初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十二章 实数综合与测试同步练习题

沪教版（上海）七年级数学第二学期第十二章实数专题测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列说法：①-27的立方根是3；②36的算数平方根是；③的立方根是；④的平方根是．其中正确说法的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2、以下正方形的边长是无理数的是（    ）

A．面积为9的正方形 B．面积为49的正方形

C．面积为8的正方形 D．面积为25的正方形

3、若一个数的算术平方根与它的立方根的值相同，则这个数是（　 　）

A．1 B．0和1 C．0 D．非负数

4、的算术平方根是（    ）

A．2 B． C． D．

5、3的算术平方根是（    ）

A．±3 B． C．－3 D．3

6、实数2，0，﹣3，﹣中，最小的数是（　　）

A．﹣3 B．﹣ C．2 D．0

7、下列各数是无理数的是（    ）

A．－3 B． C．2.121121112 D．

8、下列各组数中相等的是（    ）

A．和3.14 B．25%和 C．和0.625 D．13.2%和1.32

9、在0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），，，中，无理数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10、10的算术平方根是（    ）

A．10 B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、与最接近的整数为______．

2、用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2＋2a，则3*（－2）＝_____________．

3、比较大小：____＋1．（填“＞”、“＜”或“＝”）．

4、若定义新的运算符号“*”为a*b=，则(*)*2=________．

5、立方等于-27的数是__________.

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、计算：（π-4）0+｜-6｜-+

2、求下列各式中的x：

（1）；

（2）．

3、观察下列等式：

第1个等式：12＝13；

第2个等式：(1+2)2＝13+23；

第3个等式：(1+2+3)2＝13+23+33；

第4个等式：(1+2+3+4)2＝13+23+33+43；

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：__________________；

（2）写出第n（n为正整数）个等式：__________________（用含n的等式表示）；

（3）利用上述规律求值：．

4、求下列各数的平方根：

(1)121            (2)            (3)(-13)2                 (4)

5、求下列各式中的值：

（1）；                        （2）．

6、如图，数轴的原点为O，点A、B、C是数轴上的三点，点B对应的数是1，AB＝6，BC＝2，动点P、Q同时分别从A、C出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）点A表示的数为 　   　，点C表示的数为 　   　；

（2）求t为何值时，点P与点Q能够重合？

（3）是否存在某一时刻t，使点O平分线段PQ且点P与点Q在原点的异侧？若存在，请求出满足条件的t值．若不存在，请说明理由．

7、如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：

（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；

（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值．

8、求下列各式的值：

（1）

（2）

（3）

9、如图将边长为2cm的小正方形与边长为xcm的大正方形放在一起．

（1）用xcm表示图中空白部分的面积；

（2）当x＝5cm时空白部分面积为多少？

（3）如果大正方形的面积恰好比小正方形的面积大165cm2，那么大正方形的边长应该是多少？

10、若一个四位自然数满足千位数字比十位数字大3，百位数字比个位数字大3，我们称这个数为“多多数”．将一个“多多数”各个数位上的数字倒序排列可得到一个新的四位数，记．

例如：，∴，则

（1）判断7643和4631是否为“多多数”？请说明理由；

（2）若为一个能被13整除的“多多数”，且，求满足条件的“多多数”．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

分别进行立方根运算、算术平方根运算、平方根运算逐个判断即可．

【详解】

解：①－27的立方根是－3，错误；

②36的算数平方根是6，错误；

③的立方根是，正确；

④的平方根是，错误，

∴正确的说法有1个，

故选：A．

【点睛】

本题考查立方根、算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根和平方根的区别是解答的关键．

2、C

【分析】

理解无理数的分类：无限不循环小数或开方不能开尽的数，求出正方形边长由此判断即可得出．

【详解】

解：A、面积为9的正方形的边长为3，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

B、面积为49的正方形的边长为7，是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

C、面积为8的正方形的边长为，是无理数，故本选项符合题意；

D、面积为25的正方形的边长为5，是整数，属于有理数，故本选项不合题意．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了无理数的分类，准确掌握无理数的分类是解题关键．

3、B

【分析】

根据立方根和算术平方根的性质可知，立方根等于它本身的实数0、1或-1，算术平方根等于它本身的实数是0或1，由此即可解决问题．

【详解】

解：∵立方根等于它本身的实数0、1或−1，算术平方根等于它本身的数是0和1，

∴一个数的算术平方根与它的立方根的值相同的是0和1，

故选B．

【点睛】

主要考查了立方根，算术平方根的性质．牢牢掌握立方根和算术平方根等于它本身的实数是解答本题的关键点．

4、A

【分析】

根据算术平方根的定义即可求出结果．

【详解】

解：=4，4的算术平方根是2．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了算术平方根的定义．一个正数的算术平方根就是其正的平方根．

5、B

【分析】

根据算术平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．

【详解】

解：3的算术平方根是

故选B

【点睛】

本题考查了算术平方根的定义，掌握定义是解题的关键．

6、A

【分析】

根据实数的性质即可判断大小．

【详解】

解：∵﹣3＜﹣＜0＜2

故选A．

【点睛】

此题主要考查实数的大小比较，解题的关键是熟知实数的性质．

7、D

【分析】

根据无理数的定义：无限不循环小数统称为无理数，判断上面四个数是否为无理数即可．

【详解】

A、-3是整数，属于有理数．

B、是分数，属于有理数．

C、2.121121112是有限小数，属于有理数．

D、是无限不循环小数，属于无理数．

故选：D．

【点睛】

本题主要是考察无理数的概念，初中数学中常见的无理数主要是：，等；开方开不尽的数；以及像1.12112111211112…，等有规律的数．

8、B

【分析】

是一个无限不循环小数，约等于3.142，3.142＞3.14，即＞3.14；＝1÷4＝0.25，把0.25的小数点向右移动两位添上百分号就是25%；即25%＝；＝3÷8＝0.375，0.375＜0.625，即＜0.625；把13.2%小数点向左移动两位去掉百分号就是0.132，0.132＜1.32，即13.2%＜1.32．

【详解】

解：A 、≈3.142，3.142＞3.14，即＞3.14；

B 、＝1÷4＝0.25＝25%＝；

C 、＝3÷8＝0.375，0.375＜0.625，即＜0.625；

D 、13.2%＝0.132，0.132＜1.32，即13.2%＜1.32．

故选：B．

【点睛】

此题主要是考查小数、分数、百分数的互化及圆周率的限值．小数、分数、百分数、无限小数（循环小数）的大小比较，通常都化成保留一定位数的小数，再根据小数的大小比较方法进行比较，这样可以省去通分的麻烦．

9、B

【分析】

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【详解】

解：0.1010010001…（相邻两个1之间依次多一个0），是无限不循环小数，是无理数；

是有理数；

是有理数；

是无理数；

∴无理数有2个，

故选B．

【点睛】

本题主要考查了无理数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握有理数和无理数的定义．

10、B

【分析】

直接利用算术平方根的求法即可求解．

【详解】

解：的算术平方根是，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握求解的运算法则．

二、填空题

1、

【分析】

先判断再根据从而可得答案.

【详解】

解：

而

更接近的整数是

故答案为：5

【点睛】

本题考查的无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键.

2、18

【分析】

根据a*b＝ab2＋2a，可得：3*（−2）＝3×（−2）2＋2×3，据此求出算式的值是多少即可．

【详解】

解：∵a*b＝ab2＋2a，

∴3*（−2），

＝3×（−2）2＋2×3，

＝3×4＋6，

＝12＋6，

＝18．

故答案为：18．

【点睛】

此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

3、＜

【分析】

根据1＜＜2、1＜＜2解答即可．

【详解】

解：∵1＜＜2，1＜＜2，

∴2＜+1＜3，

∴＜+1，

故答案为：＜．

【点睛】

本题考查无理数的估算、实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算是解答的关键．

4、##

【分析】

根据新定义的运算，先算括号、再算括号外即可．

【详解】

解：(*)*2= ．

故答案是．

【点睛】

本题考查了有理数的四则混合运算、新定义运算等知识点，理解新定义运算的运算法则是解答本题的关键．

5、-3

【分析】

根据立方根的定义解答即可．

【详解】

解：∵（-3）3=-27，

∴立方等于-27的数是-3．

故答案为-3．

【点睛】

本题考查了有理数的乘方，熟悉乘方和立方根的定义是解题的关键．

三、解答题

1、9

【分析】

根据零指数幂，绝对值，负整数指数幂的性质和算术平方根分别计算，再将结果相加即可求解．

【详解】

解：原式

【点睛】

本题考查了零指数幂，绝对值，负整数指数幂的性质以及求一个数的算术平方根，熟练掌握这些性质，准确计算是解题关键．

2、

（1）或

（2）

【分析】

（1）根据平方根定义开方，求出两个方程的解即可；

（2）先移项，再根据立方根定义得出一个一元一次方程，求出方程的解即可．

（1）

开平方得，

∴

解得，或

（2）

移项得，

方程两边同除以8，得，

开立方，得，

【点睛】

本题考查了平方根和立方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．

3、

（1）（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；

（2）（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3；

（3）265

【分析】

（1）根据前几个等式的变化规律解答即可；

（2）根据前几个等式的变化规律写出第n个等式即可；

（3）根据变化规律和平方差公式进行计算即可．

（1）

解：根据题意，第5个等式为（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53，

故答案为：（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；

（2）

解：根据题意，第n个等式为（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3，

故答案为：（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3；

（3）

解：由（2）中（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3知，

（1+2+3+4+5+…+20）2＝13+23+33+43+53+…+203①，

（1+2+3+4+5+…+10）2＝13+23+33+43+53+…+103②，

①－②得：

（1+2+3+4+5+…+20+1+2+3+4+5+…+10）×（11+12+13+…+20）=113+123+133+…+203，

∴

=（1+2+3+4+5+…+20+1+2+3+4+5+…+10）

=265．

【点睛】

本题考查数字类规律探究、平方差公式、与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键．

4、 (1)±11； (2) ； (3)±13； (4)±8

【分析】

（1）直接根据平方根的定义求解；

（2）把带分数化成假分数，再根据平方根的定义求解；

（3）（4）先化简，再根据平方根的定义求解．

【详解】

含有乘方运算先求出它的幂，再开平方．

（1）因为(±11)2=121，所以121的平方根是±11；

（2），因为， 所以的平方根是；

（3）(-13)2=169，因为(±13)2=169，所以(-13)2的平方根是±13；

（4）-(-4)3=64，因为(±8)2=64，所以-(-4)3的平方根是±8．

【点睛】

本题考查了平方根，开方运算是解题关键，注意正数的平方根有两个，它们互为相反数．

5、（1）；（2）

【分析】

（1）把原方程化为，再利用立方根的含义解方程即可；

（2）直接利用平方根的含义把原方程化为或，再解两个一次方程即可.

【详解】

解：（1）

解得：

（2）

或

解得：

【点睛】

本题考查的是利用立方根的含义与平方根的含义解方程，掌握“立方根与平方根的含义”是解本题的关键.

6、（1）-5，3；（2）t=4；（3）存在，t=，理由见解析．

【分析】

（1）由点B对应的数及线段AB、BC的长，可找出点A、C对应的数；

（2）根据点P、Q的出发点、速度及方向，由追击的等量关系列出含t的方程，解方程即可；

（3）由题意得OP=OQ，据此列一元一次方程，解此方程即可．

【详解】

解：（1）1-6=-5，1+2=3

即点A表示的数为 -5，点C表示的数为3，

故答案为：-5，3；

（2）若点P与点Q能够重合，则AP-CQ=AC，

即3t-t=8

2t=8

t=4

答：当t=4时，点P与点Q能够重合．

（3）存在，理由如下：

若点O为PQ中点，且点P与点Q在原点的异侧,即OP=OQ

5-3t=3+t

4t=2

t=

答：当t=时，点O平分线段PQ且点P与点Q在原点的异侧．

【点睛】

本题考查一元一次方程的应用、数轴等知识，难度一般，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

7、（1）或；（2）9

【分析】

（1）由大正方形的边长为可得面积，由大正方形由两个小正方形与两个长方形组成，可利用面积和表示大正方形的面积，从而可得答案；

（2）由（1）可得：再把a2+b2＝57，ab＝12，利用平方根的含义解方程即可.

【详解】

解：（1） 大正方形的边长为

大正方形由两个小正方形与两个长方形组成，

（2）由（1）得：

a2+b2＝57，ab＝12，

则

【点睛】

本题考查的是完全平方公式的几何背景，利用平方根的含义解方程，掌握“完全平方公式在几何图形中的应用”是解本题的关键.

8、（1）6；（2）；（3）

【分析】

利用立方与开立方互为逆运算进行化简求值．

【详解】

解：（1）

（2）

（3）．

【点睛】

本题考查了立方与立方根．解题的关键在于正确计算开方、立方与开立方的运算．

9、（1）；（2）；（3）13cm

【分析】

（1）空白部分面积=小正方形的面积+大正方形的面积-阴影部分两个三角形的面积，据此可得代数式；

（2）将x=5代入计算可得；

（3）根据题意列出方程求解即可．

【详解】

解：（1）空白部分面积为；

（2）当x＝5时，空白部分面积为．

（3）根据题意得，，

解得x＝13或-13（舍去），

所以，大正方形的边长为13cm

【点睛】

此题考查列代数式问题，解题的关键是根据图形得出计算空白部分面积的关系式．

10、

（1）7643是“多多数”， 4631不是“多多数”，

（2）5421或6734

【分析】

（1）根据新定义，即可判断；

（2）设A的个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为x+3，千位数字为y+3，根据新定义，分别表示出A、F（A），根据为一个能被13整除的“多多数”，且，，列出关系式，进而求解．

（1）

在7643中，7-4=3，6-3=3，

∴7643是“多多数”，

在4631中，3-3=1，6-1=5，

∴4631不是“多多数”，

（2）

设A的个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为x+3，千位数字为y+3，

∴A表示的数为

∴

∴

∵

∴

∴

∵个位数字为x，十位数字为y，则百位数字为x+3，千位数字为y+3，

∴，解得

∴x、y的范围为，且x、y为整数

∵若为一个能被13整除的“多多数”，

∴

当时，，，

y的值可以为0、1、2、3、4、5、6，分别代入后结果是13的倍数的是

同理，当时，，，没有符合条件的y；

当时，，，没有符合条件的y；

当时，，，符合条件的；

当时，，，没有符合条件的y；

当时，，，没有符合条件的y；

综上符合条件的是、

当时A为5421，

当时A为6734

综上足条件的“多多数”为5421或6734．

【点睛】

本题考查整式运算的应用、解不等式，是一道新定义题目，解题的关键是能够根据定义列出关系式并确定个位和十位数的取值范围，进而求解．