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- 10.1 随机事件与概率-拓展练习-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第二册（学生版+教师版） 试卷 4 次下载
- 10.1随机事件与概率 -讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第二册（教师版+学生版） 试卷 12 次下载
- 10.2 事件的相互独立性-拓展练习-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第二册（学生版+教师版） 试卷 5 次下载
- 10.2事件的相互独立性 -讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第二册（教师版+学生版） 试卷 8 次下载
- 10.3 频率与概率-拓展练习-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第二册（学生版+教师版） 试卷 4 次下载
2020-2021学年10.3 频率与概率优秀测试题
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这是一份2020-2021学年10.3 频率与概率优秀测试题，文件包含103频率与概率学生版docx、103频率与概率教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共45页， 欢迎下载使用。
一、频率的稳定性
1．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
知识点二 游戏公平性的判断
游戏规则公平的判断标准
在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等．例如：体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的；每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的，这样才是公平的；抽签决定某项事务时，任何一支签被抽到的概率也是相等的，这样才是公平的等等．
三、用随机模拟估计概率
1．利用随机模拟试验，只适用于试验结果是有限个的情形．
2．利用随机模拟试验，关键是建立好适当的模型．
3．利用随机模拟的方法估算概率的步骤：一是建立概率模型；二是进行模拟试验；三是统计计算，随着模拟的数量的不断增加，模拟结果就越来越接近概率．
(1)试验的基本结果是等可能的时，样本空间即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点．
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
考法一 频率与概率的概念区分
【例1】(2021·全国高一课时练习)下列说法正确的有( )
①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；
③任意事件A发生的概率P(A)总满足0④若事件A的概率趋近于0，即P(A)→0，则事件A是不可能事件.
A．0个B．1个C．2个D．3个
【练1】(2021·全国单元测试)下列说法正确的有( )
①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生．
③任意事件A发生的概率总满足.
④若事件A的概率为0，则A是不可能事件．
A．0个B．1个C．2个D．3个
考法二 概率的计算
【例2】(2021·全国高一课时练习)今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表(单位：人)如表：
则今年第一季度该医院男婴的出生频率是( )
A．B．C．D．
【练2】(2020·全国高一课时练习)2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：
(Ⅰ)求a的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(Ⅱ)用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.
考法三 生活中的概率
【例3】(2021·全国高一课时练习)(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是( )
A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜
【练3】(2021·全国高一课时练习)一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
考法四 随机模拟
【例4】(2021·全国高一课时练习)用计算机随机模拟掷骰子的试验,估计出现点的概率,则下列步骤中不正确的是( )
A．用计算机的随机函数产生个不同的到之间的取整数值的随机数,如果,我们认为出现点.
B．我们通常用计数器记录做了多少次掷骰子试验,用计数器记录其中有多少次出现点,置,.
C．每做一次试验,若出现点,则的值加,即,否则的值保持不变.
D．程序结束,出现点的频率作为数率的近似值.
【练4】(2021·河南)农历正月初一是春节，俗称“过年”，是我国最隆重、最热闹的传统节日.家家户户张贴春联，欢度春节，其中“福”字是必不可少的方形春联.如图，该方形春联为边长是的正方形，为了估算“福”字的面积，随机在正方形内撒100颗大豆，假设大豆落在正方形内每个点的概率相同，如果落在“福”字外的有65颗，则“福”字的面积约为( )
A．B．C．D．
课后练习
1.（2018高二上·南宁月考）分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ）
A. 4−π2 B. π−22 C. 4−π4 D. π−24
2.（2018高二下·甘肃期末）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）
A. 2 B. 3 C. 10 D. 15
3.（2017高二下·夏县期末）某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为（ ）
A. 516 B. 532 C. 16 D. 都不对
4.下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( )
A. 旋转的次数的多少不会影响估计的结果 B. 旋转的次数越多，估计的结果越精确
C. 旋转时可以按规律旋转 D. 转盘的半径越大，估计的结果越精确
5.（2019·凌源模拟）如图，在直角坐标系 xOy 中，过坐标原点 O 作曲线 y=ex 的切线，切点为 P ，过点 P 分别作 x,y 轴的垂线，垂足分别为 A,B ，向矩形 OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）
A. e−22e B. e−12e C. e−2e D. e−1e
生活在湖边的渔民为了方便而快速地知道湖中有多少条鱼，常用一种称为“标记后再捕”的方法．先从湖中随意捕捉一定数量的鱼，例如1 000条鱼，在每条鱼的身上作记号后又放回湖中；隔了一定时间后，再从湖中捕捉一定数量的鱼，例如300条鱼，查看其中有多少条有标记的鱼，假设有20条有标记，估计湖中鱼的总数．
用计算机模拟方法估计：从区间（0，1）内任取两个数，这两个数的和大于12的概率．
8. （2016高一下·衡阳期中）设O为坐标原点，点P的坐标（x﹣2，x﹣y）
（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
（2）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．
9. （2018高二下·牡丹江月考）如图，面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M ，可按下面方法估计 M 的面积：在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点，若 n 个点中有 m 个点落入 M 中，则 M 的面积的估计值为 mnS ，假设正方形 ABCD 的边长为2， M 的面积为1，并向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点，以 X 表示落入 M 中的点的数目．
（I）求 X 的均值 EX ；
（II）求用以上方法估计 M 的面积时， M 的面积的估计值与实际值之差在区间 (−0.03，0.03) 内的概率．
附表： P(k)=t=0kC10000t×0.25t×0.7510000−t
10. 为了了解某校高一学生体能情况，抽取200位同学进行1分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后画出频率分布直方图（如图所示），请回答下列问题：
（1）次数在100～110之间的频率是多少？
（2）若次数在110以上为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少？
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是多少？
11. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1, A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。
（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。
12.（2012·北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
（求：S2= 1n [ (x1−x)2 + (x2−x)2 +…+ (xn−x)2 ]，其中 x 为数据x1 ， x2 ， …，xn的平均数）
精讲答案
【例1】
【答案】C
【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．
∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确．
∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴②正确．
∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，∴③错误．
若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴④错误
∴说法正确的有两个，故选C．
【练1】
【答案】C
【解析】不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件，如几何概率中“单点”的长度、面积、体积都是0，但不是不可能事件，∴④不对；抛掷一枚骰子出现1点和出现2点是不同的基本事件，在同一次试验中，不可能同时发生，故②正确；任意事件A发生的概率P(A)满足，∴③错误；又①正确．∴选C.
【例2】
【答案】D
【解析】根据题意：第一季度的男婴数为64，婴儿总数为123，
故该医院生男婴的出生频率为.故选：D.
【练2】
【答案】(Ⅰ)，平均数为52.2；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由题意知，
∴，
年龄平均数.
(Ⅱ)1000人中年龄不小于60岁的人有380人，
所以年龄不小于60岁的频率为，
用频率估计概率，所以感染人群中年龄不小于60岁的概率为.
【例3】
【答案】ACD
【解析】选项A中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意;
选项B中,张明获胜的概率是,而李华获胜的概率是,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意;
选项D中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.
故选：ACD
【练3】
【答案】支持甲对游戏公平性的判断，理由见解析
【解析】：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；
当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7，
根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
【例4】
【答案】A
【解析】计算器随机函数或计算机随机函数产生的是到之间的整数(包括),共个整数.故选: A.
【练4】
【答案】B
【解析】设“福”字的面积为，
根据几何概型可知，解得.故选：B.
练习答案
【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】设正方形的边长为 2 ，那么图中阴影的面积应为 s1=8(14π−12)=2π−4 ，而正方形的面积是 s2=4 ，所以若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 p=2π−44=π−22 ，
故答案为：B.
【分析】则点落在阴影区域的概率为： 图中阴影的面积/正方形的面积。
【答案】 C
【考点】模拟方法估计概率
【解析】设阴影部分的面积是s，由题意得 4001000=s52∴s=10 ，
故答案为：C.
【分析】结合几何概率的计算公式，阴影部分的面积所占比大致等于随机点的概率，即可得出答案。
【答案】 A
【考点】模拟方法估计概率
【解析】所求的概率为 P=C5225=516 ,故选A.
【分析】分析可得从A到3总共有5个岔口，每一岔口走法的概率都是12 ， 而从A到3总共有C52=10种走法，计算可得答案．
【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】旋转时要无规律旋转，否则估计的结果与实际有较大的误差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关，所以D不正确；旋转的次数越多，估计的结果越精确，所以A不正确．
故答案为：B
【分析】利用旋转时要无规律旋转，转盘的半径与估计的结果无关，旋转的次数越多，估计的结果越精确，分别判断，即可得出结论。
【答案】 A
【考点】模拟方法估计概率
【解析】设切点 P(x0,ex0) ， y'=ex
所以切线方程 y−ex0=ex0(x−x0) ，又因为过原点
所以 0−ex0=ex0(0−x0) 解得 x0=1
所以点P (1,e)
因为 y=ex 与 x 轴在 [0,1] 围成的面积是 01exdx=e−1
则阴影部分的面积为 e−1−e2=e2−1
而矩形 OAPB 的面积为 e
故向矩形 OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 e2−1e=e−22e
故答案为：A
【分析】由题意，利用模拟方法根据题中数据可得所求概率 .
【答案】 解：设湖中鱼大约由x条，
则有 1000x=20300 ，
得x=15000条，
经检验x=15000是方程的解．
答：湖中鱼大约有15000条．
【考点】模拟方法估计概率
【解析】第二次捕捞鱼共300条，有20条做了记号，即有记号的鱼占到总数的20300=115 ， 然后根据一共1000条做了记号，来估算总数．
【答案】 解：区间（0，1）内任取两个实数记为（x，y），则点对应的平面区域为下图所示的正方形，
其中满足两个实数的和大于12 ， 即x+y＞12的平面区域如下图中橘色部分所示：
其中正方形面积S=1，阴影部分面积S=1﹣ 12×12×12=78
∴从区间（0，1）内任取两个数，这两个数的和大于12的概率为781=0.875
【考点】模拟方法估计概率
【解析】在区间（0，1）内任取两个实数，确定该基本事件对应的平面区域的大小，再求了满足条件两个实数的和大于12对应的平面区域的面积大小，代入几何概型公式，即可得到答案．
【答案】 （1）解：记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为，
共9种．由表格可知|OP|的最大值为 5
设事件A为“|OP|取到最大值”，则满足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）两种情况，
∴ P(A)=29
（2）解：设事件B为“P点在第一象限”
若 {0≤x≤30≤y≤3 ，其所表示的区域面积为3×3=9，
由题意可得事件B满足 {0≤x≤30≤y≤3x−2＞0x−y＞0 ，
即如图所示的阴影部分，
其区域面积为 1×3−12×1×1=52
∴ P(B)=529=518
【考点】等可能事件的概率，模拟方法估计概率
【解析】（1）记先后抽到的两张卡片的标号为（x，y），列出所有情形，然后分别求出|OP|的值，从而得到最大值；（2）求出点P落在第一象限所构成区域的面积，然后求出基本事件空间所表示的区域的面积，计算出二者的比值即可．
【答案】 解：（I） EX=10000×14=2500 （II）依题意所求概率为 P(−0.03【考点】模拟方法估计概率
【解析】（I）X服从二项分布， EX=np;（II）有题意可得2425【答案】 （1）∵第二组面积为0.02×10=0.2，
∴次数在100～110之间的频率是0.2．
∵第二小组频数为12；
（2）∵次数在110以上（含110次）为达标，
∴高一学生的达标率是 10×（0.035+0.025+0.015）=75%
即高一有75%的学生达标．
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是95×0.05+105×0.2+115×0.35+125×0.25+135×0.15=117.5．
【考点】模拟方法估计概率
【解析】（1）根据第二组小矩形的面积，做出第二组的频率．
（2）从频率分步直方图中看出次数子啊110以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计高一全体学生的达标率．
（3）将每组的组中值乘以该组的频率即可求出学生跳绳次数的平均数．
【答案】 （1）{A1 ， a1},{A1, a2}, {A1, b1}, {A1, b2}, {A2, a1}, {A2, a2},
{A2, b1}, {A2, b2}, {B, a1}, {B, a2}, {B, b1}, {B, b2},
（2）说法不正确
【考点】模拟方法估计概率
【解析】(I)利用列举法列出所有可能的结果即可: (II)在(I)中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的，试题解析:(I)所有可能的摸出结果是:
{A1 ， a1},{A1, a2}, {A1, b1}, {A1, b2}, {A2, a1}, {A2, a2},
{A2, b1}, {A2, b2}, {B, a1}, {B, a2}, {B, b1}, {B, b2},
(II)不正确, 理由如下，由(I)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1 ， a1},{A1, a2}，{A2, a1}, {A2, a2},共4种，所以中奖的概率为412=13,不中奖的概率为1-13=23>13
这种说法不正确.
【分析】古典概型中基本事件的探求方法
1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．
【答案】 （1）解：由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为 400600=23
（2）解：由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为 3001000=310
（3）解：由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200
∴ s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2] = 13(a2+b2+c2−120000) ，
∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2 ， 因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000
【考点】极差、方差与标准差，模拟方法估计概率
【解析】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得 s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2] = 13(a2+b2+c2−120000) ，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．
月份性别
一
二
三
总计
男婴
22
19
23
64
女婴
18
20
21
59
总计
40
39
44
123
年龄(岁)
频数
50
a
320
300
80
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
（x，y）
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
P（x﹣2，x﹣y）
（﹣1，0）
（﹣1，﹣1）
（﹣1，﹣2）
（0，1）
（0，0）
（0，﹣1）
（1，2）
（1，1）
（1，0）
|OP|
1
2
5
1
0
1
5
2
1
一、频率的稳定性
1．一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)估计概率P(A)．
知识点二 游戏公平性的判断
游戏规则公平的判断标准
在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等．例如：体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等，这样才是公平的；每个人购买彩票中奖的概率应该是相等的，这样才是公平的；抽签决定某项事务时，任何一支签被抽到的概率也是相等的，这样才是公平的等等．
三、用随机模拟估计概率
1．利用随机模拟试验，只适用于试验结果是有限个的情形．
2．利用随机模拟试验，关键是建立好适当的模型．
3．利用随机模拟的方法估算概率的步骤：一是建立概率模型；二是进行模拟试验；三是统计计算，随着模拟的数量的不断增加，模拟结果就越来越接近概率．
(1)试验的基本结果是等可能的时，样本空间即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点．
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数．
考法一 频率与概率的概念区分
【例1】(2021·全国高一课时练习)下列说法正确的有( )
①概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值；
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；
③任意事件A发生的概率P(A)总满足0
A．0个B．1个C．2个D．3个
【练1】(2021·全国单元测试)下列说法正确的有( )
①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．
②一次试验中不同的基本事件不可能同时发生．
③任意事件A发生的概率总满足.
④若事件A的概率为0，则A是不可能事件．
A．0个B．1个C．2个D．3个
考法二 概率的计算
【例2】(2021·全国高一课时练习)今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表(单位：人)如表：
则今年第一季度该医院男婴的出生频率是( )
A．B．C．D．
【练2】(2020·全国高一课时练习)2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：
(Ⅰ)求a的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(Ⅱ)用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.
考法三 生活中的概率
【例3】(2021·全国高一课时练习)(多选题)张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是( )
A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜
B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜
C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜
D．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜
【练3】(2021·全国高一课时练习)一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜.判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次.据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的.你更支持谁的结论？为什么？
考法四 随机模拟
【例4】(2021·全国高一课时练习)用计算机随机模拟掷骰子的试验,估计出现点的概率,则下列步骤中不正确的是( )
A．用计算机的随机函数产生个不同的到之间的取整数值的随机数,如果,我们认为出现点.
B．我们通常用计数器记录做了多少次掷骰子试验,用计数器记录其中有多少次出现点,置,.
C．每做一次试验,若出现点,则的值加,即,否则的值保持不变.
D．程序结束,出现点的频率作为数率的近似值.
【练4】(2021·河南)农历正月初一是春节，俗称“过年”，是我国最隆重、最热闹的传统节日.家家户户张贴春联，欢度春节，其中“福”字是必不可少的方形春联.如图，该方形春联为边长是的正方形，为了估算“福”字的面积，随机在正方形内撒100颗大豆，假设大豆落在正方形内每个点的概率相同，如果落在“福”字外的有65颗，则“福”字的面积约为( )
A．B．C．D．
课后练习
1.（2018高二上·南宁月考）分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为（ ）
A. 4−π2 B. π−22 C. 4−π4 D. π−24
2.（2018高二下·甘肃期末）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）
A. 2 B. 3 C. 10 D. 15
3.（2017高二下·夏县期末）某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口3出来，那么你取胜的概率为（ ）
A. 516 B. 532 C. 16 D. 都不对
4.下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( )
A. 旋转的次数的多少不会影响估计的结果 B. 旋转的次数越多，估计的结果越精确
C. 旋转时可以按规律旋转 D. 转盘的半径越大，估计的结果越精确
5.（2019·凌源模拟）如图，在直角坐标系 xOy 中，过坐标原点 O 作曲线 y=ex 的切线，切点为 P ，过点 P 分别作 x,y 轴的垂线，垂足分别为 A,B ，向矩形 OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）
A. e−22e B. e−12e C. e−2e D. e−1e
生活在湖边的渔民为了方便而快速地知道湖中有多少条鱼，常用一种称为“标记后再捕”的方法．先从湖中随意捕捉一定数量的鱼，例如1 000条鱼，在每条鱼的身上作记号后又放回湖中；隔了一定时间后，再从湖中捕捉一定数量的鱼，例如300条鱼，查看其中有多少条有标记的鱼，假设有20条有标记，估计湖中鱼的总数．
用计算机模拟方法估计：从区间（0，1）内任取两个数，这两个数的和大于12的概率．
8. （2016高一下·衡阳期中）设O为坐标原点，点P的坐标（x﹣2，x﹣y）
（1）在一个盒子中，放有标号为1，2，3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
（2）若利用计算机随机在[0，3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．
9. （2018高二下·牡丹江月考）如图，面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M ，可按下面方法估计 M 的面积：在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点，若 n 个点中有 m 个点落入 M 中，则 M 的面积的估计值为 mnS ，假设正方形 ABCD 的边长为2， M 的面积为1，并向正方形 ABCD 中随机投掷 10000 个点，以 X 表示落入 M 中的点的数目．
（I）求 X 的均值 EX ；
（II）求用以上方法估计 M 的面积时， M 的面积的估计值与实际值之差在区间 (−0.03，0.03) 内的概率．
附表： P(k)=t=0kC10000t×0.25t×0.7510000−t
10. 为了了解某校高一学生体能情况，抽取200位同学进行1分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后画出频率分布直方图（如图所示），请回答下列问题：
（1）次数在100～110之间的频率是多少？
（2）若次数在110以上为达标，试估计该校全体高一学生的达标率是多少？
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是多少？
11. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1, A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。
（1）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。
12.（2012·北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
（求：S2= 1n [ (x1−x)2 + (x2−x)2 +…+ (xn−x)2 ]，其中 x 为数据x1 ， x2 ， …，xn的平均数）
精讲答案
【例1】
【答案】C
【解析】频率是较少数据统计的结果，是一种具体的趋势和规律．在大量重复试验时，频率具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增加，这种摆动幅度越来越小，这个常数叫做这个事件的概率．
∴随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值．∴①正确．
∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．∴②正确．
∵必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0，小于1，∴任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，∴③错误．
若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，∴④错误
∴说法正确的有两个，故选C．
【练1】
【答案】C
【解析】不可能事件的概率为0，但概率为0的事件不一定是不可能事件，如几何概率中“单点”的长度、面积、体积都是0，但不是不可能事件，∴④不对；抛掷一枚骰子出现1点和出现2点是不同的基本事件，在同一次试验中，不可能同时发生，故②正确；任意事件A发生的概率P(A)满足，∴③错误；又①正确．∴选C.
【例2】
【答案】D
【解析】根据题意：第一季度的男婴数为64，婴儿总数为123，
故该医院生男婴的出生频率为.故选：D.
【练2】
【答案】(Ⅰ)，平均数为52.2；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由题意知，
∴，
年龄平均数.
(Ⅱ)1000人中年龄不小于60岁的人有380人，
所以年龄不小于60岁的频率为，
用频率估计概率，所以感染人群中年龄不小于60岁的概率为.
【例3】
【答案】ACD
【解析】选项A中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意;
选项B中,张明获胜的概率是,而李华获胜的概率是,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意;
选项D中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.
故选：ACD
【练3】
【答案】支持甲对游戏公平性的判断，理由见解析
【解析】：当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；
当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7，
根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小.相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的.因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
【例4】
【答案】A
【解析】计算器随机函数或计算机随机函数产生的是到之间的整数(包括),共个整数.故选: A.
【练4】
【答案】B
【解析】设“福”字的面积为，
根据几何概型可知，解得.故选：B.
练习答案
【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】设正方形的边长为 2 ，那么图中阴影的面积应为 s1=8(14π−12)=2π−4 ，而正方形的面积是 s2=4 ，所以若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 p=2π−44=π−22 ，
故答案为：B.
【分析】则点落在阴影区域的概率为： 图中阴影的面积/正方形的面积。
【答案】 C
【考点】模拟方法估计概率
【解析】设阴影部分的面积是s，由题意得 4001000=s52∴s=10 ，
故答案为：C.
【分析】结合几何概率的计算公式，阴影部分的面积所占比大致等于随机点的概率，即可得出答案。
【答案】 A
【考点】模拟方法估计概率
【解析】所求的概率为 P=C5225=516 ,故选A.
【分析】分析可得从A到3总共有5个岔口，每一岔口走法的概率都是12 ， 而从A到3总共有C52=10种走法，计算可得答案．
【答案】 B
【考点】模拟方法估计概率
【解析】旋转时要无规律旋转，否则估计的结果与实际有较大的误差，所以C不正确；转盘的半径与估计的结果无关，所以D不正确；旋转的次数越多，估计的结果越精确，所以A不正确．
故答案为：B
【分析】利用旋转时要无规律旋转，转盘的半径与估计的结果无关，旋转的次数越多，估计的结果越精确，分别判断，即可得出结论。
【答案】 A
【考点】模拟方法估计概率
【解析】设切点 P(x0,ex0) ， y'=ex
所以切线方程 y−ex0=ex0(x−x0) ，又因为过原点
所以 0−ex0=ex0(0−x0) 解得 x0=1
所以点P (1,e)
因为 y=ex 与 x 轴在 [0,1] 围成的面积是 01exdx=e−1
则阴影部分的面积为 e−1−e2=e2−1
而矩形 OAPB 的面积为 e
故向矩形 OAPB 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为 e2−1e=e−22e
故答案为：A
【分析】由题意，利用模拟方法根据题中数据可得所求概率 .
【答案】 解：设湖中鱼大约由x条，
则有 1000x=20300 ，
得x=15000条，
经检验x=15000是方程的解．
答：湖中鱼大约有15000条．
【考点】模拟方法估计概率
【解析】第二次捕捞鱼共300条，有20条做了记号，即有记号的鱼占到总数的20300=115 ， 然后根据一共1000条做了记号，来估算总数．
【答案】 解：区间（0，1）内任取两个实数记为（x，y），则点对应的平面区域为下图所示的正方形，
其中满足两个实数的和大于12 ， 即x+y＞12的平面区域如下图中橘色部分所示：
其中正方形面积S=1，阴影部分面积S=1﹣ 12×12×12=78
∴从区间（0，1）内任取两个数，这两个数的和大于12的概率为781=0.875
【考点】模拟方法估计概率
【解析】在区间（0，1）内任取两个实数，确定该基本事件对应的平面区域的大小，再求了满足条件两个实数的和大于12对应的平面区域的面积大小，代入几何概型公式，即可得到答案．
【答案】 （1）解：记抽到的卡片标号为（x，y），所有的情况分别为，
共9种．由表格可知|OP|的最大值为 5
设事件A为“|OP|取到最大值”，则满足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）两种情况，
∴ P(A)=29
（2）解：设事件B为“P点在第一象限”
若 {0≤x≤30≤y≤3 ，其所表示的区域面积为3×3=9，
由题意可得事件B满足 {0≤x≤30≤y≤3x−2＞0x−y＞0 ，
即如图所示的阴影部分，
其区域面积为 1×3−12×1×1=52
∴ P(B)=529=518
【考点】等可能事件的概率，模拟方法估计概率
【解析】（1）记先后抽到的两张卡片的标号为（x，y），列出所有情形，然后分别求出|OP|的值，从而得到最大值；（2）求出点P落在第一象限所构成区域的面积，然后求出基本事件空间所表示的区域的面积，计算出二者的比值即可．
【答案】 解：（I） EX=10000×14=2500 （II）依题意所求概率为 P(−0.03
【解析】（I）X服从二项分布， EX=np;（II）有题意可得2425
∴次数在100～110之间的频率是0.2．
∵第二小组频数为12；
（2）∵次数在110以上（含110次）为达标，
∴高一学生的达标率是 10×（0.035+0.025+0.015）=75%
即高一有75%的学生达标．
（3）根据频率分布直方图估计，学生跳绳次数的平均数是95×0.05+105×0.2+115×0.35+125×0.25+135×0.15=117.5．
【考点】模拟方法估计概率
【解析】（1）根据第二组小矩形的面积，做出第二组的频率．
（2）从频率分步直方图中看出次数子啊110以上的频数，用频数除以样本容量得到达标率，进而估计高一全体学生的达标率．
（3）将每组的组中值乘以该组的频率即可求出学生跳绳次数的平均数．
【答案】 （1）{A1 ， a1},{A1, a2}, {A1, b1}, {A1, b2}, {A2, a1}, {A2, a2},
{A2, b1}, {A2, b2}, {B, a1}, {B, a2}, {B, b1}, {B, b2},
（2）说法不正确
【考点】模拟方法估计概率
【解析】(I)利用列举法列出所有可能的结果即可: (II)在(I)中摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概率公式计算即可得到其对应的概率，中奖概率大于不中奖概率是错误的，试题解析:(I)所有可能的摸出结果是:
{A1 ， a1},{A1, a2}, {A1, b1}, {A1, b2}, {A2, a1}, {A2, a2},
{A2, b1}, {A2, b2}, {B, a1}, {B, a2}, {B, b1}, {B, b2},
(II)不正确, 理由如下，由(I)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1 ， a1},{A1, a2}，{A2, a1}, {A2, a2},共4种，所以中奖的概率为412=13,不中奖的概率为1-13=23>13
这种说法不正确.
【分析】古典概型中基本事件的探求方法
1．枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的．
2．树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．
【答案】 （1）解：由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为 400600=23
（2）解：由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故生活垃圾投放错误的概率为 3001000=310
（3）解：由题意可知：∵a+b+c=600，∴a，b，c的平均数为200
∴ s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2] = 13(a2+b2+c2−120000) ，
∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2 ， 因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000
【考点】极差、方差与标准差，模拟方法估计概率
【解析】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得 s2=13[(a−200)2+(b−200)2+(c−200)2] = 13(a2+b2+c2−120000) ，因此有当a=600，b=0，c=0时，有s2=80000．
月份性别
一
二
三
总计
男婴
22
19
23
64
女婴
18
20
21
59
总计
40
39
44
123
年龄(岁)
频数
50
a
320
300
80
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
（x，y）
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（3，1）
（3，2）
（3，3）
P（x﹣2，x﹣y）
（﹣1，0）
（﹣1，﹣1）
（﹣1，﹣2）
（0，1）
（0，0）
（0，﹣1）
（1，2）
（1，1）
（1，0）
|OP|
1
2
5
1
0
1
5
2
1
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