初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十三章 相交线 平行线综合与测试同步测试题

七年级数学第二学期第十三章相交线 平行线定向练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，已知∠1 = 40°，∠2=40°，∠3 = 140°，则∠4的度数等于（    ）

A．40° B．36° C．44° D．100°

2、如图，直线被所截，下列说法，正确的有（    ）

①与是同旁内角；

②与是内错角；

③与是同位角；

④与是内错角．

A．①③④ B．③④ C．①②④ D．①②③④

3、如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠后，∠FEC＝30°，则∠AGE的度数为（    ）

A．30° B．60° C．80° D．不能确定

4、下列说法：

①和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角；

②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③同位角相等；

④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，

其中正确的有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

5、如图，木工用图中的角尺画平行线的依据是（    ）

A．垂直于同一条直线的两条直线平行

B．平行于同一条直线的两条直线平行

C．同位角相等，两直线平行

D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

6、如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为150°，则第二次的拐角为（　　）

A．40° B．50° C．140° D．150°

7、如图木条a、b、c用螺丝固定在木板a上，且，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面a内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系则下列描述错误的是（        ）

A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°

B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°

C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°

D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°

8、如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列说法错误的是（　　）

A．线段AC的长度表示点C到AB的距离

B．线段AD的长度表示点A到BC的距离

C．线段CD的长度表示点C到AD的距离

D．线段BD的长度表示点A到BD的距离

9、如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（　　）

A．∠1＝∠3 B．∠2+∠3＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1+∠4＝180°

10、下列语句中：

①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中正确的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B＝40°，则∠DAC的度数为____．

2、如图，AO⊥BO，O为垂足，直线CD过点O，且∠BOD＝3∠AOC，则∠BOD＝________．

3、如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，若∠COE=55°，则∠BOD为______．

4、如图，已知 AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC 平分∠BAD，那么图中与∠AGE 相等的角(不包括∠AGE)有_____个．

5、如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为________．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、完成下列填空：

已知：如图，，，CA平分；

求证：．

证明：∵（已知）

∴________（ ）

∵（已知）

∴________（  ）

又∵CA平分（已知）

∴________（  ）

∵（已知）

∴_____________=30°（  ）

2、如图，已知BC，DE相交于点O，给出以下三个判断：①ABDE；②BCEF；③∠B=∠E．请你以其中两个判断作为条件，另外一个判断作为结论，写出所有的命题，指出这些命题是真命题还是假命题，并选择其中的一个真命题加以证明．

3、如图，直线AB，CD，EF相交于点O，OG⊥CD．

（1）已知∠AOC＝38°12'，求∠BOG的度数；

（2）如果OC是∠AOE的平分线，那么OG是∠EOB的平分线吗？说明理由．

4、如图所示，点、分别在、上，、均与相交，，，求证：．

5、（感知）已知：如图①，点E在AB上，且CE平分，．求证：．

将下列证明过程补充完整：

证明：∵CE平分（已知），

∴__________（角平分线的定义），

∵（已知），

∴___________（等量代换），

∴（______________）．

（探究）已知：如图②，点E在AB上，且CE平分，．求证：．

（应用）如图③，BE平分，点A是BD上一点，过点A作交BE于点E，，直接写出的度数．

6、如图，直线AB、CD相交于点O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．

7、如图，已知，平分，平分，求证．

证明：∵平分（已知），

∴             （                ），

同理             ，

∴             ，

又∵（已知）

∴             （                ），

∴．

8、如图直线，直线与分别和交于点交直线b于点C．

（1）若，直接写出     ；

（2）若，则点B到直线的距离是      ；

（3）在图中直接画出并求出点A到直线的距离．

9、如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1．

（1）过点P分别画PM∥AC、PN∥AB，PM与AB相交于点M，PN与AC相交于点N．

（2）求四边形PMAN的面积．

10、如图，已知AEBF，AC⊥AE，BD⊥BF，AC与BD平行吗？补全下面的解答过程（理由或数学式）．

解：∵AEBF，

∴∠EAB＝          ．（          ）

∵AC⊥AE，BD⊥BF，

∴∠EAC＝90°，∠FBD＝90°．

∴∠EAC＝∠FBD（          ）

∴∠EAB﹣          ＝∠FBG﹣          ，

即∠1＝∠2．

∴                    （          ）．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

首先根据得到，然后根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠4的度数．

【详解】

∵∠1＝40°，∠2＝40°，

∴∠1＝∠2，

∴PQMN，

∴∠4＝180°﹣∠3＝40°，

故选：A．

【点睛】

本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．

2、D

【分析】

根据同位角、内错角、同旁内角的定义可直接得到答案．

【详解】

解：①与是同旁内角，说法正确；

②与是内错角，说法正确；

③与是同位角，说法正确；

④与是内错角，说法正确，

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F” 形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．

3、B

【分析】

由翻折变换的性质求出∠GEF的度数，再利用平行线的性质可得出结论．

【详解】

解：∵AD∥BC，∠FEC=30°，

∴∠AGE=∠GEC，

由翻折变换的性质可知∠GEF=∠FEC=30°，

∴∠AGE=∠GEC=∠GEF+∠FEC=30°+30°=60°．

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，根据平行线的性质找到相等（或互补）的角是关键．

4、B

【分析】

根据举反例可判断①，根据垂线的定义可判断②，根据举反例可判断③，根据平行线的基本事实可判断④．

【详解】

解：①如图∠AOC=∠2=150°，∠BOC=∠1=30°，满足∠1+∠2=180°，射线OC是两角的共用边，但∠1与∠2不是邻补角，故①不正确；

②在同一个面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②不正确；

③如图直线a、b被直线c所截，∠1与∠2是同位角，但∠1＞∠2，故③不正确；

④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是基本事实，故④正确；

其中正确的有④一共1个．

故选择B．

【点睛】

本题考查基本概念的理解，掌握基本概念是解题关键．

5、C

【分析】

由于角尺是一个直角，木工画线实质是在画一系列的直角，且这些直角有一边在同一直线上，根据平行线的判定即可作出判断．

【详解】

由于木工画一条线实际上是在画一个直角，且这些直角的一边在同一直线上，且这些直角是同位角相等，因而这些直线平行．

故选:C

【点睛】

本题是平行线判定在实质中的应用，关键能够把实际问题转化为数学问题．

6、D

【分析】

由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答．

【详解】

解：∵拐弯前、后的两条路平行，

∴∠B=∠C=150°（两直线平行，内错角相等）．

故选：D．

【点睛】

本题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．

7、D

【分析】

根据同位角相等，两直线平行，逐项判断即可．

【详解】

解：A、木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°，此时 ，则 ，有 ，故本选项正确，不符合题意；

B、木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°，此时 ，则 ，有 ，故本选项正确，不符合题意；

C、木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°，此时 ，则 ，有 ，故本选项正确，不符合题意；

D、木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°，木条b、c重合，则 ，故本选项错误，符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定，图形的旋转，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．

8、D

【分析】

根据直线外一点，到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离判断即可．

【详解】

解：A. 线段AC的长度表示点C到AB的距离，说法正确，不符合题意；

B. 线段AD的长度表示点A到BC的距离，说法正确，不符合题意；

C. 线段CD的长度表示点C到AD的距离，说法正确，不符合题意；

D. 线段BD的长度表示点B到AD的距离，原说法错误，符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查了点到直线的距离，解题关键是准确识图，正确进行判断．

9、D

【分析】

同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，根据平行线的判定方法逐一分析即可.

【详解】

解：（同位角相等，两直线平行），故A不符合题意；

∠2+∠3＝180°，（同旁内角互补，两直线平行）故B不符合题意；

（同位角相等，两直线平行）故C不符合题意；

∠1+∠4＝180°，不是同旁内角，也不能利用等量代换转换成同旁内角，

所以不能判定 故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是平行线的判定，对顶角相等，掌握“平行线的判定方法”是解本题的关键.

10、A

【分析】

根据对顶角，点到直线的距离，邻补角，角平分线以及垂直的定义分别判断．

【详解】

解：①有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故错误；

②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故错误

③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故正确；

④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；

故选A．

【点睛】

本题考查了对顶角，点到直线的距离，邻补角，角平分线以及垂直的定义，属于基础知识，要注意理解概念，抓住易错点．

二、填空题

1、40°

【分析】

根据平行线的性质可得∠EAD=∠B，根据角平分线的定义可得∠DAC=∠EAD，即可得答案．

【详解】

∵AD∥BC，∠B＝40°，

∴∠EAD=∠B=40°，

∵AD是∠EAC的平分线，

∴∠DAC=∠EAD=40°，

故答案为：40°

【点睛】

本题考查平行线的性质及角平分线的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．

2、67.5°

【分析】

根据垂直的定义得到∠AOB=90°，可利用互余得∠AOC+∠BOD=90°，把∠AOC=∠BOD代入可计算出∠BOD．

【详解】

解：∵AO⊥BO，

∴∠AOB=90°，

∵∠COD=180°，

∴∠AOC+∠BOD=90°，

∵∠BOD=3∠AOC，

∴∠BOD+∠BOD=90°，

∴∠BOD=67.5°．

故答案为67.5°．

【点睛】

本题考查了垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

3、35°

【分析】

根据垂直的定理得出的度数，然后根据已知条件得出的度数，最后根据对顶角相等求出即可．

【详解】

解：∵OE⊥AB，

∴∠AOE=90°，

∵ ，

∴∠AOC=90°- ，

∴∠BOD=∠AOC= ，

故答案为：35°．

【点睛】

本题考查了垂线的定义，对顶角的定义，根据题意得出的度数是解本题的关键．

4、5

【分析】

由AB∥CD∥EF，可得∠AGE=∠GAB=∠DCA；由BC∥AD，可得∠GAE=∠GCF；又因为AC平分∠BAD，可得∠GAB=∠GAE；根据对顶角相等可得∠AGE=∠CGF．所以图中与∠AGE相等的角有5个．

【详解】

解：∵AB∥CD∥EF，

∴∠AGE=∠GAB=∠DCA；

∵BC∥AD，

∴∠GAE=∠GCF；

又∵AC平分∠BAD，

∴∠GAB=∠GAE；

∵∠AGE=∠CGF．

∴∠AGE=∠GAB=∠DCA=∠CGF=∠GAE=∠GCF．

∴图中与∠AGE相等的角有5个

故答案为：5．

【点睛】

本题考查对顶角、邻补角及角平分线的定义和平行线的性质，根据题意仔细观察图形并找出全部答案是解题关键．

5、120°

【分析】

要求∠2的度数，只需根据平行线的性质求得其对顶角的度数．

【详解】

解：∵a∥b，∠1＝60°，

∴∠3＝120°，

∴∠2＝∠3＝120°．

故答案为：120°

【点睛】

考查了平行线的性质，本题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补的性质及对顶角相等的性质．

三、解答题

1、180°；两直线平行，同旁内角互补；60°；等式的性质；30°；角平分线的定义；；两直线平行，内错角相等

【分析】

由AB与CD平行，利用两直线平行同旁内角互补求出∠BCD度数，由CA为角平分线，利用角平分线定义求出∠2的度数，再利用两直线平行内错角相等即可确定出∠1的度数．

【详解】

证明：∵AB∥CD，（已知）

∴∠B+∠BCD=180°，（两直线平行同旁内角互补）

∵∠B=120°（已知），

∴∠BCD=60°．

又CA平分∠BCD（已知），

∴∠2=30°，（角平分线定义）．

∵AB∥CD（已知），

∴∠1=∠2=30°．（两直线平行内错角相等）．

故答案为：180°；两直线平行，同旁内角互补；60°；等式的性质；30°；角平分线定义；∠2；两直线平行，内错角相等．

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

2、ABDE，BCEF，则∠B=∠E，此命题为真命题，见解析．

【分析】

三个判断任意两个为条件，另一个为结论可写三个命题，然后根据平行线的判定与性质判断这些命题的真假．

【详解】

（1）若AB∥DE，BC∥EF，则∠B=∠E，此命题为真命题．

（2）若AB∥DE，∠B=∠E，则BC∥EF，此命题为真命题．

（3）若∠B=∠E，BC∥EF，则AB∥DE，此命题为真命题．

以第一个命题为例证明如下：

∵AB∥DE，

∴∠B=∠DOC.

∵BC∥EF，

∴∠DOC=∠E，

∴∠B=∠E．

【点睛】

本题主要是考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质求解该类题目的关键．

3、（1）51°48′；（2）OG是∠EOB的平分线，理由见解析

【分析】

（1）根据互为余角的意义和对顶角的性质，可得∠AOC＝∠BOD＝38°12′，进而求出∠BOG；

（2）求出∠EOG＝∠BOG即可．

【详解】

解：（1）∵OG⊥CD．

∴∠GOC＝∠GOD＝90°，

∵∠AOC＝∠BOD＝38°12′，

∴∠BOG＝90°﹣38°12′＝51°48′，

（2）OG是∠EOB的平分线，

理由：

∵OC是∠AOE的平分线，

∴∠AOC＝∠COE＝∠DOF＝∠BOD，

∵∠COE+∠EOG＝∠BOG+∠BOD＝90°，

∴∠EOG＝∠BOG，

即：OG平分∠BOE．

【点睛】

本题主要考查角平分线的定义及余角，熟练掌握角平分线的定义及余角是解题的关键．

4、证明见解析

【分析】

由，证明，再证，最后根据对顶角相等，可得答案．

【详解】

证明：∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

5、【感知】ECD；ECD；内错角相等，两直线平行；【探究】见解析；【应用】40°

【分析】

感知：读懂每一步证明过程及证明的依据，即可完成解答；

探究：利用角平分线的性质得∠2=∠DCE，由平行线性质可得∠DCE=∠1，等量代换即可解决；

应用：利用角平分线的性质得∠ABE=∠CBE，由平行线性质可得∠CBE=∠E，等量代换得∠E=∠ABE，由即可求得∠ABC的度数，从而可求得∠E的度数．

【详解】

感知

∵CE平分（已知），

∴ECD（角平分线的定义），

∵（已知），

∴ECD（等量代换），

∴（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：ECD；ECD；内错角相等，两直线平行

探究

∵CE平分，

∴，

∵，

∴，

∵.

应用

∵BE平分∠DBC，

∴，

∵AE∥BC，

∴∠CBE=∠E，∠BAE+∠ABC=180゜，

∴∠E=∠ABE，

∵，

∴∠ABC=80゜

∴

∴

【点睛】

本题考查平行线的判定与性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质与判定是关键．

6、

【分析】

根据、可得，OF是∠AOE的角平分线，可得，所以，再根据对顶角相等，即可求解．

【详解】

解：∵、，

∴，

∵OF是∠AOE的角平分线，

∴，

∴，

∴，

【点睛】

此题考查了角平分线的有关计算，解题的关键是掌握角平分线的定义以及角之间的和差关系．

7、∠ABC；角平分线的定义；∠BCD；(∠ABC+∠BCD)；180°；两直线平行，同旁内角互补

【分析】

由平行线的性质可得到∠BAC+∠ACD=180°，再结合角平分线的定义可求得∠1+∠2=90°，可得出结论，据此填空即可．

【详解】

证明：∵BE平分∠ABC（已知），

∴∠2=∠ABC（角平分线的定义），

同理∠1=∠BCD，

∴∠1+∠2=(∠ABC+∠BCD)，

又∵AB∥CD（已知）

∴∠ABC+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补 ），

∴∠1+∠2=90°．

故答案为：∠ABC；角平分线的定义；∠BCD；(∠ABC+∠BCD)；180°；两直线平行，同旁内角互补．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．

8、（1）；（2）4；（3）作图见详解；点A到直线BC的距离为．

【分析】

（1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补及垂直的性质即可得；

（2）根据点到直线的距离可得点B到直线AC的距离为线段，由此即可得出结果；

（3）过点A作，点A到直线BC的距离为线段AD的长度，利用三角形等面积法即可得出．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∵，，

∴，

故答案为：；

（2）∵，

∴点B到直线AC的距离为线段，

故答案为：4；

（3）如图所示：过点A作，点A到直线BC的距离为线段AD的长度，

∵，

∴为直角三角形，

∴，

即，

解得：，

∴点A到直线BC的距离为．

【点睛】

题目主要考查平行线的性质及点到直线的距离，熟练掌握等面积法求距离是解题关键．

9、（1）见解析；（2）18．

【分析】

（1）直接利用网格结合平行线的判定方法得出答案；

（2）利用四边形PMAN所在矩形减去周围三角形面积得出答案．

【详解】

解：（1）如图所示：点M，点N即为所求；

（2）四边形PMAN的面积为：5×7﹣×3×3﹣×2×4﹣×2×4﹣×3×3＝18．

【点睛】

本题考查网格与作图—作直线外一点作已知直线的平行线，网格图形面积等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

10、∠FBG；两直线平行，同位角相等；等量代换；∠EAC；∠FBD；AC；BD；同位角相等，两直线平行

【分析】

由平行线的性质得∠EAB＝∠FBD+∠2，再证∠1＝∠2，然后由平行线的判定即可得出结论．

【详解】

∵AE∥BF，

∴∠EAB＝∠FBG（两直线平行，同位角相等）．

∵AC⊥AE，BD⊥BF，

∴∠EAC＝90°，∠FBD＝90°．

∴∠EAC＝∠FBD（等量代换），

∴∠EAB﹣∠EAC＝∠FBG﹣∠FBD，

即∠1＝∠2．

∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）．

故答案为：∠FBG；两直线平行，同位角相等；等量代换；∠AEC，∠FBD；AC，BD，同位角相等，两直线平行．

【点睛】

本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．