初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十二章 实数综合与测试同步测试题
展开沪教版(上海)七年级数学第二学期第十二章实数定向练习
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如果x>1,那么x﹣1,x,x2的大小关系是( )
A.x﹣1<x<x2 B.x<x﹣1<x2 C.x2<x<x﹣1 D.x2<x﹣1<x
2、下列说法不正确的是( )
A.0的平方根是0 B.一个负数的立方根是一个负数
C.﹣8的立方根是﹣2 D.8的算术平方根是2
3、9的平方根是( )
A.±3 B.-3 C.3 D.
4、4的平方根是( )
A.±2 B.﹣2 C.2 D.4
5、64的立方根为( ).
A.2 B.4 C.8 D.-2
6、的算术平方根是( )
A.2 B. C. D.
7、下列语句正确的是( )
A.8的立方根是2 B.﹣3是27的立方根
C.的立方根是± D.(﹣1)2的立方根是﹣1
8、化简计算﹣的结果是( )
A.12 B.4 C.﹣4 D.﹣12
9、下列各数中,3.1415,,,0.321,π,2.32232223…(相邻两个3之间的2的个数逐次增加1),无理数有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
10、已知a=,b=-|-|,c=(-2)3,则a,b,c的大小关系是( )
A.b<a<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、x、y表示两个数,规定新运算“*”如下:x*y=2x﹣3y,那么(3*5)*(﹣4)=_____.
2、的算术平方根是_____,的立方根是_____,的倒数是_____.
3、实数16的平方根是___,=___,5的立方根记作___.
4、的平方根是________.
5、对于有理数定义一种新运算:,如,则的值为_____________.
三、解答题(10小题,每小题5分,共计50分)
1、已知a,b,c,d是有理数,对于任意,我们规定:.
例如:.
根据上述规定解决下列问题:
(1)_________;
(2)若,求的值;
(3)已知,其中是小于10的正整数,若x是整数,求的值.
2、计算:.
3、计算
4、阅读下列材料:
∵,
∴,
∴的整数部分为3,小数部分为.
请你观察上述的规律后试解下面的问题:如果的整数部分为,的小数部分为,求的值.
5、对于一个三位自然数m,若m的百位数字等于两个一位正整数a与b的和,m的个位数字等于两个一位正整数a与b的差,m的十位数字等于b,则称m是“和差数”,规定.例如:723是“和差数”,因为,,,所以723是“和差数”,即.
(1)填空:______.
(2)请判断311是否是“和差数”?并说明理由;
(3)若一个三位自然数(,,x、y是整数,即n的百位数字是9,十位数字是x,个位数字是y)为“和差数”,求所有满足条件的“和差数”n.
6、计算:.
7、已知是正数的两个平方根,且,求值,及的值.
8、阅读材料,回答问题.
下框中是小马同学的作业,老师看了后,找来小马.
问道:“小马同学,你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数,是吗?”
小马点点头.
老师又说:“你这两个无理数对应的点找得非常准确,遗憾的是没有完成全部解答.”
请把实数|﹣|,﹣π,﹣4,,2表示在数轴上,并比较它们的大小(用<号连接).
解:
请你帮小马同学将上面的作业做完.
9、如图,数轴的原点为O,点A、B、C是数轴上的三点,点B对应的数是1,AB=6,BC=2,动点P、Q同时分别从A、C出发,分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动.设运动时间为t秒(t>0).
(1)点A表示的数为 ,点C表示的数为 ;
(2)求t为何值时,点P与点Q能够重合?
(3)是否存在某一时刻t,使点O平分线段PQ且点P与点Q在原点的异侧?若存在,请求出满足条件的t值.若不存在,请说明理由.
10、(1)计算
(2)计算
(3)解方程
(4)解方程组
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
根据,即可得到,,由此即可得到答案.
【详解】
解:∵,
∴,,
∴,
故选A.
【点睛】
本题主要考查了有理数比较大小,负整数指数幂,解题的关键在于能够熟练掌握实数比较大小的方法.
2、D
【分析】
直接利用算术平方根、平方根、立方根的定义分析得出答案.
【详解】
解:A、0的平方根是0,原说法正确,故此选项不符合题意;
B、一个负数的立方根是一个负数,原说法正确,故此选项不符合题意;
C、﹣8的立方根是﹣2,原说法正确,故此选项不符合题意;
D、8的算术平方根是2,原说法不正确,故此选项符合题意;
故选:D.
【点睛】
此题主要考查了算术平方根、平方根、立方根,熟练掌握算术平方根、平方根、立方根的定义是解题的关键.
3、A
【分析】
根据平方根的定义进行判断即可.
【详解】
解:∵(±3)2=9
∴9的平方根是±3
故选:A.
【点睛】
本题考查的是平方根的定义,即如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根.
4、A
【分析】
根据平方根的定义,求数a的平方根,也就是求一个数x,使得,则x就是a的平方根.
【详解】
解:∵
∴4的平方根是,
故选:A.
【点睛】
本题主要考查平方根的定义,熟练掌握平方根的定义是解题的关键.
5、B
【分析】
根据立方根的定义进行计算即可.
【详解】
解:∵43=64,
∴实数64的立方根是,
故选:B.
【点睛】
本题考查立方根,理解立方根的定义是正确解答的关键.
6、A
【分析】
根据算术平方根的定义即可求出结果.
【详解】
解:=4,4的算术平方根是2.
故选:A.
【点睛】
此题主要考查了算术平方根的定义.一个正数的算术平方根就是其正的平方根.
7、A
【分析】
利用立方根的运算法则,进行判断分析即可.
【详解】
解:A、8的立方根是2,故A正确.
B、3是27的立方根,故B错误.
C、的立方根是,故C错误.
D、(﹣1)2的立方根是1,故D错误.
故选:A.
【点睛】
本题主要是考查了立方根的运算,注意一个数的立方根只有一个,不是以相反数形式存在的.
8、B
【分析】
根据算术平方根和立方根的计算法则进行求解即可.
【详解】
解:,
故选B.
【点睛】
本题主要考查了求算术平方根和立方根,解题的关键在于能够熟练掌握立方根和算术平方根的求解方法.
9、D
【分析】
理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.
【详解】
3.1415,0.321是有限小数,属于有理数;
是分数,属于有理数;
无理数有,π,2.32232223…(相邻两个3之间的2的个数逐次增加1),共3个.
故选:D.
【点睛】
此题考查了无理数.解题的关键是掌握实数的分类.
10、C
【分析】
本题主要是根据乘方、绝对值、负指数幂的运算进行求值,比较大小,负指数幂运算是根据:“底倒指反”,进行转化之后再化简,即:a=2;绝对值化简先判断绝对值内的数是正数还是负数,正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,在进行化简,即b=;乘方运算中,负数的奇次幂还是负数,即:c=-8,据此进行数据的比较.
【详解】
解:由题意得:a===4,b==,c==-8,
∴c<b<a.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查的是乘方、绝对值、负指数幂的基础运算,熟练掌握其运算以及符号是解本题的关键.
二、填空题
1、-6
【分析】
根据找出新的运算方法,再根据新的运算方法计算即可.
【详解】
故答案为:
【点睛】
本题考查了新定义下的实数运算,解题关键是根据题目给出的式子,找出新的运算方法,再根据新的运算方法计算要求的式子.
2、9
【分析】
根据相反数,算术平方根,立方根,平方根,倒数,绝对值的定义求出即可.
【详解】
解:=81的算术平方根是9,=的立方根是,的倒数是,
故答案为:-9,,.
【点睛】
本题考查了算术平方根,立方根,平方根,倒数等知识点的应用,主要考查学生的理解能力和计算能力.
3、
【分析】
分别根据平方根、算术平方根、立方根的定义依次可求解.
【详解】
解:实数16的平方根是,
=,
5的立方根记作.
故答案为:,,.
【点睛】
本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的定义.用到的知识点为:一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根;一个正数的平方根有2个;任意一个数的立方根只有1个.
4、±
【分析】
直接根据平方根的定义求解即可.
【详解】
解:的平方根为±=±.
故答案为:±.
【点睛】
本题主要考查了平方根,知道一个正数有两个平方根是解决本题的关键.
5、##
【分析】
根据新定义运算的规律,先计算,所得的结果再与(-1)进行“”运算.
【详解】
解:由题意得,,
故答案为:.
【点睛】
本题考查新定义、有理数的混合运算等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.
三、解答题
1、
(1)-5
(2)
(3)k=1,4,7.
【分析】
(1)根据规定代入数据求解即可;
(2)根据规定代入整式,利用方程的思想求解即可;
(3)根据规定代入整式,利用方程的思想,用含的式子表示x,利用是小于10的正整数,x是整数,就可求出的值.
(1)
解:;
(2)
解:
即:
(3)
解:,
即:
因为是小于10的正整数且x是整数,
所以k=1时,x=3;k=4时,x=4;k=7时,x=5.
所以k=1,4,7.
【点睛】
本题考查新定义问题.新定义问题是一道创设情境、引入新的数学概念的探索性问题,发现问题间的区别与联系,创造性地解决问题,主要考察数形结合、类比与归纳的数学思想方法.
2、2﹣π.
【分析】
根据题意利用算术平方根性质和去绝对值以及乘方运算先化简各式,然后再进行计算.
【详解】
解:
=3﹣(π﹣)+(﹣1)﹣
=3﹣π+﹣1﹣
=2﹣π.
【点睛】
本题考查含乘方和算术平方根的实数运算,熟练掌握利用算术平方根性质和去绝对值以及乘方运算法则进行化简是解题的关键.
3、
【分析】
直接根据有理数的乘方,算术平方根,立方根以及绝对值的性质化简各项,再进行加减运算得出答案.
【详解】
解:
=
=
【点睛】
本题主要考查了实数的运算,正确化简各数是解题的关键.
4、a+b的值为25+.
【分析】
由9π≈28.26,可得其整数部分a=28,由27<28<64,可求得的小数部分,继而可得a+b的值.
【详解】
解:∵9π≈28.26,
∴a=28,
∵27<28<64,
∴,
∴3<<4,
∴b=-3,
∴a+b=28+-3=25+,
∴a+b的值为25+.
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小,根据题意估算出a,b的值是解答此题的关键.
5、
(1)412
(2)是,理由见解析
(3)941或933或925或917
【分析】
(1)根据定义可知,百位上数字为:3+1=4,个位数字为:3-1=2,即可得解;
(2)根据定义即可判断311是“和差数”;
(3)由题意得到,解得,再结合a、b为正整数且,即可得解.
(1)
解:根据定义可知,百位上数字为:3+1=4,个位数字为:3-1=2,故412.
故答案为:412;
(2)
解:311是“和差数”,
∵,,,
∴是“和差数”;
(3)
解:∵(,,、是整数)
∴
∴
∴,,,
6、
【分析】
根据有理数的乘方运算,有理数的乘方运算,化简绝对值,最后进行实数的混合运算即可
【详解】
解:原式.
【点睛】
本题考查了实数的混合运算,正确的计算是解题的关键.
7、, ,.
【分析】
根据正数的平方根有2个,且互为相反数,以及求出与的值即可.
【详解】
解:因为,是正数的两个平方根,可得:,
把代入,,解得:,
所以,
所以.
【点睛】
此题考查了平方根,明确一个正数的两个平方根互为相反数,和为0是解题的关键.
8、图见解析,﹣4<﹣π<|﹣|<2<.
【分析】
根据和确定原点,根据数轴上的点左边小于右边的排序依次表示即可.
【详解】
把实数||,,,,2表示在数轴上如图所示,
<<||<2<.
【点睛】
本题考查用数轴比较点的大小,根据题意先确定原点是解题的关键.
9、(1)-5,3;(2)t=4;(3)存在,t=,理由见解析.
【分析】
(1)由点B对应的数及线段AB、BC的长,可找出点A、C对应的数;
(2)根据点P、Q的出发点、速度及方向,由追击的等量关系列出含t的方程,解方程即可;
(3)由题意得OP=OQ,据此列一元一次方程,解此方程即可.
【详解】
解:(1)1-6=-5,1+2=3
即点A表示的数为 -5,点C表示的数为3,
故答案为:-5,3;
(2)若点P与点Q能够重合,则AP-CQ=AC,
即3t-t=8
2t=8
t=4
答:当t=4时,点P与点Q能够重合.
(3)存在,理由如下:
若点O为PQ中点,且点P与点Q在原点的异侧,即OP=OQ
5-3t=3+t
4t=2
t=
答:当t=时,点O平分线段PQ且点P与点Q在原点的异侧.
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用、数轴等知识,难度一般,是重要考点,掌握相关知识是解题关键.
10、(1);(2);(3)或;(4).
【分析】
(1)先计算算术平方根与立方根,再计算加减法即可得;
(2)先化简绝对值,再计算实数的加减法即可得;
(3)利用平方根解方程即可得;
(4)利用加减消元法解二元一次方程组即可得.
【详解】
解:(1)原式
;
(2)原式
;
(3),
,
,
或;
(4),
由②①得:,
解得,
将代入①得:,
解得,
故方程组的解为.
【点睛】
本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减、解二元一次方程组等知识点,熟练掌握各运算法则和方程组的解法是解题关键.
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