沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试课堂检测

这是一份沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试课堂检测，共31页。试卷主要包含了尺规作图等内容，欢迎下载使用。
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形综合训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（　　）

A．BC＝EF B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．∠ACB＝∠DFE
2、如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（ ）

A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC
3、下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，7 B．3，4，8 C．3，4，5 D．3，3，7
4、如图，已知为的外角，，，那么的度数是（ ）

A．30° B．40° C．50° D．60°
5、以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，5cm B．3cm，3cm，6cm C．5cm，10cm，4cm D．1cm，2cm，3cm
6、在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则∠C＝（　　）
A．70° B．80° C．100° D．120°
7、尺规作图：作角等于已知角．示意图如图所示，则说明的依据是（ ）


A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
8、如图，若绕点A按逆时针方向旋转40°后与重合，则（ ） ．

A．40° B．50° C．70° D．100
9、如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（ ）．

A．25° B．60° C．90° D．100°
10、有下列说法：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与顶角互余；③等腰三角形顶角的平分线是它的对称轴；④等腰三角形两腰上的中线相等．其中正确的说法有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，△ABC中，AB＝AC＝DC，D在BC上，且AD＝DB，则∠BAC＝_____．

2、如图，在正方形网格中，∠BAC______∠DAE．（填“＞”、“＝”或“＜”）

3、如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E为AC上一点，将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，若∠AEF=50°，则∠A的度数为__．

4、如图，△ABC中，AB平分∠DAC，AB⊥BC，垂足为B，若∠ADC与∠ACB互补，BC＝5，则CD的长为_________．

5、如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是______海里．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形．

2、如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，．求证：．

3、如图，在中，，，，BD是的角平分线，点E在AB边上，．求的周长．

4、数学课上，王老师布置如下任务：
如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．

根据小路设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ ，( )（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠ ，( )（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
5、已知∠POQ=120°，点A，B分别在OP，OQ上，OA＜OB，连接AB，在AB上方作等边△ABC，点D是BO延长线上一点，且AB=AD，连接AD
（1）补全图形；
（2）连接OC，求证：∠COP=∠COQ；
（3）连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并证明


6、如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB=DE，∠B=∠E，BF=CE．求证：AC=DF．

7、在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边的边上，且，，交于点Q．求证：．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：

（1）若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由．
（2）若将题中的点M，N分别移动到的延长线上，是否仍能得到？请你画出图形，给出答案并说明理由．
8、针对于等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：在△ABC中，AD 平分∠CAB，交BC 边于点 D，且CD＝BD，
求证：AB＝AC．
以下是甲、乙两位同学的作法．
甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角等和一组边等，再加一组公共边，可证△ACD≌△ABD，所以这个三角形为等腰三角形；
乙：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，可证△ACD≌△EBD，依据已知条件可推出AB＝AC，所以这个三角形为等腰三角形
（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）；
A.两人都正确 B.甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确
（2）选择一种你认为正确的作法，并证明．

9、如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别同时从A、B、C以同样的速度沿AB、BC、CA方向运动，当点D运动到点B时，三个点都停止运动．
（1）在运动过程中△DEF是什么形状的三角形，并说明理由；
（2）若运动到某一时刻时，BE=4，∠DEC=150°，求等边△ABC的周长；

10、如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数．


-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
根据AF=DC求出AC=DF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【详解】
解：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，
即AC=DF，
A、BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
B、AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∠B=∠E，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
D．∠ACB=∠DFE，AC=DF，∠A=∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
2、C
【分析】
根据全等三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】
解：根据题意可知：AB＝AC，，
若，则根据可以证明△ABE≌△ACD，故A不符合题意；
若AD＝AE，则根据可以证明△ABE≌△ACD，故B不符合题意；
若BE＝CD，则根据不可以证明△ABE≌△ACD，故C符合题意；
若∠AEB＝∠ADC，则根据可以证明△ABE≌△ACD，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．
3、C
【分析】
根据组成三角形的三边关系依次判断即可．
【详解】
A、 3，4，7中3+4=7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．
B、 3，4，8中3+4＜8，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．
C、 3，4，5中任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边，故能组成三角形，符合题意，选项正确．
D、 3，3，7中3+3＜7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4、B
【分析】
根据三角形的外角性质解答即可．
【详解】
解：∵∠ACD＝60°，∠B＝20°，
∴∠A＝∠ACD−∠B＝60°−20°＝40°，
故选：B．
【点睛】
此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质解答．
5、A
【分析】
三角形的任意两条之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据原理再分别计算每组线段当中较短的两条线段之和，再与最长的线段进行比较，若和大于最长的线段的长度，则三条线段能构成三角形，否则，不能构成三角形，从而可得答案.
【详解】
解： 所以以3cm，4cm，5cm为边能构成三角形，故A符合题意；
所以以3cm，3cm，6cm为边不能构成三角形，故B不符合题意；
所以以5cm，10cm，4cm为边不能构成三角形，故C不符合题意；
所以以1cm，2cm，3cm为边不能构成三角形，故D不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查的是三角形的三边之间的关系，掌握“利用三角形三边之间的关系判定三条线段能否组成三角形”是解本题的关键.
6、D
【分析】
根据三角形的内角和，①，进而根据已知条件，将代入①即可求得
【详解】
解：∵在△ABC中，，∠A＝∠B＝∠C，
∴
解得
故选D
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
7、A
【分析】
利用基本作图得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，则根据全等三角形的判定方法可根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，然后根据全等三角形的性质得到∠A′OB′＝∠AOB．
【详解】
解：由作法可得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，
所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′，
所以∠A′OB′＝∠AOB．
故选：A．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握基本作图和全等三角形的判定定理．
8、C
【分析】
根据旋转的性质，可得 ， ，从而得到，即可求解．
【详解】
解：∵绕点A按逆时针方向旋转40°后与重合，
∴ ， ，
∴．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，熟练掌握图形旋转前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键．
9、D
【分析】
由等边三角形的性质及三角形外角定理即可求得结果．
【详解】
∵是等边三角形
∴∠C=60°
∴∠ADB=∠DBC+∠C=40°+60°=100°
故选：D
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，掌握这两个性质是关键．
10、B
【分析】
根据轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质判断即可．
【详解】
解：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，说法正确；
②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与底角互余，原说法错误；
③等腰三角形的顶角平分线在它的对称轴上，原说法错误；
④等腰三角形两腰上的中线相等，说法正确．
综上，正确的有①④，共2个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质，掌握轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
1、108°108度
【分析】
先设∠B＝x，由AB＝AC可知，∠C＝x，由AD＝DB可知∠B＝∠DAB＝x，由三角形外角的性质可知∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，根据DC＝CA可知∠ADC＝∠CAD＝2x，再在△ABC中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值，从而求解．
【详解】
设∠B＝x，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝x，
∵AD＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝x，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝2x，
∵DC＝CA，
∴∠ADC＝∠CAD＝2x，
在△ABC中，x+x+2x+x＝180°，
解得：x＝36°．
∴∠BAC＝108°．
故答案为：108°．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练进行逻辑推理
2、
【分析】
找到点，连接（见解析），根据等腰直角三角形的性质、网格特点即可得．
【详解】
解；如图，找到点，连接，

则是等腰直角三角形，
，
又是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形、角的大小比较，正确找出点是解题关键．
3、65°度
【分析】
由点D为BC边的中点，得到BD=CD，根据折叠的性质得到DF=CD，∠EFD=∠C，得到DF=BD，根据等腰三角形的性质得到∠BFD=∠B，由三角形的内角和和平角的定义得到∠A=∠AFE，于是得到结论．
【详解】
解：∵点D为BC边的中点，
∴BD=CD，
∵将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，
∴DF=CD，∠EFD=∠C，
∴DF=BD，
∴∠BFD=∠B，
∵∠A=180°-∠C-∠B，∠AFE=180°-∠EFD-∠DFB，
∴∠A=∠AFE，
∵∠AEF=50°，
∴∠A=（180°-50°）=65°．
故答案为：65°．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键．
4、10
【分析】
构造，再证得，求得EB=BC,再通过等量代换、等角的补角相等求得∠E=∠CDE，则CE=2BC=10．
【详解】
解：延长AD.和CB交于点E.

∵AB平分∠DAC
∴∠EAB=∠CAB
又∵
∴∠ABE=∠ABC
又∵AB=AB
∴
∴BC=EB=5，∠E=∠ACB，
又∵
∴∠ACB=∠CDE
∴∠E=∠CDE
∴.CD=CE
又∵CE=2BC=10
∴CD=10
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等角的补角相等，能根据全等三角形的性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键．
5、20
【分析】
根据题干所给的角的度数，易证是等腰三角形，而AB的长易求，即可根据等腰三角形的性质，得出BC的值．
【详解】
解：据题意得，．
∵，即，
∴，
∴．
由题意可知这艘船行驶的时间为（小时）．
∴（海里），
∴（海里）．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角的问题，解题的关键是由已知得到三角形是等腰三角形，要学会把实际问题转化为数学问题，再用数学知识解决实际问题．
三、解答题
1、见解析
【分析】
根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE=∠BAD，等量代换得到∠ADE=∠CAD于是得到结论．
【详解】
解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是底边BC上的中线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠BAD，
∴∠ADE=∠CAD，
∴AE=ED，
∴△AED是等腰三角形．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．
2、见解析
【分析】
根据平行线的性质得出，运用“角角边”证明△AEB≌△CFD即可．
【详解】
证明：∵，
∴，
在△AEB和△CFD中，

∴△AEB≌△CFD，
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理进行证明．
3、
【分析】
由题意结合角平分线性质和全等三角形判定得出，进而依据的周长进行求解即可.
【详解】
解：∵，，，
∴,
∵BD是的角平分线，
∴,
在和中，
,
∴，
∴，
∵，
∴的周长.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质以及角平分线性质进行边的等量替换是解题的关键.
4、（1）见解析；（2）DB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；BDC； 等边对等角．
【分析】
（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可．
（2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角进行解答即可．
【详解】
解：(1) 根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；

(2)解：证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ DB ，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
【点睛】
本题主要是考查了尺规作图能力以及垂直平分线和等边对等角的性质，熟练掌握垂直平分线和等边对等角的性质，是解决该题的关键．
5、（1）见解析；（2）见解析；（3）∠DAB=150°，见解析
【分析】
（1）依据题意作出相应图形即可；
（2）在BQ上截取BE=AO，连接CE，由等边三角形的性质得，CA=CB，∠ACB=60°
由同角的补角相等得∠CAO=∠CBE，由SAS证得△CAO和△CBE全等，即可得证；
（3）由∠DAB=150°， DA=AB，得∠ADB=∠ABD=15°，由等边三角形性质，可得∠CAB=∠CBA=∠ACB =60°，故∠CAD=150°，由等边对等角得∠ADC=∠ACD=15°，由此∠DBC=∠DCB=75°，由等角对等边得DB=DC 再由∠POQ=120°，∠BDC=30°，得∠DFO=90°，等量代换即可得证.
【详解】
解：（1）如图所示：

（2）证明如下：
在BQ上截取BE=AO，连接CE，

∵△ABC为等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°
∵∠POQ=120°，
∴∠CAO+∠CBO=180°
∵∠CBO+∠CBE=180°，
∴∠CAO=∠CBE，
在△CAO和△CBE中，，
∴△CAO≌△CBE（SAS），
∴CO=CE，∠COA=∠CEB，
∴∠COE=∠CEB，
∴∠COP=∠COQ；
（3）∠DAB=150°，
如图：

∵∠DAB=150°， DA=AB，
∴∠ADB=∠ABD=15°
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=∠ACB =60°，
∴∠CAD=150°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=15°，
∴∠DBC=∠DCB=75°，
∴DB=DC，
∵∠POQ=120°，∠BDC=30°，
∴∠DFO=90°
∵AD=AC，
∴DF=FC
∴DO=OC
∵DB=DO+OB，
∴DB=CO+OB，
∴CD= OB + OC.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及添加辅助线构造全等三角形，掌握相应的判定和性质是解答此题的关键.
6、见解析
【分析】
先由BF=CE说明BC= EF．然后运用SAS证明△ABC≌△DEF，最后运用全等三角形的性质即可证明．
【详解】
证明：∵BF= CE，
∴BC= EF．
在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（SAS）．
∴AC=DF．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△ABC≌△DEF是解答本题的关键．
7、
（1）仍是真命题，证明见解析
（2）仍能得到，作图和证明见解析
【分析】
（1）由角边角得出和全等，对应边相等即可．
（2）由（1）问可知BM=CN，故可由边角边得出和全等，对应角相等，即可得出．
（1）
∵
∴
∵
∴
在和中有

∴
∴
故结论仍为真命题．
（2）
∵BM=CN
∴CM=AN
∵AB=AC，，
在和中有

∴
∴
∴
故仍能得到，如图所示

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．
8、（1）C ；（2）见解析
【分析】
（1）甲同学证明的两个三角形全等，没有边边角的判定，故错误，而乙的证明则正确，因此可作出判断；
（2）按照乙的分析方法进行即可．
【详解】
（1）甲同学证明的两个三角形全等，边边角不能判定两个三角形全等，故错误，而乙的证明则正确，
故选C；
（2）依据题意，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图．
∵D为BC中点．
∴．
在△CAD和△BED中

∴△CAD≌△BED(SAS)．
∴，
∵AD平分∠BAC，
∴
∴
∴
∴AB＝AC
∴△ABC为等腰三角形

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，关键是构造辅助线得到全等三角形．
9、（1）△DEF是等边三角形，理由见解析（2）等边△ABC的周长为
【分析】
（1）利用△DEF是等边三角形的性质以及三点的运动情况，求证和，进而证明，最后即可说明△DEF是等边三角形．
（2）利用题（1）的条件即∠DEC=150°，得出是含角的直角三角形，求出，最后求解出等边△ABC的长，最后即可求出等边△ABC的周长．
【详解】
（1）解：△DEF是等边三角形，
证明：由点D、E、F的运动情况可知：，
△ABC是等边三角形，
,，
,
，
在与中，

，
，
同理可证，进而有，
，
故△DEF是等边三角形．
（2）解：由（1）可知△DEF是等边三角形，且，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
等边△ABC的周长为．
【点睛】
本题主要是考查了全等三角形的性质及判定、等边三角形的判定及性质和含角直角三角形的性质，熟练利用等边三角形的性质，找到相等条件，进而证明全等三角形，综合利用全等三角形以及含角直角三角形的性质，求出对应边长，是解决该题的关键．
10、
【分析】
AD是的高，有；由知；CE是的角平分线可得；，；在中，．
【详解】
解：∵AD是的高
∴
∵
∴
∵CE是的角平分线
∴
∵
∴
∴在中，．
【点睛】
本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．