初中北京课改版第十五章 四边形综合与测试随堂练习题

京改版八年级数学下册第十五章四边形定向训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知三角形三边长分别为7cm，8cm，9cm，作三条中位线组成一个新的三角形，同样方法作下去，一共做了五个新的三角形，则这五个新三角形的周长之和为（    ）

A．46.5cm B．22.5cm C．23.25cm D．以上都不对

2、下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）

A． B． C． D．

3、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）．

A． B．

C． D．

4、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

5、如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ）

A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD

C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC

6、已知中，，，CD是斜边AB上的中线，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

7、如图，四边形ABCD中，∠A=60°，AD=2，AB=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）

A． B． C． D．

8、下列图形中，不是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

9、下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

10、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（   ）

A． B． 

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n=____

2、如图，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB长度的最小值为_________．

3、如图，平面直角坐标系中，有，，三点，以A，B，O三点为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为______．

4、一个矩形的两条对角线所夹的锐角是60°，这个角所对的边长为10cm，则该矩形的面积为_______．

5、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2，其中正确结论的序号为 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在中，，斜边，过点作，以AB为边作菱形ABEF，若，求的面积．

2、如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，．

（1）求证：D是EC中点；

（2）若，于点F，直接写出图中与CF相等的线段．

3、如图，四边形ABCD是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．

4、如图，已知矩形中，点，分别是，上的点，，且．

（1）求证：；

（2）若，求：的值．

5、如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．

（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；

（2）若∠AFC=2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

如图所示，，，，DE，DF，EF分别是三角形ABC的中位线，GH，GI，HI分别是△DEF的中位线，则，，，即可得到△DEF的周长，由此即可求出其他四个新三角形的周长，最后求和即可．

【详解】

解：如图所示，，，，DE，DF，EF分别是三角形ABC的中位线，GH，GI，HI分别是△DEF的中位线，

∴，，，

∴△DEF的周长，

同理可得：△GHI的周长，

∴第三次作中位线得到的三角形周长为，

∴第四次作中位线得到的三角形周长为

∴第三次作中位线得到的三角形周长为

∴这五个新三角形的周长之和为，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了三角形中位线定理，解题的关键在于能够熟练掌握三角形中位线定理．

2、D

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；

D、是轴对称图形，是中心对称图形，选项说法正确，符合题意；

故选D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是掌握轴对称图形寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3、C

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

【详解】

解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4、D

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．

【详解】

解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；

D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选D．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

5、D

【分析】

由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案.

【详解】

解：当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°，正确，故A不符合题意；

当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD，正确，故B不符合题意；

当▱ABCD是正方形时，AC＝BD，正确，故C不符合题意；

当▱ABCD是菱形时，AB＝BC，故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.

6、B

【分析】

由题意根据三角形的内角和得到∠A=36°，由CD是斜边AB上的中线，得到CD=AD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【详解】

解：∵∠ACB=90°，∠B=54°，
∴∠A=36°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=36°.
故选：B．

【点睛】

本题考查直角三角形的性质与三角形的内角和，熟练掌握直角三角形的性质即直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．

7、A

【分析】

根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN，从而求得EF的最大值． 连接DB，过点D作DH⊥AB交AB于点H，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可；

【详解】

解：∵ED=EM，MF=FN，

∴EF=DN，

∴DN最大时，EF最大，

 ∴N与B重合时DN=DB最大，

在Rt△ADH中， ∵∠A=60°

∴AH=2×=1，DH=，

∴BH=AB﹣AH=3﹣1=2，

∴DB=，

∴EFmax=DB=，

∴EF的最大值为．

故选A

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用中位线求得EF=DN是解题的关键．

8、C

【详解】

解：选项A是中心对称图形，故A不符合题意；

选项B是中心对称图形，故B不符合题意；

选项C不是中心对称图形，故C符合题意；

选项D是中心对称图形，故D不符合题意；

故选C

【点睛】

本题考查的是中心对称图形的识别，掌握“中心对称图形的定义判断中心对称图形”是解本题的关键，中心对称图形的定义：把一个图形绕某点旋转后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形.

9、B

【分析】

根据中心对称图形的定义求解即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意．

故选：B．

【点睛】

此题考查了中心对称图形，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．

10、C

【分析】

利用中心对称图形的定义：旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故A错误．

B、不是中心对称图形，故B错误．

C、是中心对称图形，故C正确．

D、不是中心对称图形，故D错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．

二、填空题

1、6

【分析】

根据多边形内角和公式（n-2）×180°及多边形外角和始终为360°可列出方程求解问题．

【详解】

解：由题意得：

（n-2）×180°=360°×2，

解得：n=6；

故答案为6．

【点睛】

本题主要考查多边形内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和公式及外角和是解题的关键．

2、

【分析】

根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠OCD=∠ODB=45°，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得∠COD=90°，OC=OD，然后根据同角的余角相等求出∠COA=∠DOB，再利用“ASA”证明△COA和△DOB全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得OA⊥CD时，OA最小，然后求出OA，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答．

【详解】

解：如图，

∵四边形CDEF是正方形，

，

，

，

在与中，

，

，

∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得： ,

要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD=OF，
∴CA=DA，
∴OA=,

∴AB=．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，熟记各性质并求出三角形全等，然后求出△AOB是等腰直角三角形是解题的关键．

3、（9，4）、（-3，4）、（3，-4）

【分析】

根据平行四边形的性质得出AD=BO=6，AD∥BO，根据平行线得出A和D的纵坐标相等，根据B的横坐标和BO的值即可求出D的横坐标．

【详解】

∵平行四边形ABCD的顶点A、B、O的坐标分别为（3，4）、（6，0）、（0，0），

∴AD=BO=6，AD∥BO，

∴D的横坐标是3+6=9，纵坐标是4，

即D的坐标是（9，4），

同理可得出D的坐标还有（-3，4）、（3，-4）．

故答案为：（9，4）、（-3，4）、（3，-4）．

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质，注意：平行四边形的对边平行且相等．

4、

【分析】

先根据矩形的性质证明△ABC是等边三角形，得到，则，然后根据勾股定理求出，最后根据矩形面积公式求解即可．

【详解】

：如图所示，在矩形ABCD中，∠AOB=60°，，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，，

∴△ABC是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握矩形的性质．

5、①②③④

【分析】

①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD为等边三角形，再由△DFE为等边三角形，得∠DOA＝∠DEF＝60°，再利用角的等量代换，即可得出结论①正确；

②连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；

③通过等量代换即可得出结论③正确；

④延长OE至，使＝OD，连接，通过△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段运动到，从而得出结论④正确；

【详解】

解：①设与的交点为如图所示：

∵∠DAC＝60°，OD＝OA，

∴△OAD为等边三角形，

∴∠DOA＝∠DAO＝∠ADO =60°，

∵△DFE为等边三角形，

∴∠DEF＝60°，

∴∠DOA＝∠DEF＝60°，

∴，

∴

故结论①正确；

②如图，连接OE，

在△DAF和△DOE中，

，

∴△DAF≌△DOE（SAS），

∴∠DOE＝∠DAF＝60°，

∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，

∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，

∴∠COE＝∠DOE，

在△ODE和△OCE中，

，

∴△ODE≌△OCE（SAS），

∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，

故结论②正确；

③∵∠ODE＝∠ADF，

∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，

故结论③正确；

④如图，延长OE至，使＝OD，连接，

∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，

∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段运动到，

∵

∴

设，则

∴在中，

即

解得：

∴＝OD＝AD＝，

∴点E运动的路程是，

故结论④正确；

故答案为：①②③④．

【点睛】

本题主要考查了几何综合，其中涉及到了等边三角形判定及性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的性质及判定，三角函数的比值关系，矩形的性质等知识点，熟悉掌握几何图形的性质合理做出辅助线是解题的关键．

三、解答题

1、4

【分析】

分别过点E、C作EH、CG垂直AB,垂足为点H、G,则CG是斜边AB上的高；在菱形ABEF中， 利用平行线的性质不难得到CG=EH;菱形的对角相等，四条边相等，联系含30°角的直角三角形的性质求出EH,问题即可解答。

【详解】

解：如图，分别过作垂足为点

四边形ABEF为菱形，

，，

，

在中， ，

根据题意，，根据平行线间的距离处处相等，

.

答：的面积为４.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，平行线间的距离及三角形面积的计算，正确利用菱形的四边相等及直角三角形中，30角所对直角边是斜边的一半是解题的关键．

2、（1）见祥解；（2）AB=DC=DE=DF=CF，证明见详解．

【分析】

（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD即（AB∥ED），AB=CD，根据，可证四边形ABDE为平行四边形，得出AB=DE即可；

（2）根据EF⊥BF，CD=ED，根据直角三角形斜边中线可得DF=CD=ED，再证△DCF为等边三角形即可．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD即（AB∥ED），AB=CD，

∵，

∴四边形ABDE为平行四边形，

∴AB=DE，

∴CD=ED，

∴点D为CE中点；

（2）结论为：AB=DC=DE=DF=CF，

∵EF⊥BF，CD=ED，

∴DF=CD=ED，

∵AB∥CD，∠ABC=60°，

∴∠DCF=∠ABC=60°，

∴△DCF为等边三角形，

∴CF=CD=DF=AB=ED．

【点睛】

本题考查平行四边形的判定与性质，线段中点判定，直角三角形斜边中线性质，等边三角形判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质，线段中点判定，直角三角形斜边中线性质，等边三角形判定与性质是解题关键．

3、（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）先证明再证明可得从而有 于是可得结论；

（2）先证明再证明，从而可得结论.

【详解】

证明：（1） 四边形ABCD是平行四边形，

，

四边形BEDF是平行四边形.

（2）由（1）得：

四边形BEDF是平行四边形, 四边形ABCD是平行四边形，

，

【点睛】

本题考查的是平行四边形的判定与性质，熟练的运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是证明的关键，第（2）问先确定面积为平行四边形ABCD的的三角形是解题的关键.

4、（1）见解析；（2）

【分析】

（1）根据矩形的性质得到，由垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；

（2）由已知条件得到，由，即可得到：的值．

【详解】

（1）∵四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在与中，

，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

5、（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【分析】

（1）根据平行四边形的性质得到，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可；

（2）由（1）得的结论得四边形ABEC是平行四边形，再通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，可得结论．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，AB=CD，

∵CE=DC，

∴AB=EC，，

∴四边形ABEC是平行四边形；

（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，

∴FA=FE，FB=FC．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠D．

又∵∠AFC=2∠ADC，

∴∠AFC=2∠ABC．

∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，

∴∠ABC=∠BAF，

∴FA=FB，

∴FA=FE=FB=FC，

∴AE=BC，

∴四边形ABEC是矩形．

【点睛】

本题考查的是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形，再通过角的关系证矩形．