初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十二章 实数综合与测试同步测试题

沪教版（上海）七年级数学第二学期第十二章实数同步测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在实数，，，，，，，1.12112111211112…（每两 个2之间依次多一个1）中，无理数有（    ）个

A．2 B．3 C．4 D．5

2、如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数，，0，1，2，则表示数的点P应落在（    ）．

A．线段AB上 B．线段BO上 C．线段OC上 D．线段CD上

3、平方根和立方根都等于它本身的数是（    ）

A．±1 B．1 C．0 D．﹣1

4、下列说法正确的是（　　）

A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数

B．负数没有立方根

C．任何数的立方根都只有一个

D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根

5、下列各数中，比小的数是（     ）

A． B．－ C． D．

6、下列说法中正确的有（　　）

①±2都是8的立方根

②＝x

③的平方根是3  

④﹣＝2．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7、的值等于（    ）

A． B．－2 C． D．2

8、以下正方形的边长是无理数的是（    ）

A．面积为9的正方形 B．面积为49的正方形

C．面积为8的正方形 D．面积为25的正方形

9、下列说法正确的是（   ）

A．＝±2 B．27的立方根是±3 C．9的平方根是3 D．9的平方根是±3

10、64的立方根为（    ）．

A．2 B．4 C．8 D．－2

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、的平方根是______，______．

2、若一个正数的两个平方根分别为，则_____ ，这个正数是_________．

3、若a、b为实数，且，则ab的值______．

4、计算：－20－│－3│＝______．

5、比较大小：_____﹣（填“＜”或“＝”或“＞”）．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、计算

（1）

（2）

2、已知x，y满足，求x、y的值．

3、我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：=1+． 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”．例如：像，，…，这样的分式是假分式；像，，…，这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式． 例如：；．解决下列问题：

（1）写出一个假分式为：    ；

（2）将分式化为整式与真分式的和的形式为：    ；（直接写出结果即可）

（3）如果分式的值为整数，求x的整数值．

4、直接写出结果：

（1）____________；

（2）____________；

（3）的立方根＝____________；

（4）若x2＝（﹣7）2，则x＝____________．

5、已知a，b，c，d是有理数，对于任意，我们规定：．

例如：．

根据上述规定解决下列问题：

（1）_________；

（2）若，求的值；

（3）已知，其中是小于10的正整数，若x是整数，求的值．

6、计算

7、若一个四位自然数满足千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大3，我们称这个数为“多多数”．将一个“多多数”各个数位上的数字倒序排列可得到一个新的四位数，记．

例如：，∴，则

（1）判断7643和4631是否为“多多数”？请说明理由；

（2）若为一个能被13整除的“多多数”，且，求满足条件的“多多数”．

8、（1）计算：；

（2）计算：（﹣2x2）2+x3•x﹣x5÷x；

（3）先化简再求值：2（a+2）2﹣4（a+3）（a﹣3）+3（a﹣1）2，其中a＝﹣1．

9、计算下列各题：

（1）；

（2）．

（3）．

10、任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1．现对72进行如下操作：72第一次[]=8，第二次[]=2，第三次[]=1，这样对72只需进行3次操作变为1．

（1）对10进行1次操作后变为_______，对200进行3次作后变为_______；

（2）对实数m恰进行2次操作后变成1，则m最小可以取到_______；

（3）若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

利用无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，进行判断即可，但同时也要掌握有理数的定义：整数和分数统称为有理数．

【详解】

有理数有：，，，，一共四个．

无理数有：，，，1.12112111211112…（每两 个2之间依次多一个1），一共四个．

故选：C．

【点睛】

此题主要是考察了无理数的定义，初中数学中常见的无理数主要是：，等；开方开不尽的数；以及像1.12112111211112…，等有规律的数．

2、B

【分析】

根据，得到，根据数轴与实数的关系解答．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴表示的点在线段BO上，

故选：B．

【点睛】

本题考查了无理数的估算，实数与数轴，正确估算无理数的大小是解本题的关键．

3、C

【分析】

根据平方根和立方根的定义，可以求出平方根和立方根都是本身数是0．

【详解】

解：平方根是本身的数有0，立方根是本身的数有1，-1，0；

∴平方根和立方根都是本身的数是0．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟知定义是解题的关键：如果有两个数a，b（b≥0），满足，那么a就叫做b的平方根；如果有两个数c、d满足，那么c就叫做d的立方根．

4、C

【分析】

利用立方根的意义对每个选项的说法进行逐一判断即可，其中判断D还要结合平方根的含义．

【详解】

解：∵一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0，

∴A选项说法不正确；

∵一个负数有一个负的立方根，

∴B选项说法不正确；

∵一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0，

∴C选项说法正确；

∵一个负数有一个负的立方根，但负数没有平方根，

∴D选项说法不正确．

综上，说法正确的是C选项，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是立方根的含义，考查一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0，同时考查负数没有平方根，熟悉以上基础知识是解本题的关键.

5、A

【分析】

直接利用任何正数都大于0以及结合估算无理数大小的方法，进而得出答案.

【详解】

解：A. <-3，故A正确；

B. －>-3，故B错误；

C. >-3，故C错误；

D. >-3，故D错误.

​​​​​​​故选A.

【点睛】

此题主要考查了实数比较大小，正确估算出无理数的大小是解题关键.

6、B

【分析】

根据平方根和立方根的定义进行判断即可．

【详解】

解：①2是8的立方根，-2不是8的立方根，原说法错误；

②=x，正确；

③，9的平方根是3，原说法错误；

④﹣=2，正确；

综上，正确的有②④共2个，

故选：B．

【点睛】

本题考查了立方根，平方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．

7、D

【分析】

由于表示4的算术平方根，由此即可得到结果．

【详解】

解：∵4的算术平方根为2，

∴的值为2．

故选D．

【点睛】

此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．弄清概念是解决本题的关键．

8、C

【分析】

理解无理数的分类：无限不循环小数或开方不能开尽的数，求出正方形边长由此判断即可得出．

【详解】

解：A、面积为9的正方形的边长为3，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

B、面积为49的正方形的边长为7，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

C、面积为8的正方形的边长为，是无理数，故本选项符合题意；

D、面积为25的正方形的边长为5，是整数，属于有理数，故本选项不合题意．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了无理数的分类，准确掌握无理数的分类是解题关键．

9、D

【分析】

根据平方根、立方根和算术平方根的性质计算即可；

【详解】

＝2，故A错误；

27的立方根是3，故B错误；

9的平方根是±3，故C错误；

9的平方根是±3，故D正确；

故选D．

【点睛】

本题主要考查了平方根的性质，立方根的性质和算术平方根的性质，准确计算是解题的关键．

10、B

【分析】

根据立方根的定义进行计算即可．

【详解】

解：∵43=64，

∴实数64的立方根是，

故选：B．

【点睛】

本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．

二、填空题

1、±2    -8   

【分析】

根据平方根的定义：如果对于一个数a和非负数b，有，那么a就叫做b的平方根；立方根的定义：对于c、d两个数，如果，那么c就叫做d的立方根，进行求解即可．

【详解】

解：∵，4的平方根为±2，

∴的平方根为±2，

，

故答案为：±2；-8．

【点睛】

本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根，熟知相关定义是解题的关键．

2、       

【分析】

根据平方根的性质，可得 ，从而得到 ，即可求解．

【详解】

解：∵一个正数的两个平方根分别为，

∴ ，

解得： ，

∴这个正数为 ．

故答案为： ；

【点睛】

本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数是解题的关键．

3、3

【分析】

根据平方的非负性及算术平方根的非负性求出a及b的值，代入计算即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

∴=3，

故答案为：3．

【点睛】

此题考查了平方的非负性及算术平方根的非负性，以及实数的乘方运算，正确掌握平方的非负性及算术平方根的非负性是解题的关键．

4、

【分析】

直接根据算术平方根，绝对值，实数的运算法则计算即可．

【详解】

解：原式＝，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了算术平方根，绝对值，实数的运算，本题比较简单，属于基础题．

5、＞

【分析】

先求解两个实数的绝对值，再利用近似值比较它们绝对值的大小，利用两个负数绝对值大的反而小可得答案.

【详解】

解： 而

故答案为：＞

【点睛】

本题考查的是实数的大小比较，掌握“两个负实数的大小比较的方法”是解本题的关键.

三、解答题

1、

（1）-2

（2）1

【分析】

（1）先分别计算开平方和开立方，再进行有理数的加、减混合计算即可；

（2）先去绝对值，去括号，再进行实数的加、减混合计算即可；

（1）

解：

；

（2）

解：

．

【点睛】

本题考查实数的混合运算．掌握运算方法与运算顺序是解出本题的关键．

2、x=5；y=2

【分析】

根据非负数的性质可得关于x、y的方程组，求解可得其值；

【详解】

解：由题意可得，

联立得 ，

解方程组得：，

∴x、y的值分别为5、2．

【点睛】

此题考查的是非负数的性质，解二元一次方程组，掌握绝对值及算术平方根的非负性是解决此题的关键．

3、（1）；（2）1+；（3）x=0，1，3，4

【分析】

（1）根据定义即可求出答案．

（2）根据题意给出的变形方法即可求出答案．

（3）先将分式化为真分式与整式的和，然后根据题意即可求出x的值．

【详解】

解：（1）根据题意，是一个假分式；

故答案为：（答案不唯一）．

（2）；

故答案为：；

（3）∵，

∴x2=±1或x2=±2，

∴x=0，1，3，4；

【点睛】

本题考查学生的阅读能力，解题的关键是正确理解真假分式的定义，本题属于基础题型．

4、（1）8；（2）0；（3）2；（4）

【分析】

（1）根据算术平方根的计算法则求解即可；

（2）根据算术平方根的计算法则求解即可；

（3）根据立方根的求解方法求解即可；

（4）根据求平方根的方法解方程即可．

【详解】

解：（1）

，

故答案为：8；

（2）

，

故答案为：0；

（3）∵，

∴的立方根是2，

故答案为：2；

（4）∵x2＝（﹣7）2，

∴x2＝49，

∴x=±7．

故答案为：±7．

【点睛】

本题主要考查了实数的运算，立方根，算术平方根，利用平方根解方程等等，熟知相关计算法则是解题的关键．

5、

（1）-5

（2）

（3）k=1，4，7．

【分析】

（1）根据规定代入数据求解即可；

（2）根据规定代入整式，利用方程的思想求解即可；

（3）根据规定代入整式，利用方程的思想，用含的式子表示x，利用是小于10的正整数，x是整数，就可求出的值．

（1）

解：；

（2）

解：

即：

（3）

解：，

即：

因为是小于10的正整数且x是整数，

所以k=1时，x=3；k=4时，x=4；k=7时，x=5．

所以k=1，4，7．

【点睛】

本题考查新定义问题．新定义问题是一道创设情境、引入新的数学概念的探索性问题，发现问题间的区别与联系，创造性地解决问题，主要考察数形结合、类比与归纳的数学思想方法．

6、

【分析】

根据立方根，算术平方根，绝对值的计算法则进行求解即可．

【详解】

解：

．

【点睛】

本题主要考查了实数的运算，解题的关键在于能够熟练掌握求立方根，算术平方根，绝对值的计算法则．

7、

（1）7643是“多多数”， 4631不是“多多数”，

（2）5421或6734

【分析】

（1）根据新定义，即可判断；

（2）设A的个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为x+3，千位数字为y+3，根据新定义，分别表示出A、F（A），根据为一个能被13整除的“多多数”，且，，列出关系式，进而求解．

（1）

在7643中，7-4=3，6-3=3，

∴7643是“多多数”，

在4631中，3-3=1，6-1=5，

∴4631不是“多多数”，

（2）

设A的个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为x+3，千位数字为y+3，

∴A表示的数为

∴

∴

∵

∴

∴

∵个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为x+3，千位数字为y+3，

∴，解得

∴x、y的范围为，且x、y为整数

∵若为一个能被13整除的“多多数”，

∴

当时，，，

y的值可以为0、1、2、3、4、5、6，分别代入后结果是13的倍数的是

同理，当时，，，没有符合条件的y；

当时，，，没有符合条件的y；

当时，，，符合条件的；

当时，，，没有符合条件的y；

当时，，，没有符合条件的y；

综上符合条件的是、

当时A为5421，

当时A为6734

综上足条件的“多多数”为5421或6734．

【点睛】

本题考查整式运算的应用、解不等式，是一道新定义题目，解题的关键是能够根据定义列出关系式并确定个位和十位数的取值范围，进而求解．

8、（1）8﹣；（2）4x4；（3）a2+2a+47，46

【分析】

（1）首先根据算术平方根，立方根和绝对值的性质化简，然后利用有理数的加减混合运算法则求解即可；

（2）先算乘方，再算乘除，然后合并同类项求解即可；

（3）先根据整式的乘法运算法则化简，然后合并同类项，最后代入求解即可．

【详解】

解：（1）原式＝9﹣2﹣（﹣1）

＝7﹣+1

＝8﹣；

（2）原式＝4x4+x4﹣x4

＝4x4；

（3）原式＝2（a2+4a+4）﹣4（a2﹣9）+3（a2﹣2a+1）

＝2a2+8a+8﹣4a2+36+3a2﹣6a+3

＝a2+2a+47，

当a＝﹣1时，

原式＝（﹣1）2+2×（﹣1）+47

＝1﹣2+47

＝46．

【点睛】

此题考查了算数平方根，立方根和绝对值的意义，积的乘方运算，同底数幂的乘法和除法运算，整式的乘法运算公式，合并同类项等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算的法则．

9、

（1）-3

（2）-6x

（3）4y-3xz

【分析】

（1）先化简零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值，然后再计算；

（2）先利用积的乘方运算法则计算乘方，然后利用整式乘除法运算法则从左往右依次计算．

（3）根据多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．

（1）

解：原式

；

（2）

解：原式

；

（3）

解：

．

【点睛】

本题考查整式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，掌握积的乘方（ab）n=anbn运算法则，整式的除法，理解a0=1（a≠0），（a≠0），牢记法则是解题关键．

10、（1）3；1；（2）；（3）的最大值为255

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∴，

∴对10进行1次操作后变为3；

同理可得，

∴，

同理可得，

∴，

同理可得，

∴，

∴对200进行3次作后变为1，

故答案为：3；1；

（2）设m进行第一次操作后的数为x，

∵，

∴．

∴．

∴．

∵要经过两次操作．

∴．

∴．

∴．

故答案为：．

（3）设m经过第一次操作后的数为n，经过第二次操作后的数为x，

∵，

∴．

∴．

∴．

．

∴．

∵要经过3次操作，故．

∴．

∵是整数．

∴的最大值为255．

【点睛】

本题考查取整函数及无理数的估计，正确理解取整含义是求解本题的关键．