初中数学北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试同步练习题

这是一份初中数学北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试同步练习题，共27页。试卷主要包含了下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
京改版八年级数学下册第十五章四边形同步训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下面图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2、如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD，则四边形CDFE的面积是（　　）

A． B． C． D．54
3、下列说法中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．90′＝1.5°
C．过六边形的每一个顶点有4条对角线
D．疫情防控期间，要掌握进入校园人员的体温是否正常，可采用抽样调查
4、下列说法中正确的是（ ）
A．从一个八边形的某个顶点出发共有8条对角线
B．已知C、D为线段AB上两点，若，则
C．“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点确定一条直线”
D．用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点之间线段最短”
5、如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（ ）

A．20 B．10 C．5 D．2
6、如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（ ）

A．20º B．25º C．30º D．35º
7、如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（　　）

A．7 B． C．8 D．9
8、如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（　　）

A．2 B．4 C．4或 D．2或
9、如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是（ ）

A．1 B．1.5 C．2 D．4
10、如图，在中，，点，分别是，上的点，，，点，，分别是，，的中点，则的长为（ ）．

A．4 B．10 C．6 D．8
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，点E在BC的延长线上，则阴影部分的面积为 _____．

2、已知一个正多边形的内角和为1080°，那么从它的一个顶点出发可以引 _____条对角线．
3、在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是________．
4、如图，点O是正方形ABCD的称中心O，互相垂直的射线OM，ON分别交正方形的边AD，CD于E，F两点，连接EF；已知．
（1）以点E，O，F，D为顶点的图形的面积为________________；
（2）线段EF的最小值是_______________．

5、若点P（m，﹣2）与Q（﹣4，2）关于原点对称，则m＝_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在中，，D是边上的一点，过D作交于点E，，连接交于点F．

（1）求证：是的垂直平分线；
（2）若点D为的中点，且，求的长．
2、如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．

（1）求证：△BEF≌△CDF．
（2）连接BD，CE，若∠BFD＝2∠A，求证四边形BECD是矩形．
3、如图1，在平面直角坐标系中，且；

（1）试说明是等腰三角形；
（2）已知．写出各点的坐标：A( ， )，B( ， )，C( ， )．
（3）在（2）的条件下，若一动点M从点B出发沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．
①若的一条边与BC平行，求此时点M的坐标；
②若点E是边AC的中点，在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时点Ｍ的坐标；若不能，请说明理由．
4、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积．

5、（1）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b），其中a＝1，b＝2；
（2）如图，菱形ABCD中，AB＝AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．证明：四边形AECF是矩形．


-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则此图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，固定的点叫对称中心；理解两个概念是解答本题的关键．
2、C
【分析】
过点F作，分别交于M、N，由F是AE中点得，根据，计算即可得出答案．
【详解】

如图，过点F作，分别交于M、N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵点E是BC的中点，
∴，
∵F是AE中点，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质与三角形的面积公式，掌握是解题的关键．
3、B
【分析】
由等式的基本性质可判断A，由 可判断B，由过边形的一个顶点可作条对角线可判断C，由全面调查与抽样调查的含义可判断D，从而可得答案.
【详解】
解：若，则故A不符合题意；
90′＝故B符合题意；
过六边形的每一个顶点有3条对角线，故C不符合题意；
疫情防控期间，要掌握进入校园人员的体温是否正常，事关重大，一定采用全面调查，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是等式的基本性质，角度的换算，多边形的对角线问题，全面调查与抽样调查的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键.
4、B
【分析】
根据n边形的某个顶点出发共有（n-3）条对角线即可判断A；根据线段的和差即可判断B；根据两点之间，线段最短即可判断C；根据两点确定一条直线即可判断D．
【详解】
解：A、从一个八边形的某个顶点出发共有5条对角线，说法错误，不符合题意；
B、已知C、D为线段AB上两点，若AC=BD，则AD=BC，说法正确，符合题意；

C、“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点之间，线段最短”，说法错误，不符合题意；
D、用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点确定一条直线”，说法错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了多边形对角线问题，线段的和差，两点之间，线段最短，两点确定一条直线等等，熟知相关知识是解题的关键．
5、C
【分析】
由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长．
【详解】
解：∵在中，，AB=10，CD是AB边上的中线

故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
6、C
【分析】
依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．
【详解】
∵ADBC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．
故选：C．
【点睛】
考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．
7、C
【分析】
根据直角三角形的性质求出DE，由EF=1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．
【详解】
解：∵∠AEB＝90，D是边AB的中点，AB＝6，
∴DE＝AB＝3，
∵EF＝1，
∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．
∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，
∴DF是ABC的中位线，
∴AC＝2DF＝8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长是解题的关键．
8、D
【分析】
根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【详解】
解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴BP=AE=6cm，AP=4cm，
∴BQ=AP=4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，
∴v的值为：4÷2=2cm/s；
②当AP=BP时，△AEP≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，
∵5÷2=2.5s，
∴2.5v=6，
∴v=．
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
9、C
【分析】
取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．
【详解】
解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．

∵AC=BC=8，∠BCA=60°，
∴△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD=CG=AB=4，∠ACD=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG，
在△FCD和△ECG中，
，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF=GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG=DF=CD=BC=2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF=GE，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．
10、B
【分析】
根据三角形中位线定理得到PD=BF=6，PD∥BC，根据平行线的性质得到∠PDA=∠CBA，同理得到∠PDQ=90°，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵点P，D分别是AF，AB的中点，
∴PD=BF=6，PD//BC，
∴∠PDA=∠CBA，
同理，QD=AE=8，∠QDB=∠CAB，
∴∠PDA+∠QDB=90°，即∠PDQ=90°，
∴PQ==10，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
二、填空题
1、##
【分析】
求出的度数，利用计算即可．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和扇形面积公式，计算扇形面积时，应该先求出弧所在圆的半径以及弧所对的圆心角的度数．
2、
【分析】
设这个正多边形有条边，再建立方程 解方程求解结合从边形的一个顶点出发可以引条对角线，从而可得答案.
【详解】
解：设这个正多边形有条边，则


解得：
所以从一个正八边形的一个顶点出发可以引条对角线，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是正多边形的内角和定理的应用，正多边形的对角线问题，掌握“多边形的内角和公式为 从边形的一个顶点出发可以引条对角线”是解本题的关键.
3、（-3，-1）
【分析】
由题意直接根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反进行分析即可得出答案.
【详解】
解：在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是（-3，-1）.
故答案为：（-3，-1）.
【点睛】
本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，注意掌握平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
4、1
【分析】
（1）连接OA、OD，根据正方形的性质和全等三角形的判定证明△OAE≌△ODF，利用全等三角形的性质得出四边形EOFD的面积等于△AOD的面积即可求解；
（2）根据全等三角形的性质证得△EOF为等腰直角三角形，则EF=OE，当OE⊥AD时OE最小，则EF最小，求解此时在OE即可解答．
【详解】
解：（1）连接OA、OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，∠AOD=90°，∠EAO=∠FDO=45°，
∴∠AOE+∠DOE=90°，
∵OE⊥OF，
∴∠DOF+∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠DOF，
在△OAE和△ODF中，
，
∴△OAE≌△ODF（ASA），
∴S△OAE=S△ODF，
∴S四边形EOFD = S△ODE+S△ODF= S△ODE+S△OAE= S△AOD= S正方形ABCD，
∵AD=2，
∴S四边形EOFD= ×4=1，
故答案为：1；
（2）∵△OAE≌△ODF，
∴OE=OF，
∴△EOF为等腰直角三角形，则EF=OE，
当OE⊥AD时OE最小，即EF最小，
∵OA=OD，∠AOD=90°，
∴OE=AD=1，
∴EF的最小值，
故答案为：．

【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
5、4
【分析】
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P1（-x，-y）．
【详解】
解：因为点P（m，﹣2）与Q（﹣4，2）关于原点对称，
所以m-4=0,
即m=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查平面内两点关于原点对称的点，属于基础题，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）由BC=BD，可得∠BCD=∠BDC，再由及，可得∠ECD=∠EDC，则有EC=ED，从而可得点B、E在线段CD的垂直平分线上，从而可得结论；
（2）由D点是AB的中点及BC=BD，可得△BDC是等边三角形，从而由30度的直角三角形的性质可分别求得EC、BE，由AE=BE，即可求得AC的长．
【详解】
（1）∵BC=BD
∴∠BCD=∠BDC，点B在线段CD的垂直平分线上
∵，
∴∠BCD+∠ECD=∠EDC+∠BDC
∴∠ECD=∠EDC
∴EC=ED
∴点E在线段CD的垂直平分线上
∴BE是线段CD的垂直平分线
（2）D点是AB的中点，∠ACB=90゜
∴CD是Rt△ABC斜边上的中线
∴CD=BD
∴CD=BC=BD
∴△BDC是等边三角形
∴∠BCD=∠DBC=60゜
∴∠ECF=90゜－60゜=30゜
由（1）知，BF⊥CD
∴EC=2EF=2，
∴BE=2EC=4
∵DE⊥AB，点D为AB的中点
∴AE=BE=4
∴AC=AE+EC=4+2=6
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，直角三角形斜边上的中线的性质，30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；题目虽不难，但涉及的知识点比较多，灵活运用这些知识是解题的关键．
2、（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得ABCD且AB=CD，进而证明∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD, ASA证明△BEF≌△CDF.
（2）根据等边对等角证明FD=FC，进而证明，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明
【详解】
(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴ABCD且AB=CD.
∵BE=AB,
∴BECD且BE=CD.
∴∠BEF=∠FDC,∠FBE=∠FCD,
∴△BEF≌△CDF.
(2)∵BECD且BE=CD.
∴四边形BECD为平行四边形,
∴DF=DE,CF=BC,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠FCD=∠A,
∵∠BFD=∠FCD+∠FDC,∠BFD=2∠A,
∴∠FDC=∠FCD,
∴FD=FC.
又DF=DE,CF=BC,
∴BC=DE,
∴▱BECD是矩形.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
3、（1）见解析；（2）12，0；-8，0；0，16；（3）①当M的坐标为（2，0）或（4，0）时，△OMN的一条边与BC平行；②当M的坐标为（0，10）或（12，0）或（，0）时，，△MOE是等腰三角形．

【分析】
（1）设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论；
（2）由的面积求出m的值，从而得到、、的长，即可得到A、B、C的坐标；
（3）①分当时，；当时，；得出方程，解方程即可；
②由直角三角形的性质得出，根据题意得出为等腰三角形，有3种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）证明：设，，，则，
在中，，
，
∴是等腰三角形；
（2）∵，，
∴，
∴，，，．
∴A点坐标为（12，0），B点坐标为（-8，0），C点坐标为（0，16），
故答案为：12，0；-8，0；0，16；
（3）①如图3-1所示，
当MN∥BC时，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∴AM=BM，
∴M为AB的中点，
∵，
∴，
∴，
∴点M的坐标为（2，0）；

如图3-2所示，当ON∥BC时，
同理可得，
∴，
∴M点的坐标为（4，0）；
∴综上所述，当M的坐标为（2，0）或（4，0）时，△OMN的一条边与BC平行；

②如图3-3所示，当OM=OE时，
∵E是AC的中点，∠AOC=90°，，
∴，
∴此时M的坐标为（0，10）；

如图3-4所示，当时，
∴此时M点与A点重合，
∴M点的坐标为（12，0）；

如图3-5所示，当OM=ME时，过点E作EF⊥x轴于F，
∵OE=AE，EF⊥OA，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴M点的坐标为（，0）；
综上所述，当M的坐标为（0，10）或（12，0）或（，0）时，，△MOE是等腰三角形．

【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的直线，三角形面积等等，解题的关键在于能够利用数形结合和分类讨论的思想求解．
4、（1）见解析；（2）正方形ABCD的面积为
【分析】
（1）由等边三角形的性质得EO⊥AC，即BD⊥AC，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论；
（2）证明菱形ABCD是正方形，即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，
∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC （三线合一），
即BD⊥AC，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵△ACE是等边三角形，
∴∠EAC＝60°
由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC
∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形，
∵∠AED＝2∠EAD，
∴∠EAD＝15°，
∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，
∵▱ABCD是菱形，
∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积＝AB2＝a2．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证明四边形ABCD为菱形是解题的关键．
5、（1），0；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据整式的乘法运算法则先去括号，然后合并同类项化简，然后代入求解即可；
（2）首先根据菱形的性质得到，，然后根据E、F分别是BC、AD的中点，得出，根据一组对边平行且相等证明出四边形AECF是平行四边形，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可证明出四边形AECF是矩形．
【详解】
（1）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b）

将a＝1，b＝2代入得：原式＝；
（2）如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，
∴，且，
又∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AB＝AC，E是BC的中点，
∴，即，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，代数式求值问题，菱形的性质和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则，菱形的性质和矩形的判定定理．