2020-2021学年第十六章 一元二次方程综合与测试一课一练

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专题训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知方程的两根分别为m、n，则的值为（     ）

A．1 B． C．2021 D．

2、如图，在一块长为30m，宽为20m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2，若设道路宽为xm，则根据题意可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

3、关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1 B．－1 C．1或－1 D．0

4、若一元二次方程ax2+bx+c＝0的系数满足ac＜0，则方程根的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根 D．无法判断

5、若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为（　　）

A．﹣16 B．﹣13 C．﹣10 D．﹣8

6、关于x的一元二次方程x2－mx＋（m－2）＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．根据m的取值范围确定

7、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．若＝1，则m的值为（　　）

A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．

8、对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有下列说法：

①当a＜0，且b＞a＋c时，方程一定有实数根；

②若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根；

③若a－b＋c＝0，则方程一定有一个根为－1；

④若方程有两个不相等的实数根，则方程bx2＋ax＋c＝0一定有两个不相等的实数根．

其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①②③④

9、一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，则这个三角形的第三条边不可能为（    ）

A．7 B．11 C．15 D．19

10、中秋佳节前某月饼店7月份的销售额是2万元，9月份的销售额是4.5万元，从7月份到9月份，该店销售额平均每月的增长率是（　　）

A．20% B．25% C．50% D．62.5%

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m 的取值范围是______________．

2、某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比1月份的利润增加4.2万元，设该产品利润平均每月的增长率为x，则可列方程为___．

3、如图1，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物．如图2，已知一款塔吊的平衡臂ABC部分构成一个直角三角形，且，起重臂AD可以通过拉伸BD进行上下调整．现将起重臂AD从水平位置调整至位置，使货物E到达位置（挂绳DE的长度不变且始终与地面垂直）．此时货物E升高了24米，且到塔身AH的距离缩短了16米，测得，则AC的长为_____________米．

4、某工厂生产一款零件的成本为500元，经过两年的技术创新，现在生产这款零件的成本为405元，求该款零件成本平均每年的下降率是多少？设该款零件成本平均每年的下降率为，可列方程为______．

5、一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为　______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解方程：

2、某蔬菜交易市场2020年10月份的蔬菜交易量是5000吨，到2020年12月份达到7200吨．

（1）求这两个月平均每月增长的百分率．

（2）按（1）中的增长率，预测2021年1月份的交易量是       吨．

3、解方程:2x2 - 4x - 1 = 0

4、解方程：

（1）；

（2）．

5、解方程：2x2+x﹣15＝0．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

由题意得mn＝1，m2﹣2021m+1＝0，将代数式变形后再代入求解即可．

【详解】

∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为m，n，

∴mn＝1，m2﹣2021m+1＝0，

∴m2﹣2021m＝﹣1，

∴m2﹣＝﹣1,

故选：B．

【点睛】

本题考查了根的定义及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．

2、B

【分析】

根据题意草坪的长为m，宽为m，根据长方形的面积公式列出一元二次方程即可

【详解】

解：设道路宽为xm，则根据题意可列方程为

故选B

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．

3、B

【分析】

根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a-1≠0，a2-1=0，求出a的值即可．

【详解】

解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2－1＝0，

解得：a＝1或a＝－1，

∵a－1≠0，即a≠1，

∴a＝－1，

故选：B．

【点睛】

本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出a-1≠0且a2-1=0，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．

4、B

【分析】

判别式Δ＝b2﹣4ac，由于ac＜0，则﹣ac＞0，而b2≥0，于是可判断Δ＞0，然后根据判别式的意义判断根的情况．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程为ax2+bx+c＝0，

∴Δ＝b2﹣4ac，

∵ac＜0，

∴﹣ac＞0，

又∵b2≥0，

∴Δ＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0，方程有两个相等的实数根；（3） Δ＜0，方程没有实数根．

5、则此三角形的周长是1

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解法，三角形三边关系，三角形的周长，掌握一元二次方程的解法，三角形三边关系，三角形的周长是解题关键．

5．A

【分析】

将m代入2x2﹣3x﹣1＝0可得2m2﹣3m﹣1＝0，再化简所求代数为﹣6m2+9m﹣13＝-3（2m2﹣3m）﹣13，即可求解．

【详解】

解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，

∴2m2﹣3m﹣1＝0，

∴2m2﹣3m＝1，

∴﹣6m2+9m﹣13＝﹣3（2m2﹣3m）﹣13＝﹣3×1﹣13＝﹣16，

故选：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系，灵活变形所求代数式是解题的关键．

6、A

【分析】

根据根的判别式判断即可．

【详解】

∵，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．

7、A

【分析】

先利用根的判别式得到m≥，再根据根与系数的关系得α+β＝2m+3，αβ＝m2，则2m+3＝m2，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定m的值．

【详解】

解：根据题意得Δ＝（2m+3）2﹣4m2≥0，

解得m≥，

根据根与系数的关系得α+β＝2m+3，αβ＝m2，

∵＝1，

∴α+β＝αβ，即2m+3＝m2，

整理得m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝3，m2＝﹣1，

∵m≥，

∴m的值为3．

故选：A．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，是解答此题的关键．

8、C

【分析】

①令，，，由判别式即可判断；②若，则a、c异号，由判别式即可判断；③令得，即可判断；④取，，来进行判断即可．

【详解】

①由当，，，，方程此时没有实数根，故①错误；

②若，a、c异号，则，方程一定有两个不相等的实数根，所以②正确；

③令得，则方程一定有一个根为；③正确；

④当，，时，有两个不相等的根为，但方程只有一个根为1，故④错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解以及判别式，掌握用判别式判断根的情况是解题的关键．

9、D

【分析】

先根据一元二次方程的解法得到这个三角形的两边长，然后再利用三角形三边关系可排除选项．

【详解】

解：

，

解得：，

∴这个三角形的两边的长为6和11，

∴第三边长x的范围为5＜x＜17；

故选D．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法及三角形三边关系，熟练掌握一元二次方程的解法及三角形三边关系是解题的关键．

10、C

【分析】

设该商店销售额平均每月的增长率为x，利用9月份的销售额＝7月份的销售额×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该商店销售额平均每月的增长率为50%．

【详解】

解：设该商店销售额平均每月的增长率为x，

依题意得：2（1+x）2＝4.5，

解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．

∴该商店销售额平均每月的增长率为50%．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用；解题的关键在于理解清楚题目的意思，根据条件找出等量关系，列出方程求解．

二、填空题

1、

【分析】

根据一元二次方程 (为常数)的根的判别式，解不等式即可求得m 的取值范围

【详解】

解：关于x的一元二次方程有两个实数根，

=

解得

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

2、20（1+x）2＝20+4.2

【分析】

根据该公司销售该种产品1月份及3月份获得的利润，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：依题意得：20（1+x）2＝20+4.2，

故答案为：20（1+x）2＝20+4.2．

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

3、7

【分析】

过点B作于点M，由题意易得，则有四边形是矩形，设，则，然后根据勾股定理可得AF的长，进而问他可求解．

【详解】

解：过点B作于点M，如图所示：

由题意得：，

∴四边形是矩形，

∴，

设，则，在中，由勾股定理得：

，解得：，

∴，

设，

∴，

∴，

在中，，

在中，，

∴，整理得：，

解得：；

故答案为7．

【点睛】

本题主要考查勾股定理、矩形的性质与判定及一元二次方程的解法，熟练掌握勾股定理、矩形的性质与判定及一元二次方程的解法是解题的关键．

4、

【分析】

根据题意可用x表示出经过两年的技术创新后生产这款零件成本的代数式，即可列出方程．

【详解】

设该款零件成本平均每年的下降率为x，

经过第一年的技术创新后生产这款零件的成本为（元），

经过第二年的技术创新后生产这款零件的成本为（元），

所以可列方程为：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解答本题的关键．

5、6
 

【分析】

确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解．

【详解】

根据题意可得，一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为1；

∴和为．

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项之和算出算式是解题关键．

三、解答题

1、，

【分析】

因式分解，可化为的形式，令，得出方程的解．

【详解】

解：

或

，．

【点睛】

本题考察了一元二次方程求解．解题的关键与难点是将方程进行因式分解．

2、（1）20%；（2）8640．

【分析】

（1）设这两个月平均每月增长的百分率为x，利用2020年12月份的蔬菜交易量＝2020年10月份的蔬菜交易量×（1+这两个月平均每月增长的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）利用2021年1月份的蔬菜交易量＝2020年12月份的蔬菜交易量×（1+这两个月平均每月增长的百分率），即可求出结论．

【详解】

解：（1）设这两个月平均每月增长的百分率为x，

依题意得：5000（1+x）2＝7200，

化简得25x2+50x-9=0

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：这两个月平均每月增长的百分率为20%．

（2）7200×（1+20%）＝8640（吨）．

故答案为：8640．

【点睛】

本题考查了二次函数相关的增长率问题，有关增长率问题的等量关系：①原产量＋增产量＝现在的产量；②增产量＝原产量×增长率；③现在的产量＝原产量×（1＋增长率）．④若连续n个月增长率相同则有：a（1＋增长率）n=b．对于连续变化的问题，都是以前一个时间段为基础，平均增长（降低）率也是如此，如二月份的产量是在一月份的基础上变化的，三月份的产量是在二月份的基础上变化的．

3、，．

【分析】

此题采用公式法即可求出一元二次方程的解．

【详解】

解：由题意可知：，，

∴

∴

∴，．

【点睛】

本题主要是考查了公式法求解一元二次方程，熟练记忆一元二次方程的求根公式，是求解该题的关键．

4、（1）；（2）

【分析】

（1）把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；

（2）先移项，把方程右边化为0，再把方程左边分解因式，得到两个一次方程，再解一次方程即可.

【详解】

解：（1）

或

解得：

（2）

或

解得：

【点睛】

本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“利用提公因式的方法把方程的左边分解因式，再把原方程化为两个一次方程”是解本题的关键.

5、或；

【分析】

利用十字相乘法把方程左边进行因式分解得到（2x5）（x+3）=0，进而解两个一元一次方程即可．

【详解】

解：，

∴，

∴或，

∴或；

【点睛】

本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中．