高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品精练

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6.3平面向量基本定理及坐标表示
拓展练习
1. （2021·湖北模拟）已知向量 a→ ， b→ 满足 |a→|=22 ， |b→|=1 ， |a→−b→|=6 ，则 |a→+2b→|= （    ）
A. 23                                     B. 32                                     C. 42                                     D. 33

2. （2021·张家口模拟）设平面向量 a=(1,0) ，若 a⋅b=2 ， cos〈a,b〉=13 ，则 |b|= （    ）
A. 2                                           B. 3                                           C. 9                                           D. 6

3. （2020高一上·抚州期末）若向量 a=(1,2),b→=(0,1) ，且 ka−b→ 与 a+2b→ 共线，则实数 k 的值为（    ）
A. -1                                         B. −12                                         C. 1                                         D. 2

4. （2021高一下·资阳期末）已知向量 a=(−3,1) ， b=(23,2) ，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为（    ）
A.-2
B.-1
C.1
D.2

5. （2021高二下·浙江开学考）在四面体 O−ABC 中，点 P 为棱 BC 的中点. 设 OA=a , OB=b ， OC=c ，那么向量 AP 用基底 {a,b,c} 可表示为（     ）

A. −12a+12b+12c           B. −a+12b+12c           C. a+12b+12c           D. 12a+12b+12c

6. 在平面直角坐标系中，以 O(0,0) ， A(1,1) ， B(3,0) 为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（    ）
A. (−3,1)                                B. (4,1)                                C. (−2,1)                                D. (2,−1)

7. （2021·南平模拟）过点 P(2,1) 的直线 l 与函数 f(x)=x−1x−2 的图象交于 A ， B 两点， O 为坐标原点，则 (OA+OB)⋅OP= （    ）
A. 5                                        B. 25                                        C. 5                                        D. 10

8. （2021高三上·水富月考）已知 △ABC 的外接圆半径为1，圆心为 O ，且 OA+3OB+2OC=0 ，则 OC⋅AB 的值为（    ）
A.1−32
B.3−12
C.−3+12
D.3+12

9. （2021高二下·浙江期末）已知平面向量 a ， b ， c ，满足 |a|=a⋅b=2 ， |a+λb|≥|a−12b| 对任意实数 λ 恒成立， (a−c)⋅(b−2c)=1 ，则 |b−c| 的最大值为（    ）
A. 3+12                               B. 5+32                               C. 7+32                               D. 7+52

10. （2021·长春月考）已知 M 是抛物线 y2=4x 上的一点， F 是抛物线的焦点，若以 Fx 为始边， FM 为终边的角 ∠xFM=60∘ ，则 |FM| 等于（    ）
A. 2                                        B. 433                                        C. 23                                        D. 4

11. （2021高一下·三明期末）△ABC 中，若 AB=AC=5 ， BC=6 ，点 E 满足 CE=215CA+15CB ，直线 CE 与直线 AB 相交于点 D ，则 cos∠ADE= （    ）

A.1010
B.31010
C.−1010
D.−31010

12. （2021高二下·杭州期末）已知圆 M ： (x−1)2+(y−1)2=4 ．设 P 是直线 l ： 3x+4y+8=0 上的动点， PA 是圆 M 的切线， A 为切点，则 PA⋅PM 的最小值为（    ）
A.3
B.5
C.3
D.5

13. （2021高二上·河北期中）如图，某圆锥 SO 的轴截面 SAC 是等边三角形，点 B 是底面圆周上的一点，且 ∠BOC=60° ，点 M 是 SA 的中点，则异面直线 AB 与 CM 所成角的余弦值是（    ）

A. 13                                        B. 74                                        C. 34                                        D. 32

14. （2021·八省联考）已知单位向量 a,b 满足 a⋅b=0 ，若向量 c=7a+2b ，则 sin〈a,c〉= （    ）
A. 73                                      B. 23                                      C. 79                                      D. 29

15. （2021高一下·南京期末）如图，在任意四边形 ABCD 中，其中 AD=2 ， BC=3 ， E ， F 分别是 AB ， CD 的中点， P ， Q 分别是 AC ， BD 的中点，求 PQ⋅FE =（    ）

A.−54
B.54
C.−52
D.52

16. （2021高三上·苏州月考）已知 a ， b 是单位向量，且 a+b=(12,1) ，则向量 a 与 b 夹角的余弦值为（    ）
A. −38                                    B. −34                                    C. 5−44                                    D. 32

17. （2021高二上·河东期中）若向量 a=(0,1,−1) ， b=(1,1,0) ，则 (a−2b)⋅a 的值是      .

18. （2021高二下·弥勒月考）已知向量 a=(1,0) ， b=(−3,4) 的夹角为，则 sin2θ=        ．

19. （2021·呼和浩特模拟）若向量 a ， b 满足 |a|=1 ， |b|=2 ，且 a⊥(a−b) ，则 a 与 b 的夹角为      .

20. （2021·云南模拟）已知 a ， b 都是平面向量.若 a=(1,−1) ， a−b=(3,−2) ，则 a⋅b=       .

21. （2022高二下·贵州期末）已知向量 a=(2，λ) 与 b=(−3，1) 垂直，则 λ=        ．

22. （2021高二上·黑龙江期中）已知 |a→|=2 ， |b→|=1 ， =60° ，则 |a→−2b→|=        ．

23. （2021高一下·常熟期中）如图，在菱形ABCD中， AB=3 ， ∠BAD=60° ，E，F分别为BC，CD上的点， CE=2EB ， CF=2FD ，若线段EF上存在一点M，使得 AM=12AB+xAD(x∈R) ，则 x=        ， AM⋅BD=       .


24. （2021高一下·湖北月考）已知向量 a=(2,−1) ， b=(−3,m) ，若 a//b ，则 |a+2b|=        ．

25. （2021高一下·蕲春月考）已知向量 a=(1,2),b=(−2,m) ， a+b 与 a−b 垂直，则 m=        ．

26. 已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，如果 AB=(2,−1,−4),AD=(4,2,0), AP=(−1,2,−1) ，对于结论：① AP⊥AB ；② AP⊥AD ；③ AP 是平面 ABCD 的法向量；④ AP//BD .其中正确的说法的序号是________．

27. （2021高一下·红桥期末）已知菱形 ABCD 的边长为 2 ， ∠BAD=120° ，点 E,F 分别在边 BC,DC 上， BC=3BE ， DC=λDF .若 AE⋅AF=1 ，则 λ 的值为      

28. （2020高三上·宁波期末）已知向量 a ， b 满足 |a+b|=|a−b|=2|a|=2 ，则 (a−2b)⋅(a+b)= ________.

29. （2021·淄博模拟）已知向量 a ， b 满足 |a|=1 ， |b|=2 ， |a−b|=3 ，则向量 a−b 和 b 的夹角为       ．

30. （2021高二上·福田期中）已知 2a+b ＝(0,－5,10)， c ＝(1,－2,－2)， a⋅c ＝4， |b| ＝12，则 ＝      .

31. （2021高二下·潍坊期末）在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AB=AA1=2 ，点D满足 AD=12(AB+AA1) ，则 |CD|=        ．

32. （2021·浙江）已知平面向量 a,b,c,(c≠0) 满足 |a|=1,|b|=2,a⋅b=0,(a−b)⋅c=0 .记向量 d 在 a,b 方向上的投影分别为x ， y ， d−a 在 c 方向上的投影为z ， 则 x2+y2+z2 的最小值为      .

33. （2021·邢台模拟）如图，在梯形 ABCD 中， AD=25BC .

（1）用 BA ， BC 表示 AC ， BD ， CD ；
（2）若 AB=AD=2 ，且 AC⋅BD=9 ，求 ∠ABC 的大小.


练习答案

1. 【答案】 B
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】由已知，得 (a→−b→)2=6 ，结合 |a→|=22 ， |b→|=1 得 (22)2+1−2a→⋅b→=6 ，
解得 a→⋅b→=32 ，
所以 |a→+2b→|2=8+4+4a→⋅b→=18 ，即 |a→+2b→|=32 .
故答案为：B.
【分析】首先由向量的运算性质整理化简即可求出a→⋅b→=32 ， 然后由向量模的性质计算出结果即可。
2. 【答案】 D
【考点】向量的模，平面向量数量积的运算
【解析】 cos〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=13⇒21⋅|b|=13⇒|b|=6 .
故答案为：D
【分析】由向量的模长公式计算 |a→| ，再由向量的数量积公式计算即可。
3. 【答案】 B
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】 ∵ a=(1,2),b→=(0,1) ，
∴ ka−b→=k(1,2)−(0,1)=(k,2k−1) , a+2b→=(1,2)+2(0,1)=(1,4) ,
∵ ka−b→ 与 a+2b→ 共线,
∴ 4k−(2k−1)=0 ,解得： k=−12 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算求出向量 ka−b→ 与 a+2b→ 的坐标，再利用两向量共线的坐标表示，进而求出k的值。
4. 【答案】 A
【考点】数量积的坐标表达式，向量的投影
【解析】因为向量 a=(−3,1) ， b=(23,2) ，
所以 a⋅b=23×(−3)+2×1=−4 ， |a|=(−3)2+12=2 ，
所以向量 b 在向量 a 方向上的投影为 |b|cos〈a,b〉=a⋅b|a|=−42=−2 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合数量积的坐标表示求出两向量的数量积的值，再利用两向量的数量积求投影的方法，从而求出向量 b 在向量 a 方向上的投影。
5. 【答案】 B
【考点】平面向量的基本定理及其意义
【解析】 ∵ 点 P 为棱 BC 的中点，
  ∴OP=12(OB+OC) ，
∴AP=OP−OA=12(OB+OC)−OA ，
又 ∵OA=a,OB=b,OC=c ，
∴AP=12(OB+OC)−OA=−a+12b+12c ，
故答案为：B.
【分析】 先根据点P为棱BC的中点，则OP⇀=12(OB⇀+OC⇀) ， 然后利用空间向量的基本定理，用 a→，b→，c→ 表示向 AP 即可.
6. 【答案】 A
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】设第四个顶点为 C ．当点 C 的坐标为 (−3,1) 时， |OC|=10 ， |AB|=5 ， |AC|=4 ，
|OB|=3 ．∵ |OC|≠|AB| ， |AC|≠|OB| ，∴四边形 ABOC 不是平行四边形．A错误，符合题意；
当 C 点坐标为 (4,1) 时，因为 OA=BC=(1,1) ，即 OA//BC 且 OA=BC ，
故 OBCA 是平行四边形，B正确，不符合题意；
当 C 点坐标为 (−2,1) 时，因为 OC=BA=(−2,1) ，即 OC//BA 且 OC=BA ，
故 OBAC 是平行四边形，C正确，不符合题意；
当 C 点坐标为 (2,−1) 时，因为 OC=AB=(2,−1) ，即 OC//AB 且 OC=AB ，
故 OCBA 是平行四边形，D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的定义结合已知条件，再利用两点距离公式和向量相等的判断方法，进而推出线线平行和两线段相等，从而得出不能作为平行四边形第四个顶点坐标的选项。
7. 【答案】 D
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】 f(x)=x−1x−2=1x−2+1 ，函数 f(x) 的图象关于点 P 对称，
直线 l 与函数 f(x) 的图象交于 A ， B 两点时，得出 A ， B 两点关于点 P 对称，则有 OA+OB=2OP ，于是 (OA+OB)⋅OP=2OP2=2×(22+12)=10 ．
故答案为：D．
【分析】由已知可得，函数 f(x) 的图象关于点 P 对称，进而得出 A ， B 两点关于点 P 对称，则OA+OB=2OP ，即可得出答案。
8. 【答案】 A
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】由题设 OA+3OB=−2OC ，两边平方可得 OA⋅OB=0⇒OA⊥OB ，所以 OA ， 3OB ， 2OC 构成直角三角形. OA ， OC 夹角 2π3 ， OB ， OC 夹角 5π6 ， OC⋅AB=OC⋅OB−OC⋅OA =cos5π6−cos2π3=1−32 .
故答案为：A
【分析】由题设 OA+3OB=−2OC ， 两边平方可得 OA⋅OB=0⇒OA⊥OB ， 明确向量间的夹角，即可得出答案。
9. 【答案】 D
【考点】两向量的和或差的模的最值，平面向量的坐标运算，两点间的距离公式
【解析】解：由 |a+λb|⩾|a−12b| ，
得 |a|2+2abλ+|b|2λ2−|a|2+a·b−14|b|2⩾0 ，
即 b2λ2+4λ−14b2+2≥0 ，
因为 |a+λb|≥|a−12b| 对任意实数 λ 恒成立，
所以 Δ=16−4b2(−14b2+2)≤0 ，
解得 (b2−4)2≤0 ，
所以 b2−4=0 即 |b|=2 ，
由 |a|=a⋅b=2 ，可设 a=(2,0),b=(1,3),c=(x,y) ，
则 a−c=(2−x,−y) ， b−2c=(1−2x,3−2y) ，
因为 (a−c)⋅(b−2c)=1 ，
所以 2+2x2−5x−3y+2y2=1 ，即 (x−54)2+(y−34)2=54 ，
所以向量 c=(x,y) 对应点的坐标的轨迹方程是以 (54,34) 为圆心， 52 为半径的圆，
|b−c|=(1−x)2+(3−y)2 ，可以看成 (1,3) 和 (x,y) 两点之间的距离，
将 (1,3) 代入 (x−54)2+(y−34)2=54 ，得 (1,3) 在圆内，
圆心 (54,34) 到点 (1,3) 的距离为 (54−1)2+(34−3)2=72 ，
所以 |b−c| 的最大值为 7+52 .
故答案为：D.
【分析】根据题意整理化简原式由此得到|b|=2 ， 再由已知条件结合向量的坐标公式整理得出a−c=(2−x,−y) ， b−2c=(1−2x,3−2y) ， 由一直听结合数量积的坐标公式整理得到向量 c=(x,y) 对应点的坐标的轨迹方程是以 (54,34) 为圆心， 52 为半径的圆，然后由向量模的公式以及两点间的距离公式整理得出答案即可。
10. 【答案】 D
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，抛物线的定义，抛物线的简单性质
【解析】设点 M(x0,y0) ，其中 x0=y024 ，则 F(1,0) ， FM=(y024−1,y0) ，
取 a=(1,0) ，则 cos=FM⋅a|FM|⋅|a|=y024−1(y024−1)2+y02=12 ，
可得 3y04−40y02+48=0 ，因为 y024−1>0 ，可得 y02>4 ，解得 y02=12 ，则 x0=y024=3 ，
因此， |MF|=x0+1=4 .
故答案为：D.
【分析】由已知条件设点 M(x0,y0) ， 代入到抛物线的方程，由此得出向量的坐标，结合数量积的坐标公式整理即可得到3y04−40y02+48=0 ， 结合题意即可得出y02=12 ， 由此即可的答案。
11. 【答案】 A
【考点】向量的线性运算性质及几何意义，数量积表示两个向量的夹角
【解析】如图所示，以 B 点为原点， BC 为 x 轴构建直角坐标系，

因为 AB=AC=5 ， BC=6 ，所以 B(0,0) ， C(6,0) ， A(3,4) ，
设 CD=xCA+yCB ，
因为 A 、 B 、 D 三点共线，所以 x>0 ， y>0 ， x+y=1 ，
因为 CE=215CA+15CB ， C 、 E 、 D 三点共线，所以 215x=15y ，
联立 {215x=15yx+y=1 ，解得 x=25 ， y=35 ， CD=25CA+35CB ，
因为 CB=(−6,0) ， CA=(−3,4) ，所以 CD=(−245,85) ， DC=(245,−85) ，
因为 BA=(3,4) ，
所以 cos∠ADE=BA⋅DC|BA|⋅|DC|=725−3255×(245)2+(−85)2=85×64025=1010 ，
故答案为：A.
【分析】以 B 点为原点， BC 为 x 轴构建直角坐标系， 根据题意，设 CD=xCA+yCB ，可得
A 、 B 、 D 三点共线，进而可得CD=25CA+35CB ，由余弦定理求出cos∠ADE可得答案.
12. 【答案】 D
【考点】平面向量数量积的运算，点到直线的距离公式
【解析】如图，连AM ， 圆M半径为2，则 AM⊥PA ， PA⋅PM=|PA|2=|PM|2−|MA|2=|PM|2−4 ，

圆心 M(1,1) 到直线l的距离 d=|3⋅1+4⋅1+8|32+42=3 ，从而得 |PM|≥d=3 ，
于是得 |PM|2−4≥5 ，当且仅当 PM⊥l 时取“=”，
所以 PA⋅PM 的最小值为5.
故答案为：D
【分析】 计算圆心M到直线 l的距离，判断直线 l与圆M相离，再求 PA⋅PM的最小值.
13. 【答案】 C
【考点】数量积表示两个向量的夹角，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），异面直线及其所成的角
【解析】以过点 O 且垂直于平面 SAC 的直线为 x 轴，直线 OC ， OS 分别为 y 轴， z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 OC=2 ，

则根据题意可得 A(0,−2,0) ， B(3,1,0) ， C(0,2,0) ， M(0,−1,3) ，
所以 AB=(3,3,0) ， CM=(0,−3,3) ，
设异面直线 AB 与 CM 所成角为 θ ，
则 cosθ=|cos〈AB,CM〉|=|3×0+3×(−3)+0×3|3+9⋅9+3=34 。
故答案为：C.
【分析】以过点 O 且垂直于平面 SAC 的直线为 x 轴，直线 OC ， OS 分别为 y 轴， z 轴，
建立空间直角坐标系，不妨设 OC=2 ，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示，从而求出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式，从而求出异面直线 AB 与 CM 所成角的余弦值。
14. 【答案】 B
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，同角三角函数间的基本关系
【解析】因为 a,b 是单位向量，所以 |a|=|b|=1 ，
因为 c=7a+2b ，所以 |c|=|7a+2b|=(7a+2b)2=7|a|2+2|b|2=3 ，
所以 cos〈a,c〉=|a⋅c||a|⋅|c|=|a⋅(7a+2b)||a|⋅|c|=7|a|2+2a⋅b|a|⋅|c|=7|c|=73 ，
所以 sin〈a,c〉=1−(73)2=23 ，
故答案为：B.
【分析】因为 a,b 是单位向量，所以 |a|=|b|=1 ，再利用已知条件c=7a+2b ，结合数量积求向量的模的公式，从而求出向量c→的模，再利用数量积求向量夹角公式求出cos⟨a→,c→⟩的值，再利用同角三角函数基本关系式，从而求出sin的值。
15. 【答案】 B
【考点】平面向量的基本定理及其意义，平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的运算
【解析】如图，连接 EP ， FP ， EQ ， FQ ，

因为 E ， F 分别是 AB ， CD 的中点， P ， Q 分别是 AC ， BD 的中点，
所以 EQ∥AD ,且 EQ=12AD ， PF∥AD ,且 PF=12AD ,所以 EQ∥PF ，且 EQ=PF ，
可得四边形 EPFQ 为平行四边形，且 FQ=PE=12BC ，
∴ FE=FP+FQ ， PQ=FQ−FP ，则 PQ⋅FE=FQ2−FP2=(CB2)2−(DA2)2=54 。
故答案为：B．
【分析】连接 EP ， FP ， EQ ， FQ ，利用 E ， F 分别是 AB ， CD 的中点， P ， Q 分别是 AC ， BD 的中点，再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而得出 EQ∥AD 且 EQ=12AD ， PF∥AD 且 PF=12AD ,所以 EQ∥PF 且 EQ=PF ，可得四边形 EPFQ 为平行四边形且 FQ=PE=12BC ， 再利用平行四边形法则结合三角形法则，再结合数量积的运算法则，从而求出PQ→⋅FE→的值。
16. 【答案】 A
【考点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】由题意可知， |a+b|=a2+2a⋅b+b2=1+2×1×1⋅cos〈a,b〉+1=(12)2+1=54 ，
则解得 cos〈a,b〉=−38
故答案为：A
【分析】利用向量数量积的运算即可求出向量 a 与 b 夹角的余弦值 。
17. 【答案】 0
【考点】数量积的坐标表达式，空间中的点的坐标
【解析】因为 a−2b=(−2,−1,−1) ，所以 (a−2b)⋅a=(−2)×0+(−1)×1+(−1)×(−1)=0 ，
故答案为：0.
【分析】由空间向量和数量积的坐标公式，代入数值计算出结果即可。
18. 【答案】 −2425
【考点】数量积表示两个向量的夹角，二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系
【解析】因为 cosθ=a⋅b|a|⋅|b|=−31×5=−35 ，∵ θ∈[0,π] ，∴ sinθ=1−cos2θ=45 ， sin2θ=2sinθcosθ=−2425 。
故答案为：−2425。
【分析】利用数量积求向量夹角公式得出cosθ=−35 ， 因为θ∈[0,π] 结合同角三角函数基本关系式，从而求出角θ的正弦值，再利用二倍角的正弦公式，从而求出角2θ的正弦值。
19. 【答案】 π4
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算
【解析】解： ∵ |a|=1,|b|=2 ，
∴ a2=1 ， b2=2
又 ∵ a⊥(a−b)
∴ a·(a−b)=0
即 a·b=a2=1
设向量 a 与 b 的夹角为 θ
则 cosθ=a·b|a|·|b|=22
∵θ∈[0 ， π]∴θ=π4
故答案为： π4 .
【分析】根据题意由数量积的运算公式结合向量垂直的性质即可求出夹角的大小，再由角的取值范围即可求出角的大小即可。
20. 【答案】 -3
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】因为 b=a−(a−b)=(1,−1)−(3,−2)=(−2,1) ，所以 a⋅b=(1,−1)⋅(−2,1)=−3 .
故答案为：-3.
【分析】 求出向量 b ，利用向量的数量积求解即可.
21. 【答案】 6
【考点】数量积的坐标表达式，数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】 a⋅b=(−3,1)⋅(2,λ)=−6+λ=0 ，
所以 λ=6 。
故答案为：6。
【分析】利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再结合数量积的坐标表示，从而求出λ的值。
22. 【答案】 2
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】 ∵|a→|=2 ， |b→|=1 ， =60° ，
∴a→⋅b→=|a→|⋅|b→|cos60°=2×1×12=1 ，
由此可得 (a→−2b→)2=a→2−4a→⋅b→+4b→2=22−4×1+4×12=4 ，
∴|a→−2b→|=(a→−2b→)2=2 。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合数量积的定义，从而求出a→⋅b→的值，再利用数量积的运算法则结合数量积的定义，从而结合数量积求向量的模的公式，进而求出向量的模，即|a→−2b→|的值。
23. 【答案】 56；32
【考点】向量的共线定理，平面向量的基本定理及其意义，平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的运算
【解析】由 CE=2EB ， CF=2FD ，则 EF=23BD=23(AD−AB) ，
由题意，设 EM=λEF ，根据向量的线性运算，
可得 AM=AB+BE+EM=AB+13AD+λEF=AB+13AD+2λ3(AD−AB)
=(1−2λ3)AB+(13+2λ3)AD=12AB+xAD ，
则 {1−2λ3=1213+2λ3=x ，解得 {x=56λ=34 ，所以 AM=12AB+56AD ，
从而有 AM⋅BD=(12AB+56AD)⋅(AD−AB)=−13AB⋅AD−12AB2+56AD2
=−13×3 ×3×cos60°−12×9+56×9=32 。
故答案为： 56 ， 32 。
【分析】设 EM=λEF ，再利用已知条件结合菱形的结构特征，再利用共线定理，从而结合平面向量基本定理得出AM→=(1−2λ3)AB+(13+2λ3)AD=12AB+xAD ，再利用对应相等，从而解方程组求出{x=56λ=34 ， 从而得出AM=12AB+56AD ， 再利用数量积的运算法则结合数量积的定义，从而求出数量积的值。
24. 【答案】 25
【考点】向量的模，平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】因为 a//b ，所以 2m−3=0 ，解得 m=32 ，
所以 b=(−3,32) ，所以 a+2b=(−4,2) ，
所以 |a+2b|=(−4)2+22=25 ．
故答案为： 25
【分析】 根据a//b即可求出m=32， 然后可得出向量a+2b=(−4,2) ， 进而可求 |a→+2b→|  的值．
25. 【答案】 ±1
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】向量 a=(1,2),b=(−2,m) ， a+b 与 a−b 垂直，故 (a+b)·(a−b)=a2−b2=0,∴a2=b2 ，即 5=4+m2⇒m=±1 ，
故答案为±1.
【分析】 先求出向量 a+b 与 a−b 的坐标，根据 a+b 与 a−b 垂直便可得到(a→+b→)·(a→−b→)=a→2−b→2=0 ， 进行数量积的坐标运算便可求出m的值．
26. 【答案】 ①②③
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面垂直的判定
【解析】由 AB=(2,−1,−4),AD=(4,2,0),AP=(−1,2,−1) ,
在①中， AP⋅AB=−2−2+4=0 ，所以 AP⊥AB ，所以 AP⊥AB ，所以是正确的；
在②中， AP⋅AD=−4+4+0=0 ，所以 AP⊥AD ，所以 AP⊥AD ，所以是正确的；
在③中，由于 AP⊥AB ， AP⊥AD ，且 AB∩AD=A ，可知 AP 是平面 ABCD 的法向量，所以是正确的；
在④中， BD=AD−AB=(2,3,4) ,
假设存在实数 λ 使得 AP=λBD ，则 {−1=2λ2=3λ−1=4λ ，此时无解，所以是不正确的，
所以正确命题的序号为①②③。
【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，结合数量积的坐标表示，再利用法向量的定义和三角形法则以及共线定理，进而得出正确命题的序号。
27. 【答案】 2
【考点】向量的三角形法则，向量的共线定理，平面向量数量积的含义与物理意义，平面向量数量积的运算
【解析】∵BC＝3BE ， DC＝λDF ，
∴ BE=13BC ， DF=1λDC ，
AE=AB+BE=AB+13BC=AB+13AD ， AF=AD+DF=AD+1λDC=AD+1λAB ，
∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，
∴| AB |＝| AD |＝2， AB • AD= 2×2×cos120°＝﹣2，
∵ AE • AF= 1
∴（ AB+13AD ）•（ AD+1λAB ） =13AD2+1λAB2+ （1 +13λ ） AB • AD= 1，
即 13× 4 +1λ× 4﹣2（1 +13λ ）＝1，
整理得 103λ=53 ，
解得λ＝2。
故答案为2。
【分析】因为BC＝3BE ， DC＝λDF ， 从而结合向量共线定理得出 BE=13BC ， DF=1λDC ，再利用三角形法则结合共线定理和平面向量基本定理，从而得出AE→=AB→+13AD→ ，AF→=AD→+1λAB→ ，因为菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，再结合数量积的定义，得出| AB |＝| AD |＝2，AB • AD=﹣2，因为 AE • AF= 1，再利用数量积的运算法则结合数量积的定义，从而结合已知条件求出λ的值。
28. 【答案】 -5
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算
【解析】 ∵|a+b|=|a−b| ， ∴|a+b|2=|a−b|2 ，即 a⋅b=0 ，
∵2|a|=2 ，即 |a|=1 ，
∵|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=1+b2=4 ， ∴|b|=3 ，
∴(a−2b)⋅(a+b)=a2−a⋅b−2b2=1−0−2×3=−5 。
故答案为：-5。
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，进而求出a→⋅b→、|a→|和
|b→|的值，再利用数量积的运算法则结合数量积求向量的模公式，进而求出(a→−2b→)⋅(a→+b→)的值。
29. 【答案】 5π6
【考点】平面向量数量积的运算
【解析】由 |a−b|2=a2−2a⋅b+b2=1−2a⋅b+4=3 得 a⋅b=1
由 cos〈a−b,b〉=(a−b)⋅b|a−b|⋅|b|=a⋅b−b223=1−423=−32
所以向量 a−b 和 b 的夹角为 5π6
故答案为： 5π6
【分析】 由题意先求出a⋅b=1 ， 再根据向量的夹角公式计算即可。
30. 【答案】 120°
【考点】平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角
【解析】由题设， (2a+b)⋅c=2a⋅c+b⋅c=8+b⋅c=(0,−5,10)⋅(1,−2,−2)=−10 ，∴ b⋅c=−18 ，又 c ＝(1,－2,－2)， |b| ＝12，
∴ cos=b⋅c|b||c|=−1812×3=−12 ，又 ∈[0°,180°]，
∴ ＝120°。
故答案为：120°。
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积的坐标表示，得出b→⋅c→
的值，再利用向量的模的坐标表示，从而求出向量c的模，再利用数量积求向量夹角公式，从而结合向量夹角的取值范围，进而求出两向量的夹角。
31. 【答案】 2
【考点】向量的模，平面向量的坐标运算
【解析】因为 ABC−A1B1C1 是正三棱柱，所以 AA1⊥ 面 ABC ，且 △ABC 为等边三角形，
如图建立以 A 为原点， AC 所在的直线为 y 轴，过点 A 垂直于 AC 的直线为 x 轴， AA1 所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，

则 A(0,0,0) ， B(3,1,0) ， A1(0,0,2) ， C(0,2,0) ， AB=(3,1,0) ， AA1=(0,0,2) ，
所以 AD=12(AB+AA1)=12(3,1,2)=(32,12,1) ，即 D(32,12,1) ，
所以 |CD|=(32−0)2+(12−2)2+(1−0)2=2 ，
故答案为：2.
【分析】以 A 为原点， AC 所在的直线为 y 轴，过点 A 垂直于 AC 的直线为 x 轴， AA1 所在的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，根据向量坐标的运算求出D点坐标，再根据向量模的公式即可求出 |CD→| 。
32. 【答案】 25
【考点】向量的模，平面向量数量积的性质及其运算律
【解析】由题意，设 a=(1,0),b=(0，2),c=(m,n) ，
则 (a−b)⋅c=m−2n=0 ，即 m=2n ，所以c→=(2n,n)
依题意 d=(x,y) ， 所以 d−a 在 c 方向上的投影 z=(d−a)⋅c|c|=m(x−1)+nym2+n2=2x−2+y5 ，
所以  2x+y−5z=2 ,则x2+y2+z2表示空间中坐标原点到平面2x+y−5z=2的距离,
所以 x2+y2+z2=(2x)24+y21+(−5z)25≥(2x+y−5z4+1+5)2=410=25 ，
所以 x2+y2+z2 的最小值为 25 .
故答案为： 25 .
【分析】根据已知条件，先取特殊值a→=(1,0),b→=(0，2),并设c→=(m,n) ， 再由投影公式a⇀·b⇀|a⇀|和点到平面的距离公式求解.
33. 【答案】 （1）解： AC=BC−BA ， BD=BA+AD=BA+25BC ，
CD=AD−AC=25BC−(BC−BA)=BA−35BC
（2）解： ∵AD=25BC ， AD=2 ， ∴BC=5 .
∵AC⋅BD=(BC−BA)⋅(BA+25BC)=−BA2+35BA⋅BC+25BC2 ，且 AC⋅BD=9 ， ∴−22+35×2×5×cos∠ABC+25×52=9 ，解得： cos∠ABC=12 ，
∵∠ABC∈(0,π) ， ∴∠ABC=π3
【考点】向量加减混合运算及其几何意义，平面向量数量积的运算
【解析】 (1)由向量的加减运算性质，结合题意整理化简即可得出答案。
(2)利用数量积的运算公式代入数值计算出结果即可。