高中物理4 机械能守恒定律学案

机械能守恒定律

目标体系构建

明确目标·梳理脉络

【学习目标】

1．通过机械能守恒定律的学习，初步建立能量观念，体会守恒思想。

2．会用能量观念分析具体实例中动能与势能(包括弹性势能)之间的相互转化。

3．理解机械能守恒定律的推导过程。

4．会判断机械能是否守恒，能用机械能守恒定律解决有关问题。

【思维脉络】

课前预习反馈

教材梳理·落实新知

知识点 1　追寻守恒量、动能与势能的相互转化

1．追寻守恒量：伽利略的斜面实验中，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球必将准确地终止于它开始运动时的__高度__，这说明某种“东西”在小球运动的过程中是__不变__的。

2．重力势能可以与__动能__相互转化。

3．弹性势能可以与__动能__相互转化。

4．机械能：

(1)重力势能、__弹性__势能与动能都是机械运动中的能量形式，统称为__机械能__。

(2)机械能可以从一种形式__转化__成另一种形式。

知识点 2　机械能守恒定律

1．推导：

如图所示，物体沿光滑曲面滑下。物体在某一时刻处在高度为h1的位置A，这时它的速度是v1。经过一段时间后，物体下落到高度为h2的另一位置B，这时它的速度是v2。用W表示这一过程中重力做的功。由动能定理可得：W＝mv－mv，又W＝__mgh1－mgh2__

可得：mgh1－mgh2＝mv－mv，

移项后得：mv＋mgh2＝mv＋mgh1，即物体末状态动能与势能之和__等于__物体初状态动能与势能之和。

2．内容

在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以__互相转化__，而总的机械能__保持不变__。

3．守恒条件

物体系统中只有__重力__或__弹力__做功。

思考辨析

『判一判』

(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化。(√)

(2)物体自由下落时，重力做正功，物体的动能和重力势能都增加。(×)

(3)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。(×)

(4)合力做功为零，物体的机械能一定保持不变。(×)

(5)合力为零，物体的机械能一定守恒。(×)

(6)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒。(√)

『选一选』

(2021·浙江高一月考)“娃娃机”指将商品陈列在一个透明的箱内，其上有一个可控制抓取玩具的机器手臂，使用者要凭自己的技术操控手臂，以取到自己想要的玩具。关于“娃娃机”。下列说法正确的是(　B　)

A．机械爪抓到玩具匀速上升时，玩具机械能守恒

B．机械爪抓到玩具加速水平移动时，玩具的机械能增加

C．玩具从机械爪掉下时，速度增加，玩具的机械能增加

D．机械爪抓到玩具加速上升时，机械爪做的功等于玩具重力势能变化量

解析：机器手臂抓到玩具匀速上升时，动能不变，重力势能增大，所以玩具的机械能变大，故A错误；机器手臂抓到玩具加速水平运动时，玩具的质量不变，速度增大，则动能增大，玩具的机械能增加，故B正确；玩具从机械爪掉下时，在没有空气阻力的情况下，玩具从机器手臂处自由落下时，重力势能转化为动能，没有能量的损失，即玩具的机械能守恒；若有空气阻力的情况下，玩具的机械能减小，故C错误；机器手臂抓玩具加速上升时，动能和重力势能均变大，所以手臂做的功等于玩具重力势能与动能的增大量之和，故D错误。

『想一想』

下图是上海“明珠线”某车站的设计方案。由于站台建得稍高，电车进站时要上坡，出站时要下坡。忽略斜坡的摩擦力，你能分析这种设计的优点吗？

答案：这样设计的主要优点在于节约电能。

解析：电车进站前虽关闭了电动机，但仍具有动能，可使电车爬上斜坡，这是将动能转化为势能储存。出站时，电车可利用斜坡再将势能转化成动能。可见，这种设计方案可以节约电能。

课内互动探究

细研深究·破疑解难

探究

对机械能守恒定律的理解

┃┃情境导入__■

如图所示，

过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下。

(1)过山车受哪些力作用？各做什么功？

(2)过山车下滑时，动能和势能怎么变化？两种能的和不变吗？

(3)若忽略过山车的摩擦力和空气阻力，过山车下滑时机械能守恒吗？

提示：(1)过山车受重力，轨道支持力、摩擦力和空气阻力；重力做正功，轨道支持力不做功，摩擦力和空气阻力做负功。

(2)过山车下滑时，势能减少动能增加，两种能的和减少。

(3)若忽略过山车的摩擦力和空气阻力，过山车下滑时机械能守恒。

┃┃要点提炼__■

1．对机械能守恒条件的理解

(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。

(2)只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。

(3)只有重力和弹力做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。

(4)除受重力或弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零。

2．判断机械能是否守恒的方法

(1)做功条件分析：只有重力和系统内弹力做功，其他力不做功或做功的代数和始终为零。

(2)能量转化分析：系统内只有动能、重力势能及弹性势能的相互转化，即系统内只有物体间的机械能相互转移，则机械能守恒。

(3)定义判断法：如物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时，动能不变，势能变化，机械能不守恒。

┃┃典例剖析__■

典题1　(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　CD　)

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒

B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒

C．丙图中，不计滑轮质量和任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒

D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒

思路引导：解答本题时应注意以下三个方面：

(1)机械能守恒时力做功的特点；

(2)机械能守恒的研究对象；

(3)机械能守恒中能量转化特点。

解析：甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错。乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错。  丙图中A、B组成的系统只有重力做功，动能和势能相互转化，总的机械能守恒，C对。丁图中动能不变，势能不变，机械能守恒，D对。

总结提升：物体的运动形式有多种，判断其机械能是否守恒，关键看是否只有重力或弹力做功或分析有无其他形式的能与机械能发生转化。

┃┃对点训练__■

1．(2021·重庆市第三十七中学校高一月考)光滑水平面上有A、B两木块，A、B之间用一轻弹簧拴接，A靠在墙壁上，用力F向左推B使两木块之间的弹簧压缩并处于静止状态，若突然撤去力F，则下列说法中正确的是(　C　)

A．木块A离开墙壁前，A、B组成的系统机械能守恒

B．木块A离开墙壁后，A、B组成的系统机械能守恒

C．木块A离开墙壁前，A、B及弹簧组成的系统机械能守恒

D．木块A离开墙壁后，A、B及弹簧组成的系统机械能不守恒

解析：木块A离开墙壁前，弹簧的弹力对B做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B弹簧组成的系统机械能守恒，选项A错误，C正确；木块A离开墙壁后，弹簧的弹力对AB都做功，则A、B组成的系统机械能不守恒，但是A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，选项BD错误。

探究

机械能守恒定律的应用

┃┃情境导入__■

如图所示，是运动员投掷铅球的动作，如果忽略铅球所受空气的阻力。

(1)铅球在空中运动过程中，机械能是否守恒？

(2)若铅球被抛出时速度大小一定，铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？

(3)在求解铅球落地的速度大小时，可以考虑应用什么规律？

提示：(1)由于阻力可以忽略，铅球在空中运动过程中，只有重力做功，机械能守恒。

(2)根据机械能守恒定律，落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向无关。

(3)可以应用机械能守恒定律，也可以应用动能定理。

┃┃要点提炼__■

1．机械能守恒的表达式及其意义：

2．应用机械能守恒定律解题的步骤

3．机械能守恒定律和动能定理的比较

特别提醒

(1)机械能守恒定律是一种“能—能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。

(2)由于应用动能定理不需要满足什么条件，所以涉及功能关系问题时还是优先考虑动能定理。

┃┃典例剖析__■

典题2　如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，管道中心到圆心距离为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入管道，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小为小球重力的9倍。求：

(1)释放点距A的竖直高度；

(2)落点C与A的水平距离。

思路引导：根据机械能守恒定律、竖直平面内的圆周运动和平抛运动规律，综合分析求解。

解析：(1)设小球到达B点的速度为v1，因为到达B点时管壁对小球的弹力大小为小球重力大小的9倍，所以有

9mg－mg＝m

又由机械能守恒定律得

mg(h＋R)＝mv

所以h＝3R。

(2)设小球到达最高点的速度为v2，落点C与A的水平距离为x

由机械能守恒定律得

mv＝mv＋mg2R

由平抛运动规律得R＝gt2

R＋x＝v2t

由此可解得s＝(2－1)R。

答案：(1)3R　(2)(2－1)R

┃┃对点训练__■

2．(单个物体的机械能守恒)(2021·沭阳县修远中学高一月考)质量为m的物体，以水平速度v0离开桌面，若以桌面为零势能面，不计空气阻力，则当它经过离地高度为h的A点时，所具有的机械能是(　D　)

A．mv＋mgh　　　　 B．mv－mgh

C．mv＋mg(H－h) D．mv

解析：物体在运动的过程中，机械能守恒，则A点的机械能等于抛出点的机械能，抛出点的机械能E＝mv，则A点的机械能等于mv，故D正确，A、B、C错误。

3．(多物体的机械能守恒)如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻绳连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　C　)

A．2R　　　　　　　　 B．

C． D．

解析：A、B的质量分别记为2m、m，当A落到地面上时，B恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为研究对象，则A、B组成的系统机械能守恒，故有2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，A落到地面上以后，B以速度v竖直上抛，又上升的高度为h′＝，解得h′＝R，此时绳子未绷直，故B上升的最大高度为R＋h′＝R，选项C正确。

核心素养提升

以题说法·启智培优

非质点类物体的机械能守恒问题

1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。

2．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。

案例 如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，不计滑轮大小，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其A端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？(重力加速度为g)

解析：方法一　取整个铁链为研究对象：

设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量为：ΔEp＝mg·L，由机械能守恒得：mv2＝mg·L，则v＝。

方法二　将铁链看成两段：

铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB′部分移到AA′位置。

重力势能减少量为ΔEp＝mg·，由机械能守恒得：mv2＝mg·，则v＝。

答案：

课堂达标检测

沙场点兵·名校真题

1．(2021·青海西宁市高一月考)如图所示，下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动，在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是 (　C　)

解析：由A图可知，力F对物体做正功，机械能增加，不守恒，故A错误；由B图可知，力F做负功，机械能减小，故B错误；C图中物体斜面光滑，运动过程中只有重力做功，只有重力势能和动能的相互转化，机械能守恒，故C正确；D图中斜面粗糙，物体下滑中，摩擦力做负功，机械能减小，不守恒，故D错误。

2．(2021·江苏南通市高一月考)如图所示，质量为m的苹果从距地面高度为H的树上由静止开始下落，树下有一深度为h的坑。若以地面为零势能参考平面，则苹果刚要落到坑底时的机械能为(　B　)

A．－mght  B．mgH

C．mg(H＋h)　 D．mg(H－h)

解析：以地面为重力势能的参考平面，苹果刚下落时的机械能为mgH，下落过程中苹果只受重力，机械能守恒，则知当苹果将要落到坑底时，其机械能等于刚下落时的机械能mgH。故选B。

3．(2021·安徽省桐城中学高一月考)如图是为了检验某种防护罩承受冲击能力的装置的一部分，M为半径为R＝1.0 m、固定于竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，M的下端相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同的质量m＝0.01 kg的小钢珠。假设某次发射的钢珠沿轨道内侧恰好能经过M的上端点水平飞出，取g＝10 m/s2，弹簧枪的长度不计，则发射该钢珠前，弹簧的弹性势能为(　B　)

A．0.10 J B．0.15 J

C．0．20 J D．0.25 J

解析：小钢珠恰好经过M的上端点时有mg＝m，所以v＝＝ m/s。全过程中，小钢珠与弹簧组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律得Ep＝mgR＋mv2＝0.15 J。故选B。

4．(2021·北京交通大学附属中学高一期末)小明同学用实验研究“圆珠笔的上跳”，一支可伸缩的圆珠笔，内有一根弹簧，尾部有一个小帽，压一下小帽，笔尖就伸出。如图所示，手握笔杆，使笔尖向上，小帽抵在桌面上，在压下后突然放手，笔杆将竖直向上跳起一定的高度。在某次实验中，小明用刻度尺测得圆珠笔跳起的高度为12 cm，请你帮他分析：

(1)圆珠笔由桌面静止起跳到上升至最大高度的过程中，能量发生了怎样的变化？

(2)从能量转化的角度计算出圆珠笔起跳的初速度v0多大？(g取10 m/s2)

答案：(1)圆珠笔弹簧弹性势能→圆珠笔动能→圆珠笔重力势能　(2)1.55 m/s

解析：(1)圆珠笔弹簧的弹性势能减少，转化为圆珠笔的动能，离开桌子后，圆珠笔减少的动能转化成圆珠笔增加的重力势能，圆珠笔运动到最高点时，圆珠笔的重力势能最大，动能为零。

(2)由机械能守恒定律得mgh＝mv，代入数据得v0≈1.55 m/s。