数学人教A版 (2019)6.3 平面向量基本定理及坐标表示优秀达标测试

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6.3 平面向量基本定理及坐标表示

一、平面向量基本定理
1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
二、用基底表示向量
用基底表示向量的一般方法
(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．
三、平面向量基本定理的应用
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
四、平面向量的坐标表示
1．把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
2．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．
3．坐标表示：a＝(x，y)．
4．特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．
五、平面向量加、减法的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表，

符号表示
加法
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
重要结论
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
六、平面向量坐标运算的应用
坐标形式下向量相等的条件及其应用
(1)条件：相等向量的对应坐标相等．
(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标．
七、数乘运算的坐标表示
已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
八、向量共线的判定
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．
向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
九、 利用向量共线的坐标表示求参数
利用向量平行的条件处理求值问题的思路
(1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．
(2)利用向量共线的坐标表示直接求解．
提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值．
十、有向线段定比分点坐标公式及应用
对任意的λ(λ≠－1)，P点的坐标为.
注意点：
(1)λ的值可正、可负．
(2)分有向线段的比与线段长度比不同．
十一、平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a·b＝x1x2＋y1y2.
进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系
(1)|a|2＝a·a.
(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
十二、平面向量的模
1．若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
2．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.
求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
十三、平面向量的夹角、垂直问题
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
1．cos θ＝＝.
2．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.


考点一 平面向量的基本定理
【例1】(2021·陕西)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对A：因为零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底；
对B：因为，故B中两个向量不共线；
对C：因为，故C中两个向量共线，故C中向量不可作基底；
对D：因为，故D中两个向量共线，故D中向量不可作基底.故选：B.
【练1】(2020·广东云浮市·高一期末)下列各组向量中，可以作为基底的是( )．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】因为与不共线，其余选项中、均共线，所以B选项中的两向量可以作为基底．故选：B

考点二 加减数乘的坐标运算
【例2】(2020·咸阳百灵学校高一月考)已知点(－3，3)，(－5，－1)，那么等于( )
A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(2，4) D．(4，2)
【答案】A
【解析】(－3，3)，(－5，－1)，.故选：A
【练2】(2020·苍南县树人中学高一期中)已知，，则向量为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得.故选：C.
考点三 共线定理的坐标表示
【例3】(2020·全国高一)若，，三点共线，则实数的值是( )
A．6 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因为三点，，共线，所以 ,
若，，三点共线，则和共线
可得：，解得；故选：B
【练3】(2020·新绛县第二中学高一月考)已知，，则与向量共线的单位向量为( )
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【解析】因为，，所以向量，
所以与向量共线的单位向量为或.故选：B
考点四 向量与三角函数的综合运用
【例4】(2021·湖南)已知向量，，若//，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为//，故可得，故可得，
又.故选：
【练4】(2020·平凉市庄浪县第一中学高一期中)若且//,则锐角=__________ .
【答案】
【解析】∵//,∴，又为锐角，，∴，．
故答案为：．
考点五 奔驰定理解三角形面积
【例5】(2020·河南安阳市·林州一中高一月考)已知为内一点，且有，则和的面积之比为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设是的中点，则，
又因为，所以,，，
所以故选：
【练5】(2020·江西)在中，D为BC的中点，P为AD上的一点且满足，则与面积之比为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设的中点为点，则有，又，所以，则点在线段上，因为D为BC的中点，所以得点为的重心，
故与面积之比为.故选：B
考点六 数量积的坐标运算
【例6】(2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末)向量，则( )
A．1 B． C． D．6
【答案】D
【解析】因为所以故选：D
【练6】(2021·深圳市龙岗区)已知向量，，则( )
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【解析】因为向量，，所以，故选：C
考点七 巧建坐标解数量积
【例7】(2020·山东济南市·)在中，，，为所在平面上任意一点，则的最小值为( )
A．1 B． C．－1 D．-2
【答案】C
【解析】如图，以为建立平面直角坐标系，则，设，
，，，，
∴，
∴当时，取得最小值．
故选：C．

【练7】(2020·安徽省亳州市第十八中学高一期中)如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且．

(1)求；
(2)若(，)，求的值.
【答案】(1)14；(2).
【解析】如图，分别以边，所在的直线为轴，轴，
点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，.

(1)∵，，∴.
(2)∵，，，
由，得，∴解得∴.
考点八 数量积与三角函数综合运用
【例8】向量，且，则的值为(　　)
A．1 B．2 C． D．3
【答案】A
【解析】由题意可得 ，即 ．
∴，故选A．
【练8】(2020·河南安阳市·林州一中高一月考)已知向量,若,则( )
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，整理得，
所以，故选：A.
考点九 数量积与几何的综合运用
【例9】(2020·陕西渭南市·高一期末)已知向量，，.
(1)若点，，能够成三角形，求实数应满足的条件；
(2)若为直角三角形，且为直角，求实数的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)已知向量，，，
若点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.
，，故知，∴实数时，满足条件.
(2)若为直角三角形，且为直角，则，∴，解得.
【练9】(2020·辽宁)已知向量．
(1)若ΔABC为直角三角形，且∠B为直角，求实数λ的值．
(2)若点A、B、C能构成三角形，求实数λ应满足的条件 ．
【答案】(1)λ=2；(2)λ≠−2．
【解析】∵
即：−7(6−λ)+7(3λ−2)=0,∴λ=2
(2)∵若点A、B、C能构成三角形，则A、B、C不共线
∴−7(3λ−2)≠7(6−λ)
∴实数λ应满足的条件 是λ≠−2




课后练习

1. （2021·内江模拟）已知空间三点 O(0,0,0) ， A(−1,1,0) ， B(0,1,1) ，在直线 OA 上有一点 H 满足 BH⊥OA ，则点 H 的坐标为.
A.(12,−12,0)
B.(−12,12,0)
C.(−2,2,0)
D.(2,−2,0)
【答案】 B
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】由O（0，0，0），A（﹣1，1，0），B（0，1，1），
∴ OA= （﹣1，1，0），
且点H在直线OA上，可设H（﹣λ，λ，0），
则 BH= （﹣λ，λ﹣1，﹣1），
又BH⊥OA，
∴ BH • OA= 0，
即（﹣λ，λ﹣1，﹣1）•（﹣1，1，0）＝0，
即λ+λ﹣1＝0，
解得λ =12 ，
∴点H（ −12 ， 12 ，0）．
故答案为：B．
【分析】 根据已知中空间三点  O(0,0,0) ， A(−1,1,0) ， B(0,1,1) ， 根据点H在直线OA上，我们可以设出H点的坐标(含参数λ) ,进而由BH⊥OA，根据向量垂直数量积为0，构造关于λ的方程，解方程即可得到答案.
2. （2021高二上·辽宁月考）若 a=(2,2,0) ， b=(1,3,z) ， =π3 ，则 z 等于（    ）
A. 22                                 B. −22                                 
C. ±22                                 D. ±42
【答案】 C
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】由空间向量夹角的余弦公式得 cos=a⋅b|a|⋅|b|=2×1+2×3+0×z22×12+32+z2=2210+z2=12 ，
解得 z=±22 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，从而求出实数z的值。
3. （2021高一下·保定期末）设平面向量 a=(x,2) ， b=(2,1) ，若 a⊥b ，则 x= （    ）
A.1
B.2
C.-1
D.3
【答案】 C
【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】由 a⊥b 得 a⋅b=2x+2=0 ，解得 x=−1 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出x的值。
4. （2021高二上·浙江月考）已知平面 α 的法向量为 a=(2,3,−1) ，平面 β 的法向量为 b=(1,0,k) ，若 α⊥β ，则 k 等于（    ）
A. 1                                          B. -1                                          C. 2                                          D. -2
【答案】 C
【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】由题知： a⋅b=2+0−k=0 ，解得 k=2 。
故答案为：C
【分析】利用平面法向量的定义结合两平面垂直，则两平面的法向量数量积为0的等价关系，从而结合数量积的坐标表示，进而求出实数k的值。
5. （2021·济南模拟）已知平面向量 a→ ， b→ ，满足 |b→|=2 ， (a→−b→)⊥b→ ，则 a→⋅b→ 的值为       ．
【答案】 2
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】∵ (a→−b→)⊥b→ ，
∴ (a−b)⋅b=0⇒a⋅b=b2=|b|2=2 ，
故答案为：2.

【分析】由数量积的运算性质整理即可得出答案。
6. （2021·渭南模拟）已知平面向量 a ， b 都是单位向量，且 a⋅b=−12 ，则 |2a−b| 的值为       ．
【答案】 7
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】因为平面向量 a ， b 都是单位向量，且 a⋅b=−12 ，
所以，根据题意得 |2a−b|=|2a−b|2=4|a|2−4a→⋅b→+|b|2=7。
故答案为： 7。
【分析】利用已知条件结合单位向量的定义，再结合数量积求向量的模的公式结合数量积的运算法则和数量积的值，进而求出向量的模。
7. （2021高一下·安庆期末）已知向量 a,b 的夹角为 2π3 ， |a|=3,|b|=2 ，则 |2a−3b|=       .
【答案】 63
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】由题意，向量 a,b 的夹角为 2π3 ， |a|=3,|b|=2 ，可得 a⋅b=|a|⋅|b|cos2π3=−3 ，
可得 |2a−3b|2=4a2−12a⋅b+9b2 =108 ，所以 |2a−3b|=63 .
故答案为： 63 .
【分析】 根据条件可求出a→⋅b→=−3 ，然后进行数量积的运算即可求出 |2a→−3b→|2的值，进而可得 |2a→−3b→| 的值.
8. （2021高一下·孝感期末）已知向量 a ， b 满足 |b|=2|a|=2 ，且向量 a 与 b 的夹角为 60° ，则 |2a+b|=       .
【答案】 23
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】解：因为向量 a ， b 满足 |b|=2|a|=2 ，且向量 a 与 b 的夹角为 60° ，
所以 |2a+b|=4a2+4a⋅b+b2=4+4×1×2×12+4=23 ．
故答案为： 23 ．
【分析】由|2a→+b→|=4a→2+4a→⋅b→+b→2进行数量积的运算，即可求出 |2a→+b→|的值。
9. （2021高一下·马鞍山期末）已知 |a|=4 ， |b|=3 ， a⋅b=6 .
（1）求 a 与 b 的夹角 θ ；
（2）求 |a+2b| ．
【答案】 （1）cosθ=a⋅b|a||b|=64×3=12 ，
∴ θ =60°
（2）∵ |a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a⋅b+4b2 = |a|2+4a⋅b+4|b|2 =16+4×6+4×9=76，
∴ |a+2b|=219 .
【考点】向量的模，数量积表示两个向量的夹角
【解析】（1）根据向量的夹角公式求解即可；
（2）根据向量的数量积，结合向量的模求解即可.

10. （2021高二上·沈阳月考）已知 A(1,2,−1),B(2,0,2) .
（1）求 |OA−OB|
（2）在 x 轴上求一点 P, 使 |PA|=|PB| ；
【答案】（1）解：因为 OA−OB =(−1,2,−3)
则有 |OA−OB| =(−1)2+22+(−3)2=14
（2）解：设 P(a,0,0) ，则由 |PA|=|PB|,A(1,2,−1)，B(2,0,2) ，
得 (a−1)2+(−2)2+12=(a−2)2+(2)2 ，
即 a2−2a+6=a2−4a+8 ，
解得 a=1,
所以 Р 点的坐标为 (1,0,0) .
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，空间两点间的距离公式
【解析】（1）利用已知条件结合向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合向量的坐标运算求出向量 OA−OB的坐标，再利用向量的模的坐标表示求出向量的模。
（2) 在 x 轴上求一点 P, 设 P(a,0,0) ，再利用已知条件结合空间两点距离公式，从而求出a的值，进而求出点P的坐标。
11. （2021高一下·信阳期末）已知 |a|=2 ， |b|=1 ， a 与 b 的夹角为 π3 ．
（1）求 a⋅b 与 |a−2b| 的值；
（2）若 a+b 与 a−λb 垂直，求实数 λ 的值．
【答案】 （1）解:∵ |a|=2 ， |b|=1 ， a 与 b 的夹角为 π3 ，
∴ a⋅b=|a|×|b|cosπ3=1 ；
|a−2b|=(a−2b)2=a2−4a⋅b+4b2=4−4×1+4=2 ．
（2）若 a+b 与 a−λb 垂直，则 (a+b)⋅(a−λb)=0 ，
即 a2+(1−λ)a⋅b−λb2=0 ，
∴22+(1−λ)×1−λ×1=0 ，
∴λ=52 ．
【考点】平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】(1)根据数量积的定义可求 a⋅b  ,根据 |a→−2b→|=(a→−2b→)2可求  |a−2b| 的值；
(2)由题意得 (a+b)⋅(a−λb)=0 ，进而求出实数 λ 的值．
12. （2021高一下·浙江月考）已知向量 a=(1,−1) ， |b|=2 ，且 (2a+b)⋅b=4 ．
（1）求向量 a 与 b 的夹角；
（2）求 |a+b| 的值．
【答案】 （1）解：由题意 |a|=2 ， (2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=2a⋅b+2=4 ，∴ a⋅b=1 ，
∴ a⋅b=2×2cos=1 ， cos=12 ，∴ =π3
（2）解： |a+b|2=(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=2+2+2=6 ，
∴ |a+b|=6
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角
【解析】 (1)根据题意由数量积的运算性质代入数值计算出夹角的余弦值，由此即可求出夹角的大小。
(2)根据题意向量模的定义结合向量的运算性质整理即可得出答案。