北京课改版第十六章 一元二次方程综合与测试一课一练

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专题测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一元二次方程根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法判断

2、已知一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（    ）

A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4

3、下列命题中，逆命题不正确的是（　　）

A．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）没有实数根，那么b2﹣4ac＜0

B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等

C．全等三角形对应角相等

D．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

4、生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（    ）

A． B．

C． D．

5、某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（　　）个班级．

A．8 B．9 C．10 D．11

6、某公司去年的各项经营中，九月份的营业额为200万，十一月的营业额为950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，设这个增长率为，则可列方程得（    ）

A． B．

C． D．

7、若方程的一个根为，则的值是（    ）

A．7 B． C．4 D．

8、一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个三角形的第三条边不可能为（    ）

A．7 B．11 C．15 D．19

9、老师设计了一个游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一个人计算的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，最后得到方程的解．过程如图：接力中，自己负责的一步出现错误的学生人数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

10、已知一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，则一元二次方程ax2－bx+c=3的两根分别为（   ）

A．x1=0，x2=－3 B．x1=－1，x2=－4

C．x1=0，x2=3， D．x1=2，x2=－1

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、 “降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________．

2、已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____．

3、随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量，一家今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快递件数分别是20万件和24.2万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长是x，由题意列出关于x的方程：______．

4、某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，设该厂四、五月份的月平均增长率为x，则可列方程为______．

5、已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知关于的一元二次方程．

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若该方程有一个根小于2，求的取值范围．

2、某商城购进了一批某种品牌冰箱，标价为每台3000元．

（1）为回馈新老用户，在国庆节期间，商城对冰箱进行了连续两次降价销售，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；

（2）市场调研表明：当每台冰箱的售价为3000元时，每天能售出8台；当每台冰箱的售价每降50元时，每天就能多售出4台；若商城计划在某天销售20台冰箱，则每台冰箱的售价应定为多少元？

3、已知关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，请求出m的最大整数值．

4、如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝3cm，点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度运动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度运动．如果P、Q同时出发，运动时间为t（s）（0≤t≤3）．

（1）AP＝      cm，AQ＝       cm；

（2）t为何值时，△QAP的面积等于2cm2？

5、已知关于x的方程x2 - 5x + m = 0

（1）若方程有一根为 - 1，求m的值；

（2）若方程无实数根，求m的取值范围

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况．

【详解】

∵，，，

∴，

∴方程有有两个不相等的实数根．

故选：A

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式的值的情况可以判断方程有无实数根．

2、B

【分析】

根据根的含义将代入一元二次方程x2＋k﹣3＝0求解即可．

【详解】

解：∵一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，

∴将代入得，，解得：．

故选：B．

【点睛】

此题考查了已知一元二次方程的解求参数，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解得概念．

3、C

【分析】

分别写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．

【详解】

解：A.逆命题为：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中b2﹣4ac＜0，那么它没有实数根，正确，不符合题意；

B.逆命题为：到线段距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，不符合题意；

C.逆命题为：对应角相等的两三角形全等，错误，符合题意；

D.逆命题为：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，不符合题意．

故选：C

【点睛】

本题考查了原命题、逆命题，命题的真假，一元二次方程根的判别式，线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质，勾股定理极其逆定理等知识，综合性较强，准确写出各选项的逆命题并准确判断是解题关键．

4、C

【分析】

设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，根据等量关系，列出方程即可．

【详解】

解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，

由题意得：，

故选C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的实际应用，掌握增长率模型，是解题的关键．

5、A

【分析】

设该校八年级有x个班级，利用比赛的总场次数＝参赛的班级数×（参赛的班级数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【详解】

解：设该校八年级有x个班级，

依题意得：x（x﹣1）＝28，

整理得：x2﹣x﹣56＝0，

解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

6、C

【分析】

根据增长率的意义，列式即可．

【详解】

设这个增长率为，

根据题意，得，

故选C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，熟练增长率问题计算特点是解题的关键．

7、D

【分析】

将代入方程求解即可．

【详解】

解：将代入可得：

，

解得：，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查方程与根的关系，将根代入方程求解是解题关键．

8、D

【分析】

先根据一元二次方程的解法得到这个三角形的两边长，然后再利用三角形三边关系可排除选项．

【详解】

解：

，

解得：，

∴这个三角形的两边的长为6和11，

∴第三边长x的范围为5＜x＜17；

故选D．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键．

9、D

【分析】

先把方程化为一般形式，再把左边分解因式，可判断甲，再把方程化为两个一次方程，可判断乙，再解一次方程，移项要改变符号，可判断丙，再计算得到方程的解可判断丁，从而可得答案.

【详解】

解：

，

，

，故甲出现错误；

即

或 故乙出现了错误；

而丙解方程时，移项没有改变符号，丁出现了计算错误；

所以出现错误的人数是4人，

故选D

【点睛】

本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“利用因式分解法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键.

10、D

【分析】

首先根据a+b+c=3可得一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为，然后根据根与系数的关系可得，，然后代入一元二次方程ax2－bx+c=3中即可求解．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，

∴一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为1，

∴一元二次方程ax2+bx+c=3化成一般形式为ax2+bx+c-3＝0，

∴，，

∵ax2－bx+c=3化成一般形式为ax2-bx+c-3＝0，即，

∴，

∴，

∴或，

解得：．

故选：D．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．

二、填空题

1、

【分析】

先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可.

【详解】

解：

则或或

解得：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键.

2、m＜1且m≠0

【分析】

由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．

【详解】

∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，

∴，

解得：m＜1且m≠0．

故答案为：m＜1且m≠0．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，但要注意二次项系数非零．

3、

【分析】

根据题意，该公司每月投送的快递件数的平均增长是x，则10月份完成投送的快递件数为万件，则11月份完成投送的快递件数为万件，根据11月份完成投送的快递件数为24.2万件，列出一元二次方程即可

【详解】

解：设该公司每月投送的快递件数的平均增长是x，根据题意得

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出一元二次方程是解题的关键．

4、

【分析】

该厂四、五月份的月平均增长率为x，根据增长率公式即可得出五月份的产量是，据此列方程即可．

【详解】

∵该厂四、五月份的月平均增长率为x，

∴五月份的产量是，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到，再经过第二次调整就是，增长用“+”，下降用“−”．

5、k＞-2且k≠0k≠0且k＞-2

【分析】

根据关于x的一元二次方程kx2-4x-2=0有两个不相等的实数根，可得出判别式大于0，再求得k的取值范围．注意：二次项系数不等于零．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程kx2-4x-2=0有两个不相等的实数根，

∴Δ=（-4）2-4×（-2）k＞0，

解得k＞-2，

∵k≠0，

∴k的取值范围k＞-2且k≠0，

故答案是：k＞-2且k≠0．

【点睛】

本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．

三、解答题

1、（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△＝（k−4）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；

（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1＝4，x2＝k，根据方程有一根小于2，即可得出k的取值范围．

【详解】

（1）∵，

∴△=，

∴方程总有两个实数根．

（2）∵，

∴，

解得：，，

∵该方程有一个根小于2，

∴．

【点睛】

本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程表示出方程的两个根，熟练掌握当△≥0时，方程有两个实数根是解题关键．

2、（1）每次降价的百分率是10%；（2）定价为2850元．

【分析】

（1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1﹣x）元，第二次后的价格是60（1﹣x）2元，据此即可列方程求解；

（2）假设下调a个50元，销售冰箱数量＝原销售量+多售出量，即可列方程求解．

【详解】

解：（1）设每次降价的百分率为x，

依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，

解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）

答：每次降价的百分率是10%；

（2）假设下调a个50元，依题意得：20＝8+4a．

解得a＝3．

所以下调150元，因此定价为3000-150=2850元．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．

3、m的最大整数值为0

【分析】

根据方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，确定出m的范围，进而求出最大整数值即可．

【详解】

解：∵关于x的方程（m﹣1）x2+2mx+m+3＝0有两个实数根，

∴b2﹣4ac＝（2m）2﹣4（m﹣1）（m+3）＝4m2﹣（4m2+8m﹣12）＝4m2﹣4m2﹣8m+12＝﹣8m+12≥0，m﹣1≠0，

解得：m≤且m≠1，

则m的最大整数值为0．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，准确计算是解题的关键．

4、（1）2t；（3-t）；（2）t为1或2．

【分析】

（1）先证明AD=BC=3cm，∠A=90°，再根据题意即可求解；

（2）根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可求解．

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴AD=BC=3cm，∠A=90°，

∴AP=2tcm，AQ=（3-t）cm，

故答案为：2t；（3-t）

（2）由题意得，

整理得，

解得，

答：t为1或2时，△QAP的面积等于2cm2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，根据题意用含t的式子表示出直角三角形两边，列出方程是解题关键．

5、（1）m的值为．（2）

【分析】

（1）将代入原方程，即可求出m的值．

（2）令根的判别式，即可求出m的取值范围．

【详解】

（1）解：方程有一根为 - 1，

是该方程的根，

，解得：，

故m的值为．

（2）解：方程无实数根

，解得：．

【点睛】

本题主要是考查了一元二次方程的根以及根的判别式，熟练利用根的判别式，求出对应无实数根的方程中的参数取值，这是解决该题的关键．