七年级下册第十四章 三角形综合与测试课后作业题

这是一份七年级下册第十四章 三角形综合与测试课后作业题，共35页。
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形章节训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，点A、B、C、D在一条直线上，点E、F在AD两侧，，，添加下列条件不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
2、如图，ABC≌DEF，点B、E、C、F在同一直线上，若BC＝7，EC＝4，则CF的长是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．7
3、如图，直线l1l2，被直线l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1＝46°，则∠2等于（　　）

A．56° B．34° C．44° D．46°
4、如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
5、如图，，于点，与交于点，若，则等于（ ）

A．20° B．50° C．70° D．110°
6、三根小木棒摆成一个三角形，其中两根木棒的长度分别是和，那么第三根小木棒的长度不可能是（ ）
A． B． C． D．
7、如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（　　）

A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B
8、如图，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，则∠BDC的大小为（ ）

A． B． C． D．
9、如图，等腰中，，，于D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④．其中正确的是（ ）

A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
10、等腰三角形的一个顶角是80°，则它的底角是（ ）．
A．40° B．50° C．60° D．70°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，直线ED把分成一个和四边形BDEC，的周长一定大于四边形BDEC的周长，依据的原理是____________________________________．

2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 _____．

3、如图，AD⊥BC，∠1＝∠B，∠C=65°，∠BAC＝__________

4、如图，点，在直线上，且，且，过，，分别作，，，若，，，则的面积是______．

5、一个三角形的其中两个内角为，，则这个第三个内角的度数为______．
三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、已知：如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5．
（1）直接写出BC的取值范围是　 　．
（2）若点D是BC边上的一点，∠BAC＝85°，∠ADC＝140°，∠BAD＝∠B，求∠C．

2、已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC．

3、如图，在中，是角平分线，，．

（1）求的度数；
（2）若，求的度数．
4、在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上（线段BC之外）移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

5、如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．

6、如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．

（1）求的度数；
（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．
7、已知∠POQ=120°，点A，B分别在OP，OQ上，OA＜OB，连接AB，在AB上方作等边△ABC，点D是BO延长线上一点，且AB=AD，连接AD
（1）补全图形；
（2）连接OC，求证：∠COP=∠COQ；
（3）连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并证明


8、如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰，且使得点为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰．

9、（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”，如图1，中，，P为上一点，当_______时，与是偏等积三角形；

（2）如图2，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，．
①与是偏等积三角形吗？请说明理由；
②已知的面积为．如图3，计划修建一条经过点C的笔直的小路，F在边上，的延长线经过中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．
10、已知：如图，∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2．求证AB＝DC．


-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
根据题意，可得，结合选项根据三角形全等的性质与判定逐项分析即可．
【详解】
解：

A. ，，不能根据SSA证明三角形全等，故该选项符合题意；
B.


,

故能判定，不符合题意；
C. ,，
，故能判定，不符合题意；
D.


，故能判定，不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
2、B
【分析】
根据全等三角形的性质可得，根据即可求得答案．
【详解】
解：ABC≌DEF，

点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝4，

故选B
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
3、C
【分析】
依据l1∥l2，即可得到∠3＝∠1＝46°，再根据l3⊥l4，可得∠2＝90°﹣46°＝44°．
【详解】
解：如图：

∵l1∥l2，∠1＝46°，
∴∠3＝∠1＝46°，
又∵l3⊥l4，
∴∠2＝90°﹣46°＝44°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线性质以及三角形内角和，平行线的性质：两直线平行，同位角相等以及三角形内角和是180°．
4、A
【分析】
先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据线段的和差即可得．
【详解】
由旋转的性质得：，
，
是等边三角形，
，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
5、C
【分析】
由与，即可求得的度数，又由，根据两直线平行，同位角相等，即可求得的度数．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】
题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
6、D
【分析】
设第三根木棒长为x厘米，根据三角形的三边关系可得8﹣5＜x＜8+5，确定x的范围即可得到答案．
【详解】
解：设第三根木棒长为x厘米，由题意得：
8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
7、C
【详解】
由题意根据等式的性质得出BC＝EF，进而利用SSS证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DFE，最后利用三角形内角和进行分析解答．
【分析】
解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴2∠DFE＝180°﹣∠FGC，
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，其中全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；以及HL（直角三角形的判定方法）．
8、A
【分析】
根据题意设，根据三角形内角和公式定理，进而表示出，进而根据三角形内角和定理根据即可求解
【详解】
解：∵∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，设，
∴

即


故选A
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
9、A
【分析】
①利用等边对等角得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，得AC＝AE+CE＝AO+AP．
【详解】
解：①如图1，连接OB，

∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°，故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，
则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形，故③正确；
④如图2，在AC上截取AE＝PA，

∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AO+AP，
∴AB＝AO+AP，故④正确；
正确的结论有：①③④，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．
10、B
【分析】
依据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的性质即可解答．
【详解】
解：（180°-80°）÷2
=100°÷2
=50°；
答：底角为50°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和定理及等腰三角形的两个底角相等的特点．
二、填空题
1、三角形两边之和大于第三边
【分析】
表示出和四边形BDEC的周长，再结合中的三边关系比较即可．
【详解】
解：的周长=
四边形BDEC的周长=
∵在中
∴
即的周长一定大于四边形BDEC的周长，
∴依据是：三角形两边之和大于第三边；
故答案为三角形两边之和大于第三边
【点睛】
本题考查了三角形三边关系定理，关键是熟悉三角形两边之和大于第三边的知识点．
2、4
【分析】
根据题意过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ=FN，连接PJ，进而利用全等三角形的性质证明EF=EM+EN，即可得出结论．
【详解】
解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ．

∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2EM＝2PM，
∵S△ABC＝•BC•AC＝（AC+BC+AB）•PM，
∴PM＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查角平分线的性质定理，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问．
3、70°
【分析】
先根据AD⊥BC可知∠ADB＝∠ADC＝90°，再根据直角三角形的性质求出∠1与∠DAC的度数，由∠BAC＝∠1+∠DAC即可得出结论．
【详解】
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣65°＝25°，∠1＝∠B＝45°，
∴∠BAC＝∠1+∠DAC＝45°+25°＝70°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
4、15
【分析】
根据AAS证明△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，再根据全等三角形的性质以及三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）∵EF⊥FG，BG⊥FG，
∴∠EFA=∠AGB=90°，
∴∠AEF+∠EAF=90°，
又∵AE⊥AB，即∠EAB=90°，
∴∠BAG+∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠BAG，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△EFA≌△AGB（AAS）；
同理可证△BGC≌△CHD（AAS），
∴AG=EF=6，CG=DH=4，
∴S△ABC=ACBG=(AG+GC)BG=(6+4)3=15．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
5、60°
【分析】
依题意，利用三角形内角和为：，即可；
【详解】
由题得：一个三角形的内角和为：；又已知两个其中的内角为：，；
∴ 第三个角为：；
故填：
【点睛】
本题主要考查三角形的内角和，关键在于熟练并运用基本的计算；
三、解答题
1、（1）2＜BC＜8；（2）25°
【分析】
（1）根据三角形三边关系解答即可；
（2）根据三角形外角性质和三角形内角和解答即可．
【详解】
解：（1）∵AC-AB＜BC＜AC+AB，AB＝3，AC＝5．
∴2＜BC＜8，
故答案为：2＜BC＜8
（2）∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝140
∵∠B＝∠BAD
∴∠B＝
∵∠B+∠BAC+∠C＝180
∴∠C＝180﹣∠B﹣∠BAC
即∠C＝180﹣70﹣85＝25
【点睛】
本题考查了三角形第三边的取值范围，三角形内角和定理和三角形外角的性质，能根据三角形的外角的性质求出∠B的度数是解此题的关键．
2、见解析
【分析】
证明△BAC≌△BDC即可得出结论．
【详解】
解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠DBC，
在△BAC和△BDC中，
∴△BAC≌△BDC，
∴AC＝DC．
【点睛】
本题考查角平分线的意义及全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握角平分线的性质及全等三角形的判定与性质．
3、
（1）；
（2）．
【分析】
（1）根据三角形内角和定理可求出，然后利用角平分线进行计算即可得；
（2）根据垂直得出，然后根据三角形内角和定理即可得．
（1）
解：∵，，
∴，
∵AD是角平分线，
∴，
∴；
（2）
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的计算等，熟练运用三角形内角和定理是解题关键．
4、（1）90；（2），见解析；②或
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；
（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵AB=AC，AD=AE，
∴，，
∵，
∴，
在和中


∴，
∴
（2）或．
理由：①∵，
∴．
即．
在和中
，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：

∵，
∴．
即．
在和中
，
∴．
∴．
∵，，
，
．
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键．
5、CM＝7．
【分析】
根据题意由“SAS”可证△AEC≌△ADB，可得BD=CE，由等腰三角形的性质可得DM=ME=2进行分析计算即可得出答案．
【详解】
解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△AEC和△ADB中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
又∵BD＝5，
∴CE＝BD＝5，
∵AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，
∴，
∴CM＝CE+EM＝5+2＝7．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
6、（1）70°；（2）15km/h
【分析】
（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB；
（2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km，进而由速度=路程÷时间求解即可．
【详解】
解：（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，
∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°；
（2）∵∠BAC=∠ACB=70°，
∴BC=AB=75km，
∴轮船的速度为75÷5=15（km/h）．
【点睛】
本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角对等边是解答的关键．
7、（1）见解析；（2）见解析；（3）∠DAB=150°，见解析
【分析】
（1）依据题意作出相应图形即可；
（2）在BQ上截取BE=AO，连接CE，由等边三角形的性质得，CA=CB，∠ACB=60°
由同角的补角相等得∠CAO=∠CBE，由SAS证得△CAO和△CBE全等，即可得证；
（3）由∠DAB=150°， DA=AB，得∠ADB=∠ABD=15°，由等边三角形性质，可得∠CAB=∠CBA=∠ACB =60°，故∠CAD=150°，由等边对等角得∠ADC=∠ACD=15°，由此∠DBC=∠DCB=75°，由等角对等边得DB=DC 再由∠POQ=120°，∠BDC=30°，得∠DFO=90°，等量代换即可得证.
【详解】
解：（1）如图所示：

（2）证明如下：
在BQ上截取BE=AO，连接CE，

∵△ABC为等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°
∵∠POQ=120°，
∴∠CAO+∠CBO=180°
∵∠CBO+∠CBE=180°，
∴∠CAO=∠CBE，
在△CAO和△CBE中，，
∴△CAO≌△CBE（SAS），
∴CO=CE，∠COA=∠CEB，
∴∠COE=∠CEB，
∴∠COP=∠COQ；
（3）∠DAB=150°，
如图：

∵∠DAB=150°， DA=AB，
∴∠ADB=∠ABD=15°
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=∠ACB =60°，
∴∠CAD=150°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=15°，
∴∠DBC=∠DCB=75°，
∴DB=DC，
∵∠POQ=120°，∠BDC=30°，
∴∠DFO=90°
∵AD=AC，
∴DF=FC
∴DO=OC
∵DB=DO+OB，
∴DB=CO+OB，
∴CD= OB + OC.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及添加辅助线构造全等三角形，掌握相应的判定和性质是解答此题的关键.
8、答案见解析
【分析】
AB为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线，因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可
【详解】
解：如图，
……
[答案不唯一]
【点睛】
本题考查等腰三角形的绘图，掌握等边三角形和等腰三角形性质即可．
9、（1）；（2）①与是偏等积三角形，理由见详解；②修建小路的总造价为元
【分析】
（1）当时，则，证，再证与不全等，即可得出结论；
（2）①过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论；②过点作，交的延长线于，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得，，求出，即可求解．
【详解】
解：（1）当时，与是偏等积三角形，理由如下：
设点到的距离为，则，，
，
，，
，
、，
与不全等，
与是偏等积三角形，
故答案为：；
（3）①与是偏等积三角形，理由如下：
过作于，过作于，如图3所示：

则，
、是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，，
，
，，
与不全等，
与是偏等积三角形；
②如图4，过点作，交的延长线于，

则，
点为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
由①得：与是偏等积三角形，
，，
，
修建小路的总造价为：（元．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明和是解题的关键，属于中考常考题型．
10、见解析
【分析】
由“ASA”可证△ABO≌△DCO，可得结论．
【详解】
证明：如图，记的交点为

∵∠ABC＝∠DCB，∠1＝∠2，
又∵∠OBC＝∠ABC−∠1，∠OCB＝∠DCB−∠2，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
在△ABO和△DCO中，，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB＝DC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．