沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试课堂检测

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沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专项测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、尺规作图：作角等于已知角．示意图如图所示，则说明的依据是（ ）


A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
2、在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠C＝（　　）
A．70° B．80° C．100° D．120°
3、如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边中点，则下列结论不正确的是（ ）

A．ÐB＝ÐC B．AD⊥BC C．ÐBAD＝ÐCAD D．AB＝2BC
4、如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（ ）．

A．25° B．60° C．90° D．100°
5、已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠BDC的度数是（　　）

A．95° B．90° C．85° D．80°
6、如图，E为线段BC上一点，∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，AE=ED，BC=20，AB=8，则BE的长度为（ ）

A．12 B．10 C．8 D．6
7、如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8、已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．4
9、如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
10、如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（　　）

A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，点D是的平分线OC上一点，过点D作交射线OA于点E，则线段DE与OE的数量关系为：DE______OE（填“＞”或“＝”或“＜”）．

2、如图，四边形中，，连接，平分，E是直线上一点，，，则的长为________．

3、如图，是等腰直角三角形，AB是斜边，以BC为一边在右侧作等边三角形BCD，连接AD与BC交于点E，则的度数为______度．

4、已知：如图，AB = DB．只需添加一个条件即可证明．这个条件可以是______．（写出一个即可）．

5、若，则以、为边长的等腰三角形的周长为________．
三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、如图，在中，AD是BC边上的高，CE平分，若，，求的度数．

2、已知，如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2＝60°．

（1）求证：△ADE≌△ABC；
（2）求证：AE＝CE．
3、已知：
（1）O是∠BAC内部的一点．
①如图1，求证：∠BOC＞∠A；
②如图2，若OA＝OB＝OC，试探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．
（2）如图3，当点O在∠BAC的外部，且OA＝OB＝OC，继续探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．

4、阅读填空，将三角尺（△MPN，∠MPN=90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图①所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C，我们来研究∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．

（1）特例探索：
若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB= 度，∠ABP+∠ACP= 度．
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ．
（3）变式探索：
如图②所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ．
5、如图所示，四边形的对角线、相交于点，已知，．求证：

（1）；
（2）．
6、如图，是的角平分线，于点．

（1）用尺规完成以下基本作图：过点作于点，连接交于点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中所作的图形中，求证：．
7、如图，在中，是的平分线，点在边上，且．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，求的大小．

8、在等边中，D、E是BC边上两动点（不与B，C重合）

（1）如图1，，求的度数；
（2）点D在点E的左侧，且AD=AE，点E关于直线AC的对称点为F，连接AF，DF．
①依题意将图2补全；
②求证：．
9、如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果）

10、下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角．

求作：射线OC，使．
作法：如图，

①在射线OA上任取一点D；
②以点О为圆心，OD长为半径作弧，交OB于点E；
③分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，在内，两弧相交于点C；
④作射线OC．
则OC为所求作的射线．
完成下面的证明．
证明：连接CD，CE
由作图步骤②可知______．
由作图步骤③可知______．
∵，
∴．
∴（________）（填推理的依据）．

-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
利用基本作图得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，则根据全等三角形的判定方法可根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，然后根据全等三角形的性质得到∠A′OB′＝∠AOB．
【详解】
解：由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，
所以∠A′OB′＝∠AOB．
故选：A．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握基本作图和全等三角形的判定定理．
2、D
【分析】
根据三角形的内角和，①，进而根据已知条件，将代入①即可求得
【详解】
解：∵在△ABC中，，∠A＝∠B＝∠C，
∴
解得
故选D
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
3、D
【分析】
根据等腰三角形的等边对等角的性质及三线合一的性质判断．
【详解】
解：∵AB＝AC，点D是BC边中点，
∴ÐB＝ÐC，AD⊥BC，ÐBAD＝ÐCAD，
故选：D．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
4、D
【分析】
由等边三角形的性质及三角形外角定理即可求得结果．
【详解】
∵是等边三角形
∴∠C=60°
∴∠ADB=∠DBC+∠C=40°+60°=100°
故选：D
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，掌握这两个性质是关键．
5、C
【分析】
根据SAS证△ABE≌△ACD，推出∠C＝∠B，求出∠C的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC＝∠A+∠C，代入求出即可．
【详解】
解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠C＝∠B，
∵∠B＝25°，
∴∠C＝25°，
∵∠A＝60°，
∴∠BDC＝∠A+∠C＝85°，
故选C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
6、A
【分析】
利用角相等和边相等证明，利用全等三角形的性质以及边的关系，即可求出BE的长度．
【详解】
解：由题意可知：∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，
，，
，
在和中，

，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题主要是考查了全等三角形的判定和性质，熟练通过已知条件证明三角形全等，利用全等性质及边的关系，来求解未知边的长度，这是解决本题的主要思路．
7、C
【分析】
根据平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质逐个判定即可解答．
【详解】
解：∵BF是∠AB的角平分线，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
∴△BDF是等腰三角形；故①正确；
同理，EF＝CE，
∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）＝65°，
∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；
当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，
但△ABC不一定是等腰三角形，
∴DF不一定等于EF，故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义及平行线的性质等知识点，根据两直线平行、内错角相等以及等角对等边来判定等腰三角形是解答本题的关键．
8、C
【分析】
根据三角形三边关系列出不等式，根据不等式的解集求整数m的最大值．
【详解】
解：条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则
，即
又为整数，则整数m的最大值是7
故选C
【点睛】
本题考查了求不等式的整数解，三角形三边关系，根据三角形的三边关系列出不等式是解题的关键．
9、A
【分析】
先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据线段的和差即可得．
【详解】
由旋转的性质得：，
，
是等边三角形，
，
，
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
10、C
【详解】
由题意根据等式的性质得出BC＝EF，进而利用SSS证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DFE，最后利用三角形内角和进行分析解答．
【分析】
解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴2∠DFE＝180°﹣∠FGC，
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，其中全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；以及HL（直角三角形的判定方法）．
二、填空题
1、＝
【分析】
首先由平行线的性质求得∠EDO=∠DOB，然后根据角平分线的定义求得∠EOD=∠DOB，最后根据等腰三角形的判定和性质即可判断．
【详解】
解：∵ED∥OB，
∴∠EDO=∠DOB，
∵D是∠AOB平分线OC上一点，
∴∠EOD=∠DOB，
∴∠EOD=∠EDO，
∴DE=OE，
故答案为：=．
【点睛】
本题主要考查的是平行线的性质、角平分线的定义以及等角对等边，根据平行线的性质和角平分线的定义求得∠EOD=∠EDO是解题的关键．
2、6或10
【分析】
先利用平行线的性质和等角对等边的性质得到AB=AD，再根据点E在D的左边和右边分别求解即可；
【详解】
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
当点E在线段AD上时，
∵，，
∴，
当点E在线段AD延长线上时，
∵，，
∴；
故答案是：6或10．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，先证出AB=AD是解题的关键．
3、75
【分析】
由题意，是等腰三角形，然后求出的度数，再根据三角形的外角性质，即可求出的度数．
【详解】
解：∵是等腰直角三角形，
∴AC=BC，∠ABC=∠BAC=45°，∠ACB=90°，
∵△BCD是等边三角形，
∴BC=CD，∠BCD=60°，
∴AC=CD，∠ACD=90°+60°=150°，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：75．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．
4、AC=DC
【分析】
由题意可得，BC为公共边，AB=DB，即添加一组边对应相等，可证△ABC与△DBC全等．
【详解】
解：∵AB=DB，BC=BC，
添加AC=DC，
∴在△ABC与△DBC中，
，
∴△ABC≌△DBC（SSS），
故答案为：AC=DC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
5、17
【分析】
先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分情况讨论求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，，
解得：，，
①若是腰长，则底边为7，三角形的三边分别为3、3、7，
∵，
∴3、3、7不能组成三角形；
②若是腰长，则底边为3，三角形的三边分别为7、7、3，能组成三角形，
周长为：，
∴以、为边长的等腰三角形的周长为17，
故答案为：17．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，绝对值和平方的非负性，以及三角形的三边关系，难点在于要分类讨论求解．
三、解答题
1、85°
【分析】
由高的定义可得出∠ADB＝∠ADC＝90，在△ACD中利用三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，结合CE平分∠ACB可求出∠ECB的度数．由三角形外角的性质可求出∠AEC的度数，
【详解】
解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90．
在△ACD中，∠ACB＝180°﹣∠ADC﹣∠CAD＝180°﹣90°﹣20°＝70°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACB＝35°．
∵∠AEC是△BEC的外角，，
∴∠AEC＝∠B+∠ECB＝50°+35°＝85°．
答：∠AEC的度数是85°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，利用三角形内角和定理及角平分线的性质，求出∠ECB的度数是解题的关键．
2、（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据∠1＝∠2可推出∠DAE=∠BAC，然后结合全等三角形的判定定理进行证明；
（2）由全等三角形的性质可得AE＝AC，结合∠2＝60°可推出△AEC为等边三角形，据此证明．
【详解】
（1）证明：∵∠1＝∠2
∴∠1+＝∠2+  
 即∠DAE=∠BAC
在△ADE和△ABC中
 
 ∴△ADE≌△ABC（ASA）
（2）证明：∵△ADE≌△ABC
∴AE＝AC
又∵∠2＝60°
∴△AEC为等边三角形
∴AE＝CE
【点睛】
此题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，等边三角形的性质和判定方法．
3、（1）①见解析；②∠BOC＝2∠A，见解析；（2）∠BOC＝2∠BAC，见解析
【分析】
（1）①连接AO并延长AO至点E，根据三角形外角性质解答即可；
②延长AO至点E，根据三角形外角性质解答即可；
（2）根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答即可．
【详解】
证明：（1）①如图所示：连接AO并延长AO至点E，则∠BOE＞∠BAO，∠COE＞∠CAO，
∴∠BOC＞∠A；

②∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠A；
证明：如图所示，延长AO至点E，则∠BOE＝∠BAO+∠B，∠COE＝∠CAO+∠C，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠B，∠CAO＝∠C，
∴∠BOC＝∠COE+∠COE＝∠BAO+∠B+∠CAO+∠C＝2（∠BAO+∠CAO）＝2∠BAC；

（2）∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠BAC；
证明：如图所示，设∠B＝x，

∵OA＝OB＝OC，
∴∠B＝∠BAO＝x，∠C＝∠OAC＝∠BAC+x；
在△BEO和△AEC中，有：∠B+∠BOC＝∠C+∠CAE；
即x+∠BOC＝∠CAE+x+∠CAE＝2∠BAC+x；
即∠BOC＝2∠BAC．
【点睛】
此题考查三角形综合题，关键是根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答．
4、（1）90，40 ；（2）∠ABP+∠ACP+∠A=90°；（3）∠A+∠ACP－∠ABP=90°．
【分析】
（1）由三角形内角和为180°计算和中的角的关系即可．
（2）由（1）所得即可得出∠ABP、∠ACP、∠A的关系为∠ABP+∠ACP+∠A=90°．
（3）由三角形外角的性质即可推出∠A+∠ACP－∠ABP=90°．
【详解】
（1）在中
∵∠MPN=90°
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠MPN=180°-90°=90°
在中
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°
又∵∠ABC=∠PBC+∠ABP，∠ACB=∠ACP+∠BCP
∴∠A+∠PBC+∠ABP +∠ACP+∠BCP =180°
∵∠PBC+∠PCB=90°，∠A=50°
∴∠ABP +∠ACP=180°-90°-50°=40°
（2）由（1）问可知∠A+∠PBC+∠ABP +∠ACP+∠BCP =180°
又∵∠PBC+∠PCB=90°
∴∠A+∠ABP +∠ACP=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-90°=90°
（3）如图所示，设PN与AB交于点H
∵∠A+∠ACP=∠AHP
又∵∠ABP+∠MPN =∠AHP
∴∠A+∠ACP=∠ABP+∠MPN
又∵∠MPN =90°
∴∠A+∠ACP =90°+∠ABP
∴∠A+∠ACP－∠ABP=90°．

【点睛】
本题考查了三角形的性质以及三角尺的角度计算问题，三角板的角度分别为90°，45°，45°；90°，60°，30°两种直角三角尺，三角形内角和是180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
5、
（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理可直接证明；
（2）根据（1）中结论可得，再由等角对等边得出，运用等式的性质进行计算即可证明．
（1）
解：在与中，
，
∴；
（2）
由（1）可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
6、（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）以点D为圆心，适当长为半径，作弧，交AC于两点，再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，连接两条弧的交点所在的直线，该直线与AC的交点即为点F，连接交于点；
（2）利用角平分线性质可得，由此证明，得到，继而证明，证得即可解题．
【详解】
解：（1）如图，点F、G即为所求作的点；

（2）是的角平分线，，，










【点睛】
本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
7、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【分析】
（Ⅰ）由CD是的平分线得出，由得出
从而得出，由平行线的判断即可得证；
（Ⅱ）由三角形内角和求出，由角平分线得出，由三角形内角和求出即可得出答案．
【详解】
（Ⅰ）∵CD是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（Ⅱ）∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查平行线的判定以及三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键
8、（1）；（2）①作图见解析；②证明见解析
【分析】
（1）等边三角形中，由知，，进而求出的值；
（2）①作图见详解；② ，，，点E，F关于直线对称，，，，为等边三角形，进而可得到．
【详解】
解：（1）为等边三角形


．
（2）①补全图形如图所示，

②证明：为等边三角形



，

点E，F关于直线对称
，

即

为等边三角形
．
【点睛】
本题考察了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质．解题的关键在于角度的转化．
9、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或
【分析】
（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论；
（2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．
【详解】
（1）证明：∵FD⊥AC，
∴∠FDA=90°，
∴∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，
∴∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，
，
∴△AFD≌△EAC（AAS），
∴DF=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC；
（2）作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG=CG=1，
∴AD=2，
∴CE=2，
∵BC=AC=AG+CG=4，
∴E点为BC中点；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
∴CG=GD，AD=CE=7，
∴CG=DG=1.5，
∴AG=CG+AC=5.5，
∴，
同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5，
∴，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10、OE； CE；全等三角形的对应角相等
【分析】
根据圆的半径相等可得OD=OE，CD=CE，再利用SSS可证明，从而根据全等三角形的性质可得结论．
【详解】
证明：连接CD，CE
由作图步骤②可知___OE___．
由作图步骤③可知__CE___．
∵，
∴．
∴（__全等三角形对应角相等__）
故答案为：OE； CE；全等三角形的对应角相等
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定和性质．