初中第十四章 三角形综合与测试综合训练题

这是一份初中第十四章 三角形综合与测试综合训练题，共32页。试卷主要包含了如图，点A，下列三角形与下图全等的三角形是等内容，欢迎下载使用。
沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、等腰三角形的一个角是80°，则它的一个底角的度数是（ ）
A．50° B．80° C．50°或80° D．100°或80°
2、已知三角形的两边长分别是3cm和7cm，则下列长度的线段中能作为第三边的是（　　）
A．3cm B．4cm C．7cm D．10cm
3、△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（　　）

A．8 B．10 C．11 D．12
4、三根小木棒摆成一个三角形，其中两根木棒的长度分别是和，那么第三根小木棒的长度不可能是（ ）
A． B． C． D．
5、如图，点A、B、C、D在一条直线上，点E、F在AD两侧，，，添加下列条件不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
6、如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（　　）

A．∠B＝∠ADC B．2∠B＝∠ADC
C．∠B+∠ADC＝180° D．∠B+∠ADC＝90°
7、我们称网格线的交点为格点．如图，在4×4的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
8、下列三角形与下图全等的三角形是（ ）

A． B． C． D．
9、如图，若绕点A按逆时针方向旋转40°后与重合，则（ ） ．

A．40° B．50° C．70° D．100
10、如图，，于点，与交于点，若，则等于（ ）

A．20° B．50° C．70° D．110°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成 _____）．
2、如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是______海里．

3、如图，两根旗杆CA，DB相距20米，且CA⊥AB，DB⊥AB，某人从旗杆DB的底部B点沿BA走向旗杆CA底部A点．一段时间后到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角∠CMD＝90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为每秒2米，则这个人从点B到点M所用时间是 _____秒．

4、如图，在三角形ABC中，，点D为射线CB上一点，过点D作交直线AB于点E，交直线AC于点F，CG平分交DF于点G．若，则______°．

5、如图，已知，点，，，在射线ON上，点，，，在射线OM上，，，，均为等边三角形，若，则的边长为______．的边长为______．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：
如下图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得．
大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．


任务：
如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

2、在ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD=AE，∠DAE =∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= 度；
（2）设，．
①如图2，当点在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点在直线BC上（线段BC之外）移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

3、如图，E为AB上一点，BD∥AC，AB＝BD，AC＝BE．求证：BC＝DE．

4、如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．

（1）求的度数；
（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．
5、中，CD平分，点E是BC上一动点，连接AE交CD于点D．

（1）如图1，若，AE平分，则的度数为______；
（2）如图2，若，，，则的度数为______；
（3）如图3，在BC的右侧过点C作，交AE延长线于点F，且，．试判断AB与CF的位置关系，并证明你的结论．
6、已知：
（1）O是∠BAC内部的一点．
①如图1，求证：∠BOC＞∠A；
②如图2，若OA＝OB＝OC，试探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．
（2）如图3，当点O在∠BAC的外部，且OA＝OB＝OC，继续探究∠BOC与∠BAC的数量关系，给出证明．

7、如图，在中，，，，BD是的角平分线，点E在AB边上，．求的周长．

8、如图，点C是线段AB上一点，与都是等边三角形，连接AE，BF．

（1）求证：；
（2）若点M，N分别是AE，BF的中点，连接CM，MN，NC．
①依题意补全图形；
②判断的形状，并证明你的结论．
9、已知，∠A＝∠D，BC平分∠ABD，求证：AC＝DC．

10、如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数．


-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
已知给出一个角的的度数为80º，没有明确是顶角还是底角，要分类讨论，联合内角和求出底角即可．
【详解】
解：等腰三角形的一个角是80°，
当80º为底角时，它的一个底角是80º，
当80º为顶角时，它的一个底角是，
则它的一个底角是50º或80º．
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，内角和定理，掌握分类讨论的思想是解决问题的关键．
2、C
【分析】
设三角形第三边的长为x cm，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
【详解】
解：设三角形的第三边是xcm．则
7-3＜x＜7+3．
即4＜x＜10，
四个选项中，只有选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形三边关系的应用．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
3、B
【分析】
证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF=CH．由题意可知BE=FH，则得出五边形DECHF的周长=AB+BC，则可得出答案．
【详解】
解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH=GH，∠FHG=60°，
∴∠AHF+∠GHC=120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°，
∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC =120°-∠GHC，
∠HGC=180°-∠C-∠GHC =120°-∠GHC，
∴∠AHF=∠HGC，
在△AFH和△CHG中
，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF=CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE=FH，
∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF，
=(BD+DF+AF)+(CE+BE)，
=AB+BC=10．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
4、D
【分析】
设第三根木棒长为x厘米，根据三角形的三边关系可得8﹣5＜x＜8+5，确定x的范围即可得到答案．
【详解】
解：设第三根木棒长为x厘米，由题意得：
8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
5、A
【分析】
根据题意，可得，结合选项根据三角形全等的性质与判定逐项分析即可．
【详解】
解：

A. ，，不能根据SSA证明三角形全等，故该选项符合题意；
B.


,

故能判定，不符合题意；
C. ,，
，故能判定，不符合题意；
D.


，故能判定，不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
6、C
【分析】
由题意在射线AD上截取AE=AB，连接CE，根据SAS不难证得△ABC≌△AEC，从而得BC=EC，∠B=∠AEC，可求得CD=CE，得∠CDE=∠CED，证得∠B=∠CDE，即可得出结果．
【详解】
解：在射线AD上截取AE＝AB，连接CE，如图所示：

∵∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠EAC，
在△ABC与△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（SAS），
∴BC＝EC，∠B＝∠AEC，
∵CB＝CD，
∴CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∴∠B＝∠CDE，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE，CE．
7、A
【分析】
根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【详解】
解：如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个．
故共有3个点，
故选：A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．
8、C
【分析】
根据已知的三角形求第三个内角的度数，由全等三角形的判定定理即可得出答案．
【详解】
由题可知，第三个内角的度数为，
A.只有两边，故不能判断三角形全等，故此选项错误；
B.两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误；
C.两边相等且夹角相等，故能判断两三角形全等，故此选项正确；
D. 两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
9、C
【分析】
根据旋转的性质，可得 ， ，从而得到，即可求解．
【详解】
解：∵绕点A按逆时针方向旋转40°后与重合，
∴ ， ，
∴．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，熟练掌握图形旋转前后对应线段相等，对应角相等是解题的关键．
10、C
【分析】
由与，即可求得的度数，又由，根据两直线平行，同位角相等，即可求得的度数．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】
题目主要考查了平行线的性质与垂直的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
二、填空题
1、角边角或
【分析】
根据全等三角形的判定定理得出即可．
【详解】
解答：解：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成角边角或ASA，
故答案为：角边角或ASA．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
2、20
【分析】
根据题干所给的角的度数，易证是等腰三角形，而AB的长易求，即可根据等腰三角形的性质，得出BC的值．
【详解】
解：据题意得，．
∵，即，
∴，
∴．
由题意可知这艘船行驶的时间为（小时）．
∴（海里），
∴（海里）．
故答案为：20．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角的问题，解题的关键是由已知得到三角形是等腰三角形，要学会把实际问题转化为数学问题，再用数学知识解决实际问题．
3、4
【分析】
先说明，再利用证明，然后根据全等三角形的性质可得米，再根据线段的和差求得BM的长，最后利用时间=路程÷速度计算即可．
【详解】
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴米，
（米），
∵该人的运动速度，
他到达点M时，运动时间为s．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据题意证得是解答本题的关键．
4、80
【分析】
先求解 再求解 再利用三角形的外角的性质可得答案.
【详解】
解： ，，

，

，


CG平分，


故答案为：
【点睛】
本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，熟练的运用平行线的性质探究角之间的关系是解本题的关键.
5、2a 2n﹣1a
【分析】
利用等边三角形的性质得到∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，利用同样的方法得到A2O＝A2B2＝2a＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4＝22a，利用此规律即可得到AnBn＝2n﹣1a．
【详解】
解：∵△A1B1A2为等边三角形，∠MON＝30°，
∴∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，
同理：A2O＝A2B2＝2＝21a，
A3B3＝A3O＝2A2O＝4a＝22a，
……．
以此类推可得△AnBnAn+1的边长为AnBn＝2n﹣1a．
故答案为：2a；2n﹣1a．
【点睛】
本题考查规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，解题关键是掌握三角形边长的变化规律．
三、解答题
1、成立，证明见解析
【分析】
根据阅读材料将△ADF旋转120°再证全等即可求得EF= BE+DF ．
【详解】
解：成立．
证明：将绕点顺时针旋转，得到，
，，，，，

，、、三点共线，
．
，，，
，
．
【点睛】
本题考查旋转中的三角形全等，读懂材料并运用所学的全等知识是本题关键．
2、（1）90；（2），见解析；②或
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，由“SAS”可证△BAD≌△CAE，可得∠ABC＝∠ACE＝45°，可求∠BCE的度数；
（2）①由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论；②分两种情况，由“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵AB=AC，AD=AE，
∴，，
∵，
∴，
在和中


∴，
∴
（2）或．
理由：①∵，
∴．
即．
在和中
，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
②如图：

∵，
∴．
即．
在和中
，
∴．
∴．
∵，，
，
．
综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定方法及性质是关键．
3、见解析
【分析】
根据平行线的性质可得，利用全等三角形的判定定理即可证明．
【详解】
证明：∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定定理和平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
4、（1）70°；（2）15km/h
【分析】
（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB；
（2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km，进而由速度=路程÷时间求解即可．
【详解】
解：（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，
∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°；
（2）∵∠BAC=∠ACB=70°，
∴BC=AB=75km，
∴轮船的速度为75÷5=15（km/h）．
【点睛】
本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角对等边是解答的关键．
5、（1）40°；（2）10°；（3）AB∥CF，理由见解析
【分析】
（1）根据三角形的角和定理和角平分线的定义可求得∠BAC+∠ACB=140°即可求解；
（2）根据三角形的外角性质求得∠B+∠BAE=47°即可求解；
（3）延长AC到G，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠FCG=2∠F，再根据角平分线的定义和等角的余角相等得到∠BCF=2∠F，则有∠B=∠BCF，根据平行线在判定即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵∠ADC=110°，
∴∠DAC+∠DCA=180°－110°=70°，
∵AE平分∠BAC，CD平分∠ACB，
∴∠BAC=2∠DAC，∠ACB=2∠DCA，
∴∠BAC+∠ACB=2（∠DAC+∠DCA）=140°，
∴∠B=180°－（∠BAC+∠ACB）=180°－140°=40°，
故答案为：40°；
（2）∵∠ADC=∠DCE+∠DEC=100°，∠DCE=53°，
∴∠DEC=100°－53°=47°，
∴∠B+∠BAE=∠DEC=47°，
∵∠B－∠BAE=27°，
∴∠BAE=10°，
故答案为：10°；
（3）AB∥CF，理由为：
如图，延长AC到G，
∵AC=CF，
∴∠F=∠FAC，
∴∠FCG=∠F+∠FAC=2∠F，
∵CF⊥CD，
∴∠BCF+∠BCD=90°，∠FCG+∠ACD=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD，
∴∠BCF=∠FCG=2∠F，
∵∠B=2∠F，
∴∠B=∠BCF，
∴AB∥CF．

【点睛】
本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、平行线的判定，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
6、（1）①见解析；②∠BOC＝2∠A，见解析；（2）∠BOC＝2∠BAC，见解析
【分析】
（1）①连接AO并延长AO至点E，根据三角形外角性质解答即可；
②延长AO至点E，根据三角形外角性质解答即可；
（2）根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答即可．
【详解】
证明：（1）①如图所示：连接AO并延长AO至点E，则∠BOE＞∠BAO，∠COE＞∠CAO，
∴∠BOC＞∠A；

②∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠A；
证明：如图所示，延长AO至点E，则∠BOE＝∠BAO+∠B，∠COE＝∠CAO+∠C，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠B，∠CAO＝∠C，
∴∠BOC＝∠COE+∠COE＝∠BAO+∠B+∠CAO+∠C＝2（∠BAO+∠CAO）＝2∠BAC；

（2）∠BOC与∠BAC的数量关系：∠BOC＝2∠BAC；
证明：如图所示，设∠B＝x，

∵OA＝OB＝OC，
∴∠B＝∠BAO＝x，∠C＝∠OAC＝∠BAC+x；
在△BEO和△AEC中，有：∠B+∠BOC＝∠C+∠CAE；
即x+∠BOC＝∠CAE+x+∠CAE＝2∠BAC+x；
即∠BOC＝2∠BAC．
【点睛】
此题考查三角形综合题，关键是根据三角形外角性质和三角形内角和定理解答．
7、
【分析】
由题意结合角平分线性质和全等三角形判定得出，进而依据的周长进行求解即可.
【详解】
解：∵，，，
∴,
∵BD是的角平分线，
∴,
在和中，
,
∴，
∴，
∵，
∴的周长.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质以及角平分线性质，熟练掌握利用全等三角形的判定与性质以及角平分线性质进行边的等量替换是解题的关键.
8、
（1）证明见解析；
（2）①补全图形见解析；②是等边三角形，证明见解析．
【分析】
（1）由等边三角形的性质可知，，．结合题意易得出．即可利用“SAS”证明，即得出；
（2）①根据题意补全图形即可；
②由全等三角形的性质可知，．再由题意点M，N分别是AE，BF的中点，即得出．即可利用“SAS”证明，得出结论，．最后根据，即得出，即可判定是等边三角形．
（1）
∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴．
（2）
①画图如下：

②是等边三角形．
理由如下：∵，
∴，．
∵点M，N分别是AE，BF的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴是等边三角形．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的中点．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
9、见解析
【分析】
证明△BAC≌△BDC即可得出结论．
【详解】
解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC＝∠DBC，
在△BAC和△BDC中，
∴△BAC≌△BDC，
∴AC＝DC．
【点睛】
本题考查角平分线的意义及全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握角平分线的性质及全等三角形的判定与性质．
10、∠AFB＝40°．
【分析】
由题意易得∠ADC＝90°，∠ACB＝80°，然后可得，进而根据三角形外角的性质可求解．
【详解】
解：∵AD⊥BE，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝10°，
∴∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣10°＝80°，
∵AE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC，
∴，
又∵∠MAE＝∠ABF+∠AFB，∠MAC＝∠ABC+∠ACB，
∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝．
【点睛】
本题主要考查三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质及角平分线的定义是解题的关键．