数学七年级下册第十二章 实数综合与测试同步训练题

沪教版（上海）七年级数学第二学期第十二章实数专项攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列整数中，与－1最接近的是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

2、对于两个有理数、，定义一种新的运算：，若，则的值为（   ）

A． B． C． D．

3、下列判断中，你认为正确的是（　　）

A．0的倒数是0 B．是分数 C．3＜＜4 D．的值是±3

4、3的算术平方根是（    ）

A．±3 B． C．－3 D．3

5、下列说法正确的是（  ）

A．0.01是0.1的平方根

B．小于0.5

C．的小数部分是

D．任意找一个数，利用计算器对它开立方，再对得到的立方根进行开立方……如此进行下去，得到的数会越来越趋近1

6、100的算术平方根是（    ）

A．10 B． C． D．

7、规定一种新运算：，如．则的值是（    ）．

A． B． C．6 D．8

8、9的平方根是（　　）

A．±9 B．9 C．±3 D．3

9、9的平方根是（　　）

A．±3 B．－3 C．3 D．

10、已知a＝，b＝－|－|，c＝（－2）3，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、比较大小：______3（填“＞”、“＜”或“＝”）．

2、计算______．

3、若规定“※”的运算法则为：，例如：则  =_________．

4、比较大小：_____﹣（填“＜”或“＝”或“＞”）．

5、若＝2，则x＝___．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、观察下列等式：

第1个等式：12＝13；

第2个等式：(1+2)2＝13+23；

第3个等式：(1+2+3)2＝13+23+33；

第4个等式：(1+2+3+4)2＝13+23+33+43；

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：__________________；

（2）写出第n（n为正整数）个等式：__________________（用含n的等式表示）；

（3）利用上述规律求值：．

2、计算：

（1）；

（2）﹣16÷（﹣2）2．

3、计算：

（1）；         

（2）．

4、已知正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，a﹣4b的算术平方根是4．

（1）求这个正数a以及b的值；

（2）求b2+3a﹣8的立方根．

5、做一个底面积为24cm2，长、宽、高的比为4：2：1的长方体，求这个长方体的长、宽、高分别是多少cm？

6、如图是一个无理数筛选器的工作流程图．

（1）当x为16时，y值为______；

（2）是否存在输入有意义的x值后，却始终输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；

（3）如果输入x值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的x值可能是什么情况？

（4）当输出的y值是时，判断输入的x值是否唯一？如果不唯一，请写出其中的三个．

7、已知a、b互为倒数，c、d互为相反数，求－＋(c＋d)2＋1的值．

8、把下列各数分别填入相应的集合里．

，，0，，，，，，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）

（1）整数集合：{                        …}

（2）正数集合：{                        …}

（3）无理数集合：{                        …}

9、若与互为相反数，且x≠0，y≠0，求的值．

10、（1）计算：﹣32﹣（2021）0+|﹣2|﹣（）﹣2×（﹣）；

（2）解方程：＝﹣1．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

先由无理数估算，得到，且接近3，即可得到答案．

【详解】

解：由题意，

∵，且接近3，

∴最接近的是整数2；

故选：A．

【点睛】

本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的概念，正确的得到接近3．

2、D

【分析】

根据新定义的运算法则得到，求解的值，再按照新定义对进行运算即可.

【详解】

解： ，

，

，

解得：

故选D

【点睛】

本题考查的是新定义运算，完全平方公式的应用，负整数指数幂的含义，理解新定义，按照新定义的运算法则进行运算是解本题的关键.

3、C

【分析】

根据倒数的概念即可判断A选项，根据分数的概念即可判断B选项，根据无理数的估算方法即可判断C选项，根据算术平方根的概念即可判断D选项．

【详解】

解：A、0不能作分母，所以0没有倒数，故本选项错误；

B、属于无理数，故本选项错误；

C、因为 9＜15＜16，所以 3＜＜4，故本选项正确；

D、的值是3，故本选项错误．

故选：C．

【点睛】

此题考查了倒数的概念，分数的概念，无理数的估算方法以及算术平方根的概念，解题的关键是熟练掌握倒数的概念，分数的概念，无理数的估算方法以及算术平方根的概念．

4、B

【分析】

根据算术平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．

【详解】

解：3的算术平方根是

故选B

【点睛】

本题考查了算术平方根的定义，掌握定义是解题的关键．

5、C

【分析】

根据平方根的定义，以及无理数的估算等知识点进行逐项分析判断即可．

【详解】

解：A、0.1是0.01的平方根，原说法错误，不符合题意；

B、由，得，原说法错误，不符合题意；

C、由，得，即的整数部分为4，则小数部分为，原说法正确，符合题意；

D、例如0和-1按此方法无限计算，结果仍为0和-1，并不是趋近于1，原说法错误，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查平方根的定义，无理数的估算等，掌握实数的相关基本定义是解题关键．

6、A

【分析】

根据算术平方根的概念：一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，即可解答．

【详解】

解：∵，，（舍去）

∴100的算术平方根是10，

故选A．

【点睛】

本题考查了算术平方根，解题的关键是熟练掌握算术平方根的概念．

7、C

【分析】

根据新定义计算法则把转化为常规下运算得出，然后按有理数运算法则计算即可．

【详解】

解：∵，

∴．

故选择C．

【点睛】

本题考查新定义运算，掌握新定义运算的要点，含乘方的有理数混合运算是解题关键．

8、C

【分析】

根据平方根的定义解答即可．

【详解】

解：∵（±3）2＝9，

∴9的平方根是±3．

故选：C．

【点睛】

此题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义．如果一个数的平方等于a，即，那么这个数叫做a的平方根．正数有两个平方根，且互为相反数，其中正的那个数也叫算数平方根，0的平方根和算数平方根都是0，负数没有平方根，也没有算术平方根．

9、A

【分析】

根据平方根的定义进行判断即可．

【详解】

解：∵（±3）2＝9

∴9的平方根是±3

故选：A．

【点睛】

本题考查的是平方根的定义，即如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．

10、C

【分析】

本题主要是根据乘方、绝对值、负指数幂的运算进行求值，比较大小，负指数幂运算是根据：“底倒指反”，进行转化之后再化简，即：a=2；绝对值化简先判断绝对值内的数是正数还是负数，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，在进行化简，即b=；乘方运算中，负数的奇次幂还是负数，即：c=-8，据此进行数据的比较．

【详解】

解：由题意得：a===４，b==，c＝＝-8，

∴c＜b＜a．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查的是乘方、绝对值、负指数幂的基础运算，熟练掌握其运算以及符号是解本题的关键．

二、填空题

1、＜

【分析】

由得，再利用不等式的基本性质可得，从而可得答案．

【详解】

解：∵，

∴，

∴．

故答案为：＜．

【点睛】

本题考查的是实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解题的关键．

2、##

【分析】

根据立方根和算术平方根的求解方法求解即可．

【详解】

解：，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了算术平方根和立方根，熟知二者的定义是解题的关键．

3、-2

【分析】

依据定义的运算法则列式计算即可．

【详解】

==-2

故答案为：-2．

【点睛】

本题考查了新定义下的实数运算，理解新定义的运算法则并列式是解题的关键．

4、＞

【分析】

先求解两个实数的绝对值，再利用近似值比较它们绝对值的大小，利用两个负数绝对值大的反而小可得答案.

【详解】

解： 而

故答案为：＞

【点睛】

本题考查的是实数的大小比较，掌握“两个负实数的大小比较的方法”是解本题的关键.

5、8

【分析】

根据立方根的性值计算即可；

【详解】

∵＝2，

∴；

故答案是8．

【点睛】

本题主要考查了立方根的性质，准确分析计算是解题的关键．

三、解答题

1、

（1）（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；

（2）（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3；

（3）265

【分析】

（1）根据前几个等式的变化规律解答即可；

（2）根据前几个等式的变化规律写出第n个等式即可；

（3）根据变化规律和平方差公式进行计算即可．

（1）

解：根据题意，第5个等式为（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53，

故答案为：（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；

（2）

解：根据题意，第n个等式为（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3，

故答案为：（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3；

（3）

解：由（2）中（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3知，

（1+2+3+4+5+…+20）2＝13+23+33+43+53+…+203①，

（1+2+3+4+5+…+10）2＝13+23+33+43+53+…+103②，

①－②得：

（1+2+3+4+5+…+20+1+2+3+4+5+…+10）×（11+12+13+…+20）=113+123+133+…+203，

∴

=（1+2+3+4+5+…+20+1+2+3+4+5+…+10）

=265．

【点睛】

本题考查数字类规律探究、平方差公式、与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键．

2、（1）（2）

【分析】

（1）根据有理数的混合运算进行计算即可；

（2）先根据求一个数的立方根求得为，进而根据有理数的混合运算进行计算即可

【详解】

（1）原式

（2）原式

【点睛】

本题考查了求一个数的立方根，有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．

3、（1）1；（2）2

【分析】

（1）根据零指数幂定义，负整数指数幂定义及绝对值的性质分别化简，再计算加减法；

（2）根据同分母分式的加减法法则计算．

【详解】

解：(1)原式＝1＋2－2 

＝1．

(2)原式＝

＝

＝2．

【点睛】

此题考查了计算能力：实数的混合运算，同分母分式的加减法，正确掌握零指数幂定义，负整数指数幂定义，绝对值的性质，同分母分式的加减法法则是解题的关键．．

4、（1），；（2）b2+3a﹣8的立方根是5

【分析】

（1）根据题意可得，2x﹣2+6﹣3x＝0，即可求出a＝36，再根据a﹣4b的算术平方根是4，求出b的值即可；

（2）将（1）中所求a、b的值代入代数式b2+3a﹣8求值，再根据立方根定义计算即可求解．

【详解】

解：（1）∵正数a的两个不同平方根分别是2x﹣2和6﹣3x，

∴2x﹣2+6﹣3x＝0，

∴x＝4，

∴2x﹣2＝6，

∴a＝36，

∵a﹣4b的算术平方根是4，

∴a﹣4b＝16，

∴36-4b=16

∴b＝5；

（2）当a=36,b=5时，b2+3a﹣8＝25+36×3﹣8＝125，

∴b2+3a﹣8的立方根是5．

【点睛】

本题考查平方根的性质，算术平方根定义，立方根定义，掌握平方根的性质，算术平方根定义，立方根定义是解题关键．

5、这个长方体的长、宽、高分别为、、

【分析】

根据题意设这个长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x，然后依据底面积为24cm2，列出关于x的方程，然后可求得x的值，最后再求得这个长方体的长、宽、高即可．

【详解】

解：设这个长方体的长、宽、高分别为4x、2x、x．

根据题意得：4x•2x＝24，

解得：x＝或x＝﹣（舍去）．

则4x＝4，2x＝2．

所以这个长方体的长、宽、高分别为4cm、2cm、cm．

【点睛】

本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．

6、

（1）

（2）0，1

（3）x＜0

（4）x=3或x=9或x=81．

【分析】

（1）根据运算规则即可求解；

（2）根据0的算术平方根是0，即可判断；

（3）根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数即可求解；

（4）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．

（1）

解：当x=16时，，则y=；

故答案是：．

（2）

解：当x=0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；

（3）

解：当x＜0时，导致开平方运算无法进行；

（4）

解： x的值不唯一．x=3或x=9或x=81．

【点睛】

本题考查了算术平方根及无理数，正确理解给出的运算方法是关键．

7、0

【分析】

互为倒数的两个数相乘等于1，互为相反数的两个数相加等于0，再把结果代入式子计算求解即可．

【详解】

解：根据题意得：ab＝1，c＋d＝0，

则－＋(c＋d)2＋1的值＝－1＋0＋1＝0．

【点睛】

本题考查倒数和相反数的性质应用，掌握理解他们是本题解题关键．

8、（1）整数集合：；（2）正数集合：；（3）无理数集合：．

【分析】

根据实数分类解题，实数分为有理数与无理数，无限不循环小数和开方不能开尽的数是无理数，整数和分数统称为有理数，整数包含正整数、0、负整数，

（1）根据整数的分类即可得；

（2）根据正数的分类即可得；

（3）根据无理数的分类即可得．

【详解】

解：+5是正整数，是无理数， 0是整数，-3.14是正分数，是正分数，-12是负整数，是负无理数，是正整数，（每两个1之间依次多一个0）是无理数；

故（1）整数集合：；

（2）正数集合：；

（3）无理数集合：．

【点睛】

本题考查实数的分类、有理数的分类等知识，掌握相关数的分类是解题关键．

9、

【分析】

根据互为相反数的和为零，可得方程，再根据等式的性质变形．

【详解】

由题意可得：，即，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了相反数的概念以及立方根，利用互为相反数的和为零得出方程是解题关键．

10、（1）-7；（2）x＝9．

【分析】

（1）直接利用绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案；

（2）直接去分母，移项合并同类项解方程即可．

【详解】

解：（1）原式＝﹣9﹣1+2﹣9×（﹣）

＝﹣9﹣1+2+1

＝﹣7；

（2）去分母得：2x﹣3（1+x）＝﹣12，

去括号得：2x﹣3﹣3x＝﹣12，

移项得：2x﹣3x＝﹣12+3，

合并同类项得：﹣x＝﹣9，

系数化1得：x＝9．

【点睛】

此题主要考查了实数运算以及一元一次方程的解法，正确掌握相关运算法则是解题关键．