊四边形，考证还需满足的其他关系．

正方形的存在性问题在中考中出现得并不多，正方形多以小题压轴为主．

典例剖析

例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．

如图，一共6个这样的点C使得以A、B、C为顶点的三角形是等腰直角三角形．

至于具体求点坐标，以为例，构造△AMB≌△，即可求得坐标．至于像、这两个点的坐标，不难发现，是或的中点，是或的中点．

题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．

例1.综合与探究

如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 　（1，2）　；

（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；

（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．

【分析】（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n，解方程即可得出答案；

（2）根据两点之间，线段最短，可知当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，求出直线AB的解析式，即可得出点C的坐标；

（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），表示出DE的长度，利用二次函数的性质可得答案；

（4）分CF为对角线和边，分别画出图形，利用正方形的性质可得答案．

【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得，

，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，

，

∴，

∴直线AB的解析式为y＝x+1，

∵AC+BC≥AB，

∴当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，

∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，

∴当x＝1时，y＝2，

∴C（1，2），

故答案为：（1，2）；

（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），

∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a+4（﹣1＜a＜4），

∴当a＝时，DE的最大值为；

（4）当CF为对角线时，如图，

此时四边形CMFN是正方形，

∴N（1，1），

当CF为边时，若点F在C的上方，

此时∠MFC＝45°，

∴MF∥x轴，

∵△MCF是等腰直角三角形，

∴MF＝CN＝2，

∴N（1，4），

当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形，

同理可得N（﹣1，2），

当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形，

同理可得N（，），

综上：N（1，1）或（1，4）或（﹣1，2）或（，）．

例2.如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若点P在直线BD上，当PE＝PC时，求点P的坐标．

（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；

∴C（0，﹣3），抛物线的顶点D（﹣1，﹣4），

∴E（﹣1，0），

设直线BD的解析式为y＝mx+n，

∴，

∴，

∴直线BD的解析式为y＝﹣2x﹣6，

设点P（a，﹣2a﹣6），

∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），

根据勾股定理得，PE2＝（a+1）2+（﹣2a﹣6）2，PC2＝a2+（﹣2a﹣6+3）2，

∵PC＝PE，

∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2＝a2+（﹣2a﹣6+3）2，

∴a＝﹣2，

∴y＝﹣2×（﹣2）﹣6＝﹣2，

∴P（﹣2，﹣2），

（3）如图，作PF⊥x轴于F，

∴F（﹣2，0），

设M（d，0），

∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），

∵以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有FM＝MG，

∴|d+2|＝|d2+2d﹣3|，

∴d＝或d＝，

∴点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．

如图1，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、C（0，3），并交x轴于另一点B，点P（x，y）在第一象限的抛物线上，AP交直线BC于点D．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）当点P的坐标为（1，4）时，求四边形BOCP的面积；

（3）点Q在抛物线上，当的值最大且△APQ是直角三角形时，求点Q的横坐标；

（4）如图2，作CG⊥CP，CG交x轴于点G（n，0），点H在射线CP上，且CH＝CG，过GH的中点K作KI∥y轴，交抛物线于点I，连接IH，以IH为边作出如图所示正方形HIMN，当顶点M恰好落在y轴上时，请直接写出点G的坐标．

【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求得结果；

（2）可推出△PCB是直角三角形，进而求出△BOC和△PBC的面积之和，从而求得四边形BOCP的面积；

（3）作PE∥AB交BC的延长线于E，根据△PDE∽△ADB，求得的函数解析式，从而求得P点坐标，进而分为点P和点A和点Q分别为直角顶点，构造“一线三直角”，进一步求得结果；

（4）作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于K，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．根据△GLC≌△CRH可表示出H点坐标，从而表示出点K坐标，进而表示出I坐标，根据MT＝IW，构建方程求得n的值．

【解答】解：（1）由题意得，

，

∴，

∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，

∴x1＝﹣1，x2＝3，

∴B（3，0），

∵PC2+BC2＝[1+（4﹣3）2]+（32+32）＝20，PB2＝[（3﹣1）2+42]＝20，

∴PC2+BC2＝PB2，

∴∠PCB＝90°，

∴S△PBC＝＝＝3，

∵S△BOC＝＝＝，

∴S四边形BOCP＝S△PBC+S△BOC＝3+＝；

（3）如图1，作PE∥AB交BC的延长线于E，

设P（m，﹣m2+2m+3），

∵B（3，0），C（0，3），

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，

由﹣x+3＝﹣m2+2m+3得，

x＝m2﹣2m，

∴PE＝m﹣（m2﹣2m）＝﹣m2+3m，

∵PE∥AB，

∴△PDE∽△ADB，

∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，

∴当m＝时，（）最大＝，

当m＝时，y＝﹣（）2+2×+3＝，

∴P（，），

设Q（n，﹣n2+2n+3），

如图2，当∠PAQ＝90°时，过点A作y轴平行线AF，作PF⊥AF于F，作QG⊥AF于G，则△AFP∽△GQA，

∴＝，

∴＝，

∴n＝，

如图3，当∠AQP＝90°时，过QN⊥AB于N，作PM⊥QN于M，可得△ANQ∽△QMP，

∴＝，

∴＝，

可得n1＝1，n2＝，

如图4，当∠APQ＝90°时，作PT⊥AB于T，作QR⊥PT于R，

同理可得：＝，

∴n＝，

综上所述：点Q的横坐标为：或1或或；

（4）如图5，作GL∥y轴，作RC⊥GL于L，作MT⊥KI于T，作HW⊥IK于点W，则△GLC≌△CRH，△ITM≌△HWI．

∴RH＝OG＝﹣n，CR＝GL＝OC＝3，MT＝IW，

∴G（n，0），H（3，3+n），

∴K（，），

∴I（，﹣（）2+n+3+3），

∵TM＝IW，

∴＝（）2+n+6﹣（3+n），

∴（n+3）2+2（n+3）﹣12＝0，

∴n1＝﹣4+，n2＝﹣4﹣（舍去），

∴G（﹣4+，0）．

变式训练

如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A（4，0），另一交点为B，且与y轴交于点C，连接AC．

（1）求m的值及该抛物线的对称轴；

（2）若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把A（4，0）代入二次函数y＝﹣x2+3x+m得：

∴﹣16+12+m＝0，

解得：m＝4，

∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，

∴二次函数对称轴为直线x＝；

（2）存在，理由：

①当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为ABP′Q′，

∵A（4，0），AB＝5，

∴点Q′的坐标为（4，5）；

②当AB是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，

∵AB、PQ是正方形对角线，

∴线段AB和线段PQ互相垂直平分，

∴点Q在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为，

∴点Q的坐标为（，﹣），

故点Q的坐标为（4，5）或（，﹣）．