初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十二章 实数综合与测试同步训练题

沪教版（上海）七年级数学第二学期第十二章实数专题测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若，那么（    ）

A．1 B．-1 C．-3 D．-5

2、一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几何体的最大高度是（    ）

A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm

3、下列语句正确的是（　　）

A．8的立方根是2 B．﹣3是27的立方根

C．的立方根是± D．（﹣1）2的立方根是﹣1

4、a为有理数，定义运算符号▽：当a＞－2时，▽a＝－a；当a＜－2时，▽a＝ a；当a＝－2时，▽a＝ 0．根据这种运算，则▽[4＋▽（2－5）]的值为（　　）

A． B．7 C． D．1

5、下列各数中，最小的数是（    ）

A．0 B． C． D．﹣3

6、4的平方根是（　　）

A．2 B．﹣2 C．±2 D．没有平方根

7、一个正方体的体积是5m3，则这个正方体的棱长是（　　）

A．m B．m C．25m D．125m

8、在3.14，，，，，，，中，无理数有（      ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9、下列等式正确的是（    ）．

A． B． C． D．

10、规定一种新运算：，如．则的值是（    ）．

A． B． C．6 D．8

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在实数范围内分解因式：a2﹣3b2＝_____．

2、的整数部分是_____________．

3、计算：__________．

4、10-3的立方根是_______．

5、按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，3-4，37，3﹣11，318，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是______．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、计算 

2、（1）计算

（2）计算

（3）解方程

（4）解方程组

3、计算：

（1）；

（2）﹣16÷（﹣2）2．

4、计算：

（1）

（2）

5、阅读下列材料：

∵，

∴，

∴的整数部分为3，小数部分为．

请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果的整数部分为，的小数部分为，求的值．

6、如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．

（1）a＝　   　，b＝　   　；

（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x　   　时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 　   　；

（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？

7、计算

（1）

（2）

8、将下列各数填入相应的横线上：

整数：{        …}

有理数： {        …}

无理数： {        …}

负实数： {        …}．

9、已知一个正数x的平方根是a+3和2a-15，求a和x的值

10、计算：．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

由非负数之和为，可得且，解方程求得，，代入问题得解．

【详解】

解： ，

且，

解得，，

，

故选：D

【点睛】

本题考查了代数式的值，正确理解绝对值及算数平方根的非负性是解答本题的关键．

2、D

【分析】

由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长，再由三视图可知，最高处有四个小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm．

【详解】

解：∵每个小立方体的体积为216cm3，

∴小立方体的棱长，

由三视图可知，最高处有四个小立方体，

∴该几何体的最大高度是4×6=24cm，

故选D．

【点睛】

本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长．

3、A

【分析】

利用立方根的运算法则，进行判断分析即可．

【详解】

解：A、8的立方根是2，故A正确．

B、3是27的立方根，故B错误．

C、的立方根是，故C错误．

D、（﹣1）2的立方根是1，故D错误．

故选：A．

【点睛】

本题主要是考查了立方根的运算，注意一个数的立方根只有一个，不是以相反数形式存在的．

4、A

【分析】

定义运算符号▽：当a＞－2时，▽a＝－a；当a＜－2时，▽a＝ a；当a＝－2时，▽a＝ 0．先判断a的大小，然后按照题中的运算法则求解即可．

【详解】

解：且当时，▽a=a，

▽(-3)=-3，

4+▽（2-5）=4-3=1>-2，

当a>-2时，▽a=-a，

▽［4+▽（2-5）］=▽1=-1，

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

5、C

【分析】

有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．

【详解】

解：，

所给的各数中，最小的数是．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了有理数大小比较的方法，解题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．

6、C

【分析】

根据平方根的定义（如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根）和性质（一个正数有两个实平方根，它们互为相反数）直接得出即可．

【详解】

解：4的平方根，

即：，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查平方根的定义和性质，熟练掌握其性质及求法是解题关键．

7、B

【分析】

根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答．

【详解】

解：××＝5（立方米），

答：这个正方体的棱长是米，

故选：B．

【点睛】

此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．

8、C

【分析】

分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．

【详解】

解：3.14是有理数，是无理数，是无理数，是有理数，是有理数，是无理数，是有理数，是有理数；

∴无理数有三个，

故选C．

【点睛】

此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．

9、由不等式的性质可知：5-2＜−2＜6-2，即3＜−2＜

故选：C．

【点睛】

本题主要考查的是估算无理数的大小，明确被开方数越大对应的算术平方根也越大是解题的关键．

4．C

【分析】

分别利用平方根和算术平方根以及立方根得出各选项是否正确即可．

【详解】

解：A、，故此选项错误；

B、，故此选项错误；

C、由B得此选项正确；

D、，故此选项错误．

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了立方根、平方根、算术平方根等知识，正确把握各定义是解题关键．

10、C

【分析】

根据新定义计算法则把转化为常规下运算得出，然后按有理数运算法则计算即可．

【详解】

解：∵，

∴．

故选择C．

【点睛】

本题考查新定义运算，掌握新定义运算的要点，含乘方的有理数混合运算是解题关键．

二、填空题

1、（a+）（a﹣）a﹣）（a+）

【分析】

根据平方差公式因式分解，运用2次，注意分解要彻底

【详解】

a2﹣3b2

＝a2﹣（）2

＝（a+）（a﹣）．

【点睛】

本题考查了根据平方差公式因式分解，实数，解题的关键是注意在实数范围内分解要彻底．

2、3

【分析】

先估算的近似值，然后进行计算即可．

【详解】

解：，

的整数部分是3，

故答案为3．

【点睛】

本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是熟练掌握求一个数的平方．

3、2

【分析】

直接利用立方根、绝对值化简得出答案．

【详解】

解：原式．

故答案为：2．

【点睛】

本题主要考查了实数的运算，解题的关键是正确化简．

4、0.1

【分析】

先化简10﹣3＝0.001，根据立方根的定义即可解答．

【详解】

解：10﹣3＝0.001，0.001的立方根为0.1，

故答案为：0.1．

【点睛】

本题考查了立方根，解题的关键是掌握会求一个数的立方根．

5、bc=a

【分析】

首先判断出这列数中，3的指数各项依次为 1，2，﹣1，3，﹣4，7，﹣11，18…，从第三个数起，前两数相除等于第三个数，可得这列数中的连续三个数，满足a÷b＝c，据此解答即可．

【详解】

∵3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，

，，，，，，…，

∴a，b，c满足的关系式是a÷b＝c，即bc=a．

故答案为：bc=a．

【点睛】

此题考查了实数的规律问题，同底数幂的除法运算，负整数指数幂等知识，解题的关键是正确分析出题目中指数之间的规律．

三、解答题

1、

【分析】

直接根据有理数的乘方，算术平方根，立方根以及绝对值的性质化简各项，再进行加减运算得出答案．

【详解】

解：

=

=

【点睛】

本题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．

2、（1）；（2）；（3）或；（4）．

【分析】

（1）先计算算术平方根与立方根，再计算加减法即可得；

（2）先化简绝对值，再计算实数的加减法即可得；

（3）利用平方根解方程即可得；

（4）利用加减消元法解二元一次方程组即可得．

【详解】

解：（1）原式

；

（2）原式

；

（3），

，

，

或；

（4），

由②①得：，

解得，

将代入①得：，

解得，

故方程组的解为．

【点睛】

本题考查了算术平方根与立方根、实数的加减、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握各运算法则和方程组的解法是解题关键．

3、（1）（2）

【分析】

（1）根据有理数的混合运算进行计算即可；

（2）先根据求一个数的立方根求得为，进而根据有理数的混合运算进行计算即可

【详解】

（1）原式

（2）原式

【点睛】

本题考查了求一个数的立方根，有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键．

4、（1）5；（2）

【分析】

（1）分别求解算术平方根与立方根，再进行加减运算即可；

（2）按照多项式除以单项式的法则：把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，从而可得答案.

【详解】

解：（1）

（2）

【点睛】

本题考查的是求解一个数的算术平方根与立方根，多项式除以单项式，掌握基础运算是解本题的关键.

5、a+b的值为25+．

【分析】

由9π≈28.26，可得其整数部分a=28，由27＜28＜64，可求得的小数部分，继而可得a+b的值．

【详解】

解：∵9π≈28.26，

∴a=28，

∵27＜28＜64，

∴，

∴3＜＜4，

∴b=-3，

∴a+b=28+-3=25+，

∴a+b的值为25+．

【点睛】

本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出a，b的值是解答此题的关键．

6、（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒．

【分析】

（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；

（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值；

（3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可．

【详解】

解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，

∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，

∴a＝﹣3，b＝9，

故答案为：﹣3，9．

（2）∵a＝﹣3，b＝9，

∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，

当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；

当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，

∵﹣12≤2x﹣6＜12，

∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；

当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，

综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12，

故答案为：≥9，12．

（3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9，

∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8，

当点Q与点C重合时，则2t＝8，

解得t＝4，

当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t，

根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，

解得t＝；

当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t，

∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，

∴点Q表示的数是2t﹣7，

根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），

解得t＝，

综上所述，第秒或第秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍．

【点睛】

本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．

7、

（1）-2

（2）1

【分析】

（1）先分别计算开平方和开立方，再进行有理数的加、减混合计算即可；

（2）先去绝对值，去括号，再进行实数的加、减混合计算即可；

（1）

解：

；

（2）

解：

．

【点睛】

本题考查实数的混合运算．掌握运算方法与运算顺序是解出本题的关键．

8、；；，-3.030030003…，π；-3.030030003…，；

【分析】

有理数与无理数统称实数，整数与分数统称有理数，按照无理数、有理数的定义及实数的分类标准进行分类即可.

【详解】

整数：{ }

有理数：{ }

无理数：{，-3.030 030 003…，π…}；

负实数：{-3.030 030 003…，  …}；

【点睛】

本题考查的是实数的概念与分类，掌握“实数的分类与概念”是解本题的关键.

9、4，49

【分析】

根据一个正数有2个平方根，它们互为相反数，再列方程，解方程即可得到答案.

【详解】

解：∵正数有2个平方根，它们互为相反数，

∴，

解得，

所以．

【点睛】

本题考查的是平方根的含义，掌握“一个正数有两个平方根且两个平方根互为相反数”是解本题的关键.

10、1

【分析】

根据平方根与立方根可直接进行求解．

【详解】

解：原式．

【点睛】

本题主要考查平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根是解题的关键．