初中数学第十五章 四边形综合与测试同步训练题

京改版八年级数学下册第十五章四边形同步测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（    ）

A．A，B，C都不在 B．只有B

C．只有A，C D．A，B，C

2、如图菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝8，AC＝6，则AB的长是（    ）

A．5 B．6 C．8 D．10

3、下列图形中不是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4、如果一个多边形的外角和等于其内角和的2倍，那么这个多边形是（    ）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

5、如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（　　）

A．7 B． C．8 D．9

6、下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（    ）．

A．1，1，2， B．1，1，1 C．1，2，2 D．1，1，6

7、古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C．  D．

8、在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使其与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）

A． B． C． D．

9、如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中的度数是（    ）

A．180° B．220° C．240° D．260°

10、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（   ）

A． B． 

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若一个n边形的每个内角都等于135°，则该n边形的边数是____________．

2、如图，以矩形的对角线为直径画圆，点、在该圆上，再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．若，．则图中影部分的面积和为 __（结果保留根号和．

3、如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，E为BC边上一动点，F、G为AD边上两个动点，且∠FEG＝30°，则线段FG的长度最大值为 _____．

4、菱形ABCD的周长为，对角线AC和BD相交于点O，AO：BO=1：2，则菱形ABCD的面积为________．

5、若点P（m，﹣2）与Q（﹣4，2）关于原点对称，则m＝_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．请写出∠ECB和∠ACB的数量关系，并说明理由．

2、如图，矩形ABCD中，，，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

3、（探究发现）

（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是　   　．

（类比应用）

（2）如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．

（拓展延伸）

（3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长．

4、（1）如图1，∠ADC=120°，∠BCD=140°，∠DAB和∠CBE的平分线交于点，则∠AFB的度数是            ；

（2）如图2，若∠ADC=，∠BCD=，且，∠DAB和∠CBE的平分线交于点，则∠AFB=　         　（用含，的代数式表示）；

（3）如图3，∠ADC=，∠BCD=，当∠DAB和∠CBE的平分线AG,BH平行时，,应该满足怎样的数量关系？请说明理由；

（4）如果将（2）中的条件改为，再分别作∠DAB和∠CBE的平分线，∠AFB与，满足怎样的数量关系？请画出图形并直接写出结论．

5、如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN＝1．

（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；

（2）求△BMN面积的最小值．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据三角形边长然后利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，由直角三角形斜边上的中线性质即可得．

【详解】

解：如图所示：连接BD，

∵，，，

∴，

∴为直角三角形，

∵D为AC中点，

∴，

∵覆盖半径为300 ，

∴A、B、C三个点都被覆盖，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，综合运用两个定理是解题关键．

2、A

【分析】

由菱形的性质可得OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，由勾股定理求出AB．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，

∴OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：，

故选：A．

【点睛】

本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．

3、B

【分析】

根据中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

4、A

【分析】

多边形的外角和是360度，多边形的外角和是内角和的2倍，则多边形的内角和是180度，则这个多边形一定是三角形．

【详解】

解：多边形的外角和是360度，

又多边形的外角和是内角和的2倍，

多边形的内角和是180度，

这个多边形是三角形．

故选：A．

【点睛】

考查了多边形的外角和定理，解题的关键是掌握多边形的外角和定理．

5、C

【分析】

根据直角三角形的性质求出DE，由EF=1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．

【详解】

解：∵∠AEB＝90，D是边AB的中点，AB＝6，

∴DE＝AB＝3，

∵EF＝1，

∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．

∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，

∴DF是ABC的中位线，

∴AC＝2DF＝8．

故选：C．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长是解题的关键．

6、C

【分析】

将每个选项中的四条线段进行比较，任意三条线段的和都需大于另一条线段的长度，由此可组成四边形，据此解答．

【详解】

解：A、因为1+1+2=4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；

B、因为1+1+1<4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；

C、因为1+2+2>4，所以能构成四边形，故该项符合题意；

D、因为1+1+4=6，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题考查了多边形的构成特点：任意几条边的和大于另一条边长，正确理解多边形的构成特点是解题的关键．

7、C

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

8、B

【分析】

利用中心对称图形的定义判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义可知，②满足条件．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，明确将一个图形绕一点旋转180°后与本身重合的图形叫做中心对称图形是解题的关键．

9、C

【分析】

根据四边形内角和为360°及等边三角形的性质可直接进行求解．

【详解】

解：由题意得：等边三角形的三个内角都为60°，四边形内角和为360°，

∴；

故选C．

【点睛】

本题主要考查多边形内角和及等边三角形的性质，熟练掌握多边形内角和及等边三角形的性质是解题的关键．

10、C

【分析】

利用中心对称图形的定义：旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故A错误．

B、不是中心对称图形，故B错误．

C、是中心对称图形，故C正确．

D、不是中心对称图形，故D错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．

二、填空题

1、8

【分析】

根据题意求得多边形的外角，根据360度除以多边形的外角即可求得n边形的边数

【详解】

解：∵一个n边形的每个内角都等于135°，

∴则这个n边形的每个外角等于

该n边形的边数是

故答案为：

【点睛】

本题考查了多边形的内角与外角的关系，求得多边形的外角是解题的关键．

2、

【分析】

设的中点为，连接，先求出，，则，，然后求出，最后根据求解即可．

【详解】

解：设的中点为，连接，

，四边形ABCD是矩形，

，∠ABC=90°，

又∵∠CAB=30°，

∴，

∴，

∴，

，

，

，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，扇形面积公式，解题的关键在于能够根据题意得到．

3、

【分析】

如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形，故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大，则由矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2可知，∠ABD=60°，故∠ABF=60°-30°=30°，则AF=，则FG=AD-AF=．

【详解】

如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形

故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大

∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2

∴∠ABD=60°

∴∠ABF=60°-30°=30°

∴AF=

∴FG=AD-AF=．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了四边形中动点问题，图解法数学思想依据是数形结合思想． 它的应用能使复杂问题简单化、 抽象问题具体化． 特殊四边形的几何问题， 很多困难源于问题中的可动点． 如何合理运用各动点之间的关系，同学们往往缺乏思路， 常常导致思维混乱．实际上求解特殊四边形的动点问题，关键是是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式， 确定运动变化过程中的数量关系， 图形位置关系， 分类画出符合题设条件的图形进行讨论， 就能找到解决的途径， 有效避免思维混乱．

4、4

【分析】

根据菱形的性质求得边长，根据AO：BO=1：2，求得对角线的长，进而根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解．

【详解】

解：如图

四边形是菱形

，

菱形ABCD的周长为，

AO：BO=1：2，

故答案为：4

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．

5、4

【分析】

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P1（-x，-y）．

【详解】

解：因为点P（m，﹣2）与Q（﹣4，2）关于原点对称，

所以m-4=0,

即m=4，

故答案为：4．

【点睛】

本题考查平面内两点关于原点对称的点，属于基础题，掌握相关知识是解题关键．

三、解答题

1、∠ACB＝3∠ECB，见解析．

【分析】

由矩形的对边平行可得∠F=∠ECB，由外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=2∠F，那么∠ECB＝∠F，所以∠ACB=3∠ECB．

【详解】

解：∠ACB=3∠ECB．

理由如下：在△AGF中，∠AGC＝∠F+∠GAF＝2∠F．

∵∠ACG＝∠AGC，

∴∠ACG＝2∠F．

∵AD//BC，

∴∠ECB＝∠F．

∴∠ACB＝∠ACG+∠BCE＝3∠F．

故∠ACB＝3∠ECB．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

2、（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）由题意知，，通过得到，证明四边形BEDF平行四边形．

（2）四边形BEDF为菱形，，；设，；在中用勾股定理，解出的长，在中用勾股定理，得到的长，由得到的值．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点

∴，

在和中

∴（ASA）

∴

∴四边形BEDF是平行四边形．

（2）解：∵四边形BEDF为菱形，

∴，

又∵，

∴，

设，则

在中，

∴

在中，

∴．

【点睛】

本题考察了平行四边形的判定，三角形全等，菱形的性质，勾股定理．解题的关键与难点在于对平行四边形的性质的灵活运用．

3、（1）AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝AB，理由见解析；（3）或

【分析】

（1）证明△BDF≌OADE，可得BF＝AE，从而证明AB＝AF+AE；

（2）取AB中点G，连接DG，利用ASA证明△GDF≌△ADE，得到GF＝AE，可得AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF；

（3）分两种情况：当点E在线段AC上时或当点E在AC延长线上时，取AC的中点H，连接DH，同理证明△ADF≌△HDE，得到AF＝HE，从而求解．

【详解】

（1）

如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠C＝45°，

∵D为BC中点，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD＝BD＝CD，

∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝90°，

∵∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝90°，

∴∠BDF＝∠ADE，

∵BD＝AD，∠B＝∠CAD＝45°，

∴△BDF≌△ADE（ASA），

∴BF＝AE，

∴AB＝AF+BF＝AF+AE；

故答案为：AB＝AF+AE；

（2）

AE+AF＝AB．理由是：

如图2，取AB中点G，连接DG，

∵点G是斜边中点，

∴DG＝AG＝BG＝AB，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，

∴∠BAD＝∠CAD＝60°，

∴∠GDA＝∠BAD＝60°，即∠GDF+∠FDA＝60°，

又∵∠FAD+∠ADE＝∠FDE＝60°，

∴∠GDF＝∠ADE，

∵DG＝AG，∠BAD＝60°，

∴△ADG为等边三角形，

∴∠AGD＝∠CAD＝60°，GD＝AD，

∴△GDF≌△ADE（ASA），

∴GF＝AE，

∴AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF，

∴AE+AF＝AB；

（3）

当点E在线段AC上时，如图3，取AC的中点H，连接DH，

当AB＝AC＝5，CE＝1，∠EDF＝60°时，

AE＝4，此时F在BA的延长线上，

同（2）可得：△ADF≌△HDE （ASA），

∴AF＝HE，

∵AH＝CH＝AC＝，CE＝1，

∴，

当点E在AC延长线上时，如图4，

同理可得：；

综上：AF的长为或．

【点睛】

本题考查三角形综合问题，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键

4、（1）40°；（2）；（3）若AG∥BH，则α+β=180°，理由见解析；（4），图见解析．

【分析】

（1）利用四边形内角和定理得到∠DAB+∠ABC=360°-120°-140°=100°．再利用三角形的外角性质得到∠F=∠FBE-∠FAB，通过计算即可求解；

（2）同（1），通过计算即可求解；

（3）由AG∥BH，推出∠GAB=∠HBE．再推出AD∥BC，再利用平行线的性质即可得到答案；

（4）利用四边形内角和定理得到∠DAB+∠ABC=360°-∠D-BCD=360°-α-β．再利用三角形的外角性质得到∠F=∠MAB-∠ABF，通过计算即可求解．

【详解】

解：（1）∵BF平分∠CBE，AF平分∠DAB，

∴∠FBE=∠CBE，∠FAB=∠DAB．

∵∠D+∠DCB+∠DAB+∠ABC=360°，

∴∠DAB+∠ABC=360°-∠D-∠DCB

=360°-120°-140°=100°．

又∵∠F+∠FAB=∠FBE，

∴∠F=∠FBE-∠FAB=∠CBE−∠DAB

= (∠CBE−∠DAB)

= (180°−∠ABC−∠DAB)

=×(180°−100°)

=40°．

故答案为：40°；

（2）由（1）得：∠AFB= (180°−∠ABC−∠DAB)，

∠DAB+∠ABC=360°-∠D-∠DCB．

∴∠AFB= (180°−360°+∠D+∠DCB)

=∠D+∠DCB−90°

=α+β−90°．

故答案为：；

（3）若AG∥BH，则α+β=180°．理由如下：

若AG∥BH，则∠GAB=∠HBE．

∵AG平分∠DAB，BH平分∠CBE，

∴∠DAB=2∠GAB，∠CBE=2∠HBE，

∴∠DAB=∠CBE，

∴AD∥BC，

∴∠DAB+∠DCB=α+β=180°；

（4）如图：

∵AM平分∠DAB，BN平分∠CBE，

∴∠BAM=∠DAB，∠NBE=∠CBE，

∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠BCD=360°，

∴∠DAB+∠ABC=360°-∠D-BCD=360°-α-β，

∴∠DAB+180°-∠CBE=360°-α-β，

∴∠DAB-∠CBE=180°-α-β，

∵∠ABF与∠NBE是对顶角，

∴∠ABF=∠NBE，

又∵∠F+∠ABF=∠MAB，

∴∠F=∠MAB-∠ABF，

∴∠F=∠DAB−∠NBE

=∠DAB−∠CBE

= (∠DAB−∠CBE)

= (180°−α−β)

=90°-α−β．

【点睛】

本题主要考查了三角形的外角性质、四边形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义．借助转化的数学思想，将未知条件转化为已知条件解题．

5、（1）见解析；（2）△BMN面积的最小值为

【分析】

（1）连接BD，证明△AMB≌△DNB，则可得BM=BN，∠MBA＝∠NBD，由菱形的性质易得∠MBN=60゜，从而可证得结论成立；

（2）过点B作BE⊥MN于点E．

【详解】

（1）证明：如图所示，连接BD，

在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，

∴∠ADB＝∠NDB＝60°，

故△ADB是等边三角形，

∴AB＝BD，

又AM+CN＝1，DN+CN＝1，

∴AM＝DN，

在△AMB和△DNB中，

，

∴△AMB≌△DNB（SAS），

∴BM＝BN，∠MBA＝∠NBD，

又∠MBA+∠DBM＝60°，

∴∠NBD+∠DBM＝60°，

即∠MBN＝60°，

∴△BMN是等边三角形；

（2）过点B作BE⊥MN于点E．

设BM＝BN＝MN＝x，

则，

故，

∴当BM⊥AD时，x最小，

此时，，

．

∴△BMN面积的最小值为．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质等知识，关键是作辅助线证三角形全等．