2020-2021学年第十二章 实数综合与测试同步练习题

沪教版（上海）七年级数学第二学期第十二章实数定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在实数中，无理数的个数是（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2、估算的值是在（    ）之间

A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9

3、下列说法正确的是（    ）

A．5是25的算术平方根 B．的平方根是±6

C．（﹣6）2的算术平方根是±6 D．25的立方根是±5

4、a为有理数，定义运算符号▽：当a＞－2时，▽a＝－a；当a＜－2时，▽a＝ a；当a＝－2时，▽a＝ 0．根据这种运算，则▽[4＋▽（2－5）]的值为（　　）

A． B．7 C． D．1

5、对于两个有理数、，定义一种新的运算：，若，则的值为（   ）

A． B． C． D．

6、一个正数的两个平方根分别是2a与，则a的值为（    ）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

7、如果a、b分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（    ）

A．8 B． C．4 D．

8、100的算术平方根是（    ）

A．10 B． C． D．

9、下列各组数中相等的是（    ）

A．和3.14 B．25%和 C．和0.625 D．13.2%和1.32

10、在下列各数：、0.2、﹣π、、、0.101001中有理数的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、 “平方根节”是数学爱好者的节日，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的平方根，例如：2009年的3月3日，2016年的4月4日．请写出你喜欢的一个“平方根节”（题中所举的例子除外）______年_____月_______日．

2、计算：______．

3、10-3的立方根是_______．

4、已知（x﹣y+3）2+＝0，则（x+y）2021＝___．

5、对于实数a，b，定义运算“*”如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+2）*（m﹣3）＝24，则m的值为______．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、求下列各式的值：

（1）

（2）

（3）

2、计算 

3、（1）计算：；

（2）分解因式：．

4、已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的立方等于﹣8，求3（a+b）+cd+x的值．

5、计算：

6、运算，满足

（1）求的值；

（2）求的值．

7、已知的立方根是2，算术平方根是4，求的算术平方根．

8、求下列各式中的x：

（1）；

（2）．

9、阅读下面材料，并按要求完成相应问题：

定义：如果一个数的平方等于－1，记为，这个数叫做虚数单位，把形如的数叫做复数，其中是这个复数的实部，是这个复数的虚部．它的加﹑减﹑乘法运算与整式的加﹑减﹑乘法运算类似．

例如：

应用：

（1）计算

（2）如果正整数a、b满足，求a、b的值．

（3）将化为（均为实数）的形式，（即化为分母中不含的形式）．

10、已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，求－＋(c＋d)2＋1的值．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【详解】

解：=2，=2，,

∴无理数只有，共2个．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

2、C

【分析】

根据题意可知判断的值在5、6、7、8、9哪个数之间，即的值在2、3、4、5、6哪个数之间，2、3、4、5、6可表示为，显然，即，故．

【详解】

∵

∴

∴

故选：C．

【点睛】

本题考查了算术平方根估计范围，将先看作进行比较，再加上3是解题的关键．

3、A

【分析】

如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根；如果一个非负数x的平方等于a，那么这个非负数x叫做a的算术平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；据此判断即可．

【详解】

解：A、5是25的算术平方根，正确，符合题意；

B、，6的平方根是±，错误，不符合题意；

C、（﹣6）2的算术平方根是6，错误，不符合题意；

D、25的平方根是±5，错误，不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握相关定义是解本题的关键．

4、A

【分析】

定义运算符号▽：当a＞－2时，▽a＝－a；当a＜－2时，▽a＝ a；当a＝－2时，▽a＝ 0．先判断a的大小，然后按照题中的运算法则求解即可．

【详解】

解：且当时，▽a=a，

▽(-3)=-3，

4+▽（2-5）=4-3=1>-2，

当a>-2时，▽a=-a，

▽［4+▽（2-5）］=▽1=-1，

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

5、D

【分析】

根据新定义的运算法则得到，求解的值，再按照新定义对进行运算即可.

【详解】

解： ，

，

，

解得：

故选D

【点睛】

本题考查的是新定义运算，完全平方公式的应用，负整数指数幂的含义，理解新定义，按照新定义的运算法则进行运算是解本题的关键.

6、D

【分析】

根据正数有两个平方根，且互为相反数，即可求解．

【详解】

解：根据题意得： ，

解得： ．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握正数有两个平方根，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根是解题的关键．

7、B

【分析】

先求得的范围，进而求得的范围即可求得的值，进而代入代数式求值即可

【详解】

则

a、b分别是的整数部分和小数部分，则

故选B

【点睛】

本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，求得的值是解题的关键．

8、A

【分析】

根据算术平方根的概念：一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，即可解答．

【详解】

解：∵，，（舍去）

∴100的算术平方根是10，

故选A．

【点睛】

本题考查了算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的概念．

9、B

【分析】

是一个无限不循环小数，约等于3.142，3.142＞3.14，即＞3.14；＝1÷4＝0.25，把0.25的小数点向右移动两位添上百分号就是25%；即25%＝；＝3÷8＝0.375，0.375＜0.625，即＜0.625；把13.2%小数点向左移动两位去掉百分号就是0.132，0.132＜1.32，即13.2%＜1.32．

【详解】

解：A 、≈3.142，3.142＞3.14，即＞3.14；

B 、＝1÷4＝0.25＝25%＝；

C 、＝3÷8＝0.375，0.375＜0.625，即＜0.625；

D 、13.2%＝0.132，0.132＜1.32，即13.2%＜1.32．

故选：B．

【点睛】

此题主要是考查小数、分数、百分数的互化及圆周率的限值．小数、分数、百分数、无限小数（循环小数）的大小比较，通常都化成保留一定位数的小数，再根据小数的大小比较方法进行比较，这样可以省去通分的麻烦．

10、D

【分析】

有理数是整数与分数的统称，或者说有限小数与无限循环小数都是有理数，据此求解．

【详解】

解：，，

∴在、0.2、-π、、、0.101001中，有理数有0.2、、、0.101001，共有4个．

故选：D．

【点睛】

本题考查有理数的意义，掌握有理数的意义是正确判断的前提．

二、填空题

1、2025    5    5   

【分析】

首先确定月份和日子，最后确定年份即可．（答案不唯一）．

【详解】

解：2025年5月5日．（答案不唯一）．

故答案是：2025，5，5．

【点睛】

本题考查了平方根的应用，解题的关键是正确理解三个数字的关系．

2、-5

【分析】

由题意直接根据立方根的性质即可进行分析求值.

【详解】

解：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查立方根求值，熟练掌握立方根的性质是解题的关键.

3、0.1

【分析】

先化简10﹣3＝0.001，根据立方根的定义即可解答．

【详解】

解：10﹣3＝0.001，0.001的立方根为0.1，

故答案为：0.1．

【点睛】

本题考查了立方根，解题的关键是掌握会求一个数的立方根．

4、1

【分析】

由（x﹣y+3）2+＝0，可得方程组，再解方程组，代入代数式计算即可得到答案.

【详解】

解： （x﹣y+3）2+＝0，

解得：

故答案为：1

【点睛】

本题考查的是偶次方与算术平方根的非负性，掌握“若 则”是解题的关键.

5、或4

【分析】

先根据新运算的定义可得一个关于的方程，再利用平方根解方程即可得．

【详解】

解：由题意得：，即，

，

或，

解得或，

故答案为：或4．

【点睛】

本题考查了利用平方根解方程，掌握理解新运算的定义是解题关键．

三、解答题

1、（1）6；（2）；（3）

【分析】

利用立方与开立方互为逆运算进行化简求值．

【详解】

解：（1）

（2）

（3）．

【点睛】

本题考查了立方与立方根．解题的关键在于正确计算开方、立方与开立方的运算．

2、

【分析】

直接根据有理数的乘方，算术平方根，立方根以及绝对值的性质化简各项，再进行加减运算得出答案．

【详解】

解：

=

=

【点睛】

本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．

3、（1）；（2）

【分析】

（1）先计算乘方运算，求解算术平方根，化简绝对值，再合并即可；

（2）提取公因式即可.

【详解】

解：（1）解：原式

（2）解：原式

【点睛】

本题考查的是立方根的含义，绝对值的化简，实数的运算，提公因式法分解因式，掌握“实数的运算及提公因式分解因式”是解本题的关键.

4、-1

【分析】

由题意可知，，，，将值代入即可．

【详解】

解：由题意得：，；

解得

∴．

【点睛】

本题考查了相反数，倒数，立方根等知识点．解题的关键在于正确理解相反数，倒数，立方根的概念与应用．

5、

【分析】

根据立方根，算术平方根，绝对值的计算法则求解即可．

【详解】

解：

．

【点睛】

本题主要考查了立方根，算术平方根，绝对值，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．

6、

（1）-10

（2）-22

【解析】

（1）

解：

（2）

解：

【点睛】

本题考查了有理数的混合运算，利用新运算代入求值即可，关键在于理解新运算，代入时候看清楚符号是否正确．

7、

【分析】

根据立方根、算术平方根解决此题．

【详解】

解：由题意得：2a+4=8，3a+b-1=16．

∴a=2，b=11．

∴4a+b=8+11=19．

∴4a+b的算术平方根为．

【点睛】

本题考查了立方根、算术平方根，熟练掌握立方根、算术平方根是解决本题的关键．

8、（1）；（2）

【分析】

（1）方程整理后，开方即可求出x的值；

（2）方程开立方即可求出x的值．

【详解】

（1）等式两边同时除以2得：，

两边开平方得：；

（2）两边开立方得：，

等式两边同时减去1得：．

【点睛】

本题考查了立方根以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

9、（1）；（2）或；（3）．

【分析】

（1）原式利用多项式乘以多项式法则，完全平方公式以及题中的新定义计算即可求出值；

（2）利用平方差公式计算得出答案；

（3）分子分母同乘以（2-i）后，把分母化为不含i的数后计算．

【详解】

（1）

∵

∴原式

（2）

∵

∴

∵a、b是正整数

∴或

（3）

【点睛】

本题考查了实数的运算，以及完全平方公式的运用，能读懂题意是解此题的关键，解题步骤为：阅读理解，发现信息；提炼信息，发现规律；运用规律，联想迁移；类比推理，解答问题．

10、0

【分析】

互为倒数的两个数相乘等于1，互为相反数的两个数相加等于0，再把结果代入式子计算求解即可．

【详解】

解：根据题意得：ab＝1，c＋d＝0，

则－＋(c＋d)2＋1的值＝－1＋0＋1＝0．

【点睛】

本题考查倒数和相反数的性质应用，掌握理解他们是本题解题关键．