初中沪教版 (五四制)第十二章 实数综合与测试精练

沪教版（上海）七年级数学第二学期第十二章实数定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列说法正确的是(   )

A．是的平方根 B．是的算术平方根 C．2是-4的算术平方根 D．的平方根是它本身

2、点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数可能是（    ）

A． B． C． D．

3、如果x＞1，那么x﹣1，x，x2的大小关系是（　　）

A．x﹣1＜x＜x2 B．x＜x﹣1＜x2 C．x2＜x＜x﹣1 D．x2＜x﹣1＜x

4、计算2﹣1＋30＝（    ）

A． B．﹣1 C．1 D．

5、已知a＝，b＝－|－|，c＝（－2）3，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b

6、规定一种新运算：，如．则的值是（    ）．

A． B． C．6 D．8

7、下列说法正确的是（　　）

A．是分数

B．0.1919919991…（每相邻两个1之间9的个数逐次加1）是有理数

C．﹣3x2y+4x﹣1是三次三项式，常数项是1

D．单项式﹣的次数是2，系数为﹣

8、在以下实数：﹣，，π，3.1411，8，0.020020002…中，无理数有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

9、在实数中，无理数的个数是（   ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10、若，那么（    ）

A．1 B．-1 C．-3 D．-5

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、比较大小：_____﹣（填“＜”或“＝”或“＞”）．

2、比较大小：______3（填“＞”、“＜”或“＝”）．

3、若m、n是两个连续的整数，且，则______．

4、计算下列各题：

（1）|3﹣4|﹣1＝_____；

（2）_____；

（3）30＝_____；

（4）_____．

5、的算术平方根是_____，的立方根是_____，的倒数是_____．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的立方等于﹣8，求3（a+b）+cd+x的值．

2、解方程：

（1）x2＝81；

（2）（x﹣1）3＝27．

3、计算下列各题：

（1）；

（2）．

（3）．

4、直接写出结果：

（1）____________；

（2）____________；

（3）的立方根＝____________；

（4）若x2＝（﹣7）2，则x＝____________．

5、（1）计算：；

（2）计算：（﹣2x2）2+x3•x﹣x5÷x；

（3）先化简再求值：2（a+2）2﹣4（a+3）（a﹣3）+3（a﹣1）2，其中a＝﹣1．

6、做一个底面积为24cm2，长、宽、高的比为4：2：1的长方体，求这个长方体的长、宽、高分别是多少cm？

7、计算：．

8、解答下列各题：

（1）计算：

①

②

（2）分解因式：

9、如图将边长为2cm的小正方形与边长为xcm的大正方形放在一起．

（1）用xcm表示图中空白部分的面积；

（2）当x＝5cm时空白部分面积为多少？

（3）如果大正方形的面积恰好比小正方形的面积大165cm2，那么大正方形的边长应该是多少？

10、阅读下列材料：

①…

②…

③…

根据你观察到的规律，解决下列问题：

（1）写出①组中的第5个等式；

（2）写出②组的第n个等式，并证明；

（3）计算：．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

根据平方根的定义及算术平方根的定义解答．

【详解】

解：A、是的平方根，故该项符合题意；

B、4是的算术平方根，故该项不符合题意；

C、2是4的算术平方根，故该项不符合题意；

D、1的平方根是，故该项不符合题意；

故选：A．

【点睛】

此题考查了平方根的定义及算术平方根的定义，熟记定义是解题的关键．

2、A

【分析】

根据数轴上表示的数在4至4.5之间，再估算各选项的取值，即可得解．

【详解】

解：观察得到点A表示的数在4至4.5之间，

A、∵16<18<20.25，∴4<<4.5，故该选项符合题意；

B、∵9<10<16，∴3<<4，故该选项不符合题意；

C、∵20.25<24<25，∴4.5<<5，故该选项不符合题意；

D、∵25<30<36，∴5<<6，故该选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了实数与数轴，无理数的估算，根据数形结合的思想观察数轴确定点的位置是解题的关键．

3、A

【分析】

根据，即可得到，，由此即可得到答案．

【详解】

解：∵，

∴，，

∴，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了有理数比较大小，负整数指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握实数比较大小的方法．

4、D

【分析】

利用负整数指数幂和零指数幂的意义进行化简计算即可．

【详解】

解：原式＝＋1＝．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了实数的计算，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，利用实数运算法则进行正确的化简计算是解题的关键．

5、C

【分析】

本题主要是根据乘方、绝对值、负指数幂的运算进行求值，比较大小，负指数幂运算是根据：“底倒指反”，进行转化之后再化简，即：a=2；绝对值化简先判断绝对值内的数是正数还是负数，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，在进行化简，即b=；乘方运算中，负数的奇次幂还是负数，即：c=-8，据此进行数据的比较．

【详解】

解：由题意得：a===４，b==，c＝＝-8，

∴c＜b＜a．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查的是乘方、绝对值、负指数幂的基础运算，熟练掌握其运算以及符号是解本题的关键．

6、C

【分析】

根据新定义计算法则把转化为常规下运算得出，然后按有理数运算法则计算即可．

【详解】

解：∵，

∴．

故选择C．

【点睛】

本题考查新定义运算，掌握新定义运算的要点，含乘方的有理数混合运算是解题关键．

7、D

【分析】

根据有理数的定义、单项式次数和系数的定义，多项式的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、是无限不循环小数，不是分数，故此选项不符合题意；

B、0.1919919991…（每相邻两个1之间9的个数逐次加1）是无限不循环小数，不是有理数，故此选项不符合题意；

C、﹣3x2y+4x﹣1是三次三项式，常数项是-1，故此选项不符合题意；

D、单项式﹣的次数是2，系数为﹣，故此选项符合题意；

故选D．

【点睛】

本题主要考查了有理数的定义、单项式次数和系数的定义，熟知定义是解题的关键：有理数是整数和分数的统称；表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数．

8、B

【分析】

根据“无限不循环的小数是无理数”可直接进行排除选项．

【详解】

解：∵，

∴在以下实数：﹣，，π，3.1411，8，0.020020002…中，无理数有﹣，π，0.020020002…；共3个；

故选B．

【点睛】

本题主要考查算术平方根及无理数，熟练掌握求一个数的算术平方根及无理数的概念是解题的关键．

9、B

【分析】

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【详解】

解：=2，=2，,

∴无理数只有，共2个．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

10、D

【分析】

由非负数之和为，可得且，解方程求得，，代入问题得解．

【详解】

解： ，

且，

解得，，

，

故选：D

【点睛】

本题考查了代数式的值，正确理解绝对值及算数平方根的非负性是解答本题的关键．

二、填空题

1、＞

【分析】

先求解两个实数的绝对值，再利用近似值比较它们绝对值的大小，利用两个负数绝对值大的反而小可得答案.

【详解】

解： 而

故答案为：＞

【点睛】

本题考查的是实数的大小比较，掌握“两个负实数的大小比较的方法”是解本题的关键.

2、＜

【分析】

由得，再利用不等式的基本性质可得，从而可得答案．

【详解】

解：∵，

∴，

∴．

故答案为：＜．

【点睛】

本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．

3、11

【分析】

根据无理数的估算方法求出、的值，由此即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵5、6是两个连续的整数，且，

，

，

故答案为：11．

【点睛】

本题考查了无理数的估算和代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．

4、0    3    1       

【分析】

（1）先化简绝对值，再计算减法运算即可得；

（2）先计算有理数的乘方，再计算算术平方根即可得；

（3）计算零指数幂即可得；

（4）根据分式的加法运算法则即可得．

【详解】

解：（1）原式，

故答案为：0；

（2）原式，

故答案为：3；

（3）原式，

故答案为：1；

（4）原式，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了零指数幂、算术平方根、分式的加法等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．

5、9

【分析】

根据相反数，算术平方根，立方根，平方根，倒数，绝对值的定义求出即可．

【详解】

解：=81的算术平方根是9，=的立方根是，的倒数是，

故答案为：-9，，．

【点睛】

本题考查了算术平方根，立方根，平方根，倒数等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．

三、解答题

1、-1

【分析】

由题意可知，，，，将值代入即可．

【详解】

解：由题意得：，；

解得

∴．

【点睛】

本题考查了相反数，倒数，立方根等知识点．解题的关键在于正确理解相反数，倒数，立方根的概念与应用．

2、（1）x＝±9；（2）x＝4

【分析】

（1）方程利用平方根定义开方即可求出解；

（2）方程利用立方根定义开立方即可求出解．

【详解】

解：（1）开方得：x＝±9；

（2）开立方得：x﹣1＝3，

解得：x＝4．

【点睛】

本题考查了利用平方根，立方根定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．平方根：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±”(a称为被开方数),立方根：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“”(a称为被开方数)．

3、

（1）-3

（2）-6x

（3）4y-3xz

【分析】

（1）先化简零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值，然后再计算；

（2）先利用积的乘方运算法则计算乘方，然后利用整式乘除法运算法则从左往右依次计算．

（3）根据多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．

（1）

解：原式

；

（2）

解：原式

；

（3）

解：

．

【点睛】

本题考查整式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，掌握积的乘方（ab）n=anbn运算法则，整式的除法，理解a0=1（a≠0），（a≠0），牢记法则是解题关键．

4、（1）8；（2）0；（3）2；（4）

【分析】

（1）根据算术平方根的计算法则求解即可；

（2）根据算术平方根的计算法则求解即可；

（3）根据立方根的求解方法求解即可；

（4）根据求平方根的方法解方程即可．

【详解】

解：（1）

，

故答案为：8；

（2）

，

故答案为：0；

（3）∵，

∴的立方根是2，

故答案为：2；

（4）∵x2＝（﹣7）2，

∴x2＝49，

∴x=±7．

故答案为：±7．

【点睛】

本题主要考查了实数的运算，立方根，算术平方根，利用平方根解方程等等，熟知相关计算法则是解题的关键．

5、（1）8﹣；（2）4x4；（3）a2+2a+47，46

【分析】

（1）首先根据算术平方根，立方根和绝对值的性质化简，然后利用有理数的加减混合运算法则求解即可；

（2）先算乘方，再算乘除，然后合并同类项求解即可；

（3）先根据整式的乘法运算法则化简，然后合并同类项，最后代入求解即可．

【详解】

解：（1）原式＝9﹣2﹣（﹣1）

＝7﹣+1

＝8﹣；

（2）原式＝4x4+x4﹣x4

＝4x4；

（3）原式＝2（a2+4a+4）﹣4（a2﹣9）+3（a2﹣2a+1）

＝2a2+8a+8﹣4a2+36+3a2﹣6a+3

＝a2+2a+47，

当a＝﹣1时，

原式＝（﹣1）2+2×（﹣1）+47

＝1﹣2+47

＝46．

【点睛】

此题考查了算数平方根，立方根和绝对值的意义，积的乘方运算，同底数幂的乘法和除法运算，整式的乘法运算公式，合并同类项等知识，解题的关键是熟练掌握以上运算的法则．

6、这个长方体的长、宽、高分别为、、

【分析】

根据题意设这个长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x，然后依据底面积为24cm2，列出关于x的方程，然后可求得x的值，最后再求得这个长方体的长、宽、高即可．

【详解】

解：设这个长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x．

根据题意得：4x•2x＝24，

解得：x＝或x＝﹣（舍去）．

则4x＝4，2x＝2．

所以这个长方体的长、宽、高分别为4cm、2cm、cm．

【点睛】

本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．

7、

【分析】

根据有理数的乘方运算，有理数的乘方运算，化简绝对值，最后进行实数的混合运算即可

【详解】

解：原式．

【点睛】

本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．

8、（1）①；②；（2）

【分析】

（1）①原式利用算术平方根、立方根性质，乘方的意义，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果；②根据幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法法则进行计算，再进行合并同类项合并即可；

（2）原式提取公因式x，再利用完全平方公式分解即可．

【详解】

解：（1）①

②

（2）

【点睛】

此题考查了实数的运算、整式的乘除运算以及提公因式法与公式法的综合运用的知识点，熟练掌运算以及相关法则、方法是解本题的关键．

9、（1）；（2）；（3）13cm

【分析】

（1）空白部分面积=小正方形的面积+大正方形的面积-阴影部分两个三角形的面积，据此可得代数式；

（2）将x=5代入计算可得；

（3）根据题意列出方程求解即可．

【详解】

解：（1）空白部分面积为；

（2）当x＝5时，空白部分面积为．

（3）根据题意得，，

解得x＝13或-13（舍去），

所以，大正方形的边长为13cm

【点睛】

此题考查列代数式问题，解题的关键是根据图形得出计算空白部分面积的关系式．

10、

（1）；

（2），证明见解析；

（3）

【分析】

（1）根据前几个等式的变化规律即可求解；

（2）根据前几个等式的变化规律即可得出第n个等式，根据异分母分式的减法法则证明即可；

（3）根据前三组观察出的变化规律求解即可．

（1）

解：∵，

∴第5个等式为；

（2）

解：∵，

∴第n个等式为，

证明：右边=，

左边=，

∵右边=左边，

∴；

（3）

解：∵=，=，=，

∴，

∴

=

=

=

=

=．

【点睛】

本题考查分式规律性问题，涉及用代数式表示数的规律、异分母分式的减法、与实数运算有关的规律题，理解题意，正确得出变化规律，会利用类比的思想方法解决问题是解答的关键．