北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试同步训练题

这是一份北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试同步训练题，共28页。试卷主要包含了下列说法中，不正确的是等内容，欢迎下载使用。
京改版八年级数学下册第十五章四边形重点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是720° B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
2、如图，在中，，，AD平分，E是AD中点，若，则CE的长为（ ）

A． B． C． D．
3、下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4、如图，四边形ABCD中，∠A=60°，AD=2，AB=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）

A． B． C． D．
5、下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6、如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点．已知∠B＝55°，则∠AEF的度数是（　　）

A．75° B．60° C．55° D．40°
7、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（　　）

A．7 B．6 C．4 D．8
8、下列说法中，不正确的是（ ）
A．四个角都相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形
C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
9、下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
10、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝16，则AB的长为（　　）

A．16 B．12 C．8 D．4
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、若点关于原点的对称点是，则______．
2、如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为 _____．

3、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF＝EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H在线段AB上，则的值是 _____．

4、如图，平行四边形ABCD，AD＝5，AB＝8，点A的坐标为（－3，0）点C的坐标为______．

5、如图，的度数为_______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，已知正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求 BG的长．

2、我们知道正多边形的定义是：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
（1）如图①，在各边相等的四边形ABCD中，当AC＝BD时，四边形ABCD 　 　正四边形；（填“是”或“不是”）
（2）如图②，在各边相等的五边形ABCDE中，AC＝CE＝EB＝BD＝DA，求证：五边形ABCDE是正五边形；
（3）如图③，在各边相等的五边形ABCDE中，减少相等对角线的条数也能判定它是正五边形，问：至少需要几条对角线相等才能判定它是正五边形？请说明理由．

3、如图，在矩形中，为对角线．
（1）用尺规完成以下作图：在上找一点，使，连接，作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若，求的度数．

4、综合与实践
（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　．

（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　．
5、（1）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，试说明：∠E∠A；

（拓展应用）
（2）如图2，在四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC．
①若∠ACD＝130°，∠BCD＝50°，∠CBA＝40°，求∠CDA的度数；
②若∠ABD+∠CBD＝180°，∠ACB＝82°，写出∠CBD与∠CAD之间的数量关系．

-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定等知识，难度不大．
2、B
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义∠DAB=∠B，求出AD，根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠BAC=30°，
∴∠DAB=∠B，
∴AD=BD=a，
在Rt△ACB中，E是AD中点，
∴CE=AD=，
故选： B．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．
3、A
【分析】
中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．
【详解】
解：根据中心对称图形的定义，可知A选项的图形为中心对称图形，
故选：A．
【点睛】
本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．
4、A
【分析】
根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN，从而求得EF的最大值． 连接DB，过点D作DH⊥AB交AB于点H，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
【详解】
解：∵ED=EM，MF=FN，
∴EF=DN，
∴DN最大时，EF最大，
∴N与B重合时DN=DB最大，
在Rt△ADH中， ∵∠A=60°

∴AH=2×=1，DH=，
∴BH=AB﹣AH=3﹣1=2，
∴DB=，
∴EFmax=DB=，
∴EF的最大值为．

故选A
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用中位线求得EF=DN是解题的关键．
5、D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，选项说法正确，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是掌握轴对称图形寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6、C
【分析】
证EF是△ABC的中位线，得EF∥BC，再由平行线的性质即可求解．
【详解】
解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠AEF=∠B=55°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理以及平行线的性质；熟练掌握三角形中位线定理，证出EF∥BC是解题的关键．
7、A
【分析】
如图所示，连接AC，OB交于点D，先求出C和A的坐标，然后根据矩形的性质得到D是AC的中点，从而求出D点坐标为（2，1），再由当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，进行求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接AC，OB交于点D，
∵C是直线与y轴的交点，
∴点C的坐标为（0，2），
∵OA=4，
∴A点坐标为（4，0），
∵四边形OABC是矩形，
∴D是AC的中点，
∴D点坐标为（2，1），
当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，
由题意得平移后的直线解析式为，
∴，
∴，
故选A．

【点睛】
本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．
8、D
【分析】
根据矩形的判定，正方形的性质，菱形和平行四边形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确；
B、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，说法正确；
C、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，说法正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原说法错误；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，熟练掌握特殊平行四边形相关的判定与性质是解答本题的关键．
9、C
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可．
【详解】
解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项不符合题意；
C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
10、C
【分析】
由题意可得AO＝BO＝CO＝DO＝8，可证△ABO是等边三角形，可得AB＝8．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD＝16，
∴OA＝OB＝8，
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝8，
故选：C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．
二、填空题
1、
【分析】
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】
解：由关于坐标原点的对称点为，得，
，
解得：
故答案为：．
【点睛】
本题考查了关于原点的对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
2、
【分析】
连接OB，交AC于点D，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC为菱形，根据菱形的性质可得：，，，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，由此得出，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接OB，交AC于点D，

∵四边形OABC为平行四边形，，
∴四边形OABC为菱形，
∴，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在中，设，则，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴的长为：，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．
3、
【分析】
设，由正方形的性质和勾股定理求出的长，可得的长，再求出的长，得出的长，进而可得结果．
【详解】
解：设，
四边形为正方形，
，，
点为的中点，
，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，由勾股定理求出的长．
4、（8，4）
【分析】
先根据勾股定理得到OD的长，即可得到点D的坐标，再根据平行四边形的性质和平行x轴两点坐标特征即可得到点C的坐标．
【详解】
解：∵点A的坐标为（－3，0），
在Rt△ADO中，AD＝5， AO=3，，
∴OD==，
∴D(0，4)，
∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD=8，AB∥CD，
∵AB在x轴上，
∴CD∥x轴，
∴C、D两点的纵坐标相同，
∴C(8，4) ．
故答案为（8，4）．
【点睛】
本题考查平行四边形性质，勾股定理，平行x轴两点坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．
5、
【分析】
根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
【详解】
解：如图，

∵∠1=∠D+∠F，∠2=∠A+∠E，∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了四边形的内角和，三角形的外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由正方形的性质可得，，由的余角相等可得∠CBG=∠CDE，进而证明△BCG≌△DCE，从而证明CG=CE；
（2）证明正方形的性质可得，结合已知条件即可求得，进而勾股定理即可求得的长
【详解】
（1）∵BF⊥DE
∴∠BFE=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DCE=90°,

∴∠CBG+∠E=∠CDE+∠E，
∴∠CBG=∠CDE
∴△BCG≌△DCE
∴CG=CE
（2）∵，且，，
∴
∵CG=CE
∴，
在中，
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握三角形全等的性质与判定与勾股定理是解题的关键．
2、（1）是；（2）见解析；（3）至少需要3条对角线相等才能判定它是正五边形，见解析
【分析】
（1）根据对角线相等的菱形是正方形，证明即可；
（2）由SSS证明△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌△EAB得出∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB，即可得出结论；
（3）由SSS证明△ABE≌△BCA≌△DEC得出∠BAE=∠CBA=∠EDC，∠AEB=∠ABE=∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC，由SSS证明△ACE≌△BEC得出∠ACE=∠CEB，∠CEA=∠CAE=∠EBC=∠ECB，由四边形ABCE内角和为360°得出∠ABC+∠ECB=180°，证出AB∥CE，由平行线的性质得出∠ABE=∠BEC，∠BAC=∠ACE，证出∠BAE=3∠ABE，同理：∠CBA=∠D=∠AED=∠BCD=3∠ABE=∠BAE，即可得出结论；
【详解】
（1）解：结论：四边形ABCD是正四边形．
理由：∵AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形．
∴四边形ABCD是正四边形．
故答案为：是．
（2）证明：∵凸五边形ABCDE的各条边都相等，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、△EAB中，

∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，
∴五边形ABCDE是正五边形；
（3）解：结论：至少需要3条对角线相等才能判定它是正五边形．
若AC＝BE＝CE，五边形ABCDE是正五边形，理由如下：
在△ABE、△BCA和△DEC中，
，
∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），
∴∠BAE＝∠CBA＝∠EDC，∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，
在△ACE和△BEC中，

∴△ACE≌△BEC（SSS），
∴∠ACE＝∠CEB，∠CEA＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB，
∵四边形ABCE内角和为360°，
∴∠ABC+∠ECB＝180°，
∴AB∥CE，
∴∠ABE＝∠BEC，∠BAC＝∠ACE，
∴∠CAE＝∠CEA＝2∠ABE，
∴∠BAE＝3∠ABE，
同理：∠CBA＝∠D＝∠AED＝∠BCD＝3∠ABE＝∠BAE，
∴五边形ABCDE是正五边形；
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正多边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．
3、（1）图形见解析；（2）
【分析】
（1）利用尺规根据题意即可完成作图；
（2）结合（1）根据等腰三角形的性质和三角形外角定理可得的度数．
【详解】
（1）如图，点E和点F即为所求；


（2）∵，∠ABD=68°，
∴∠AEB=∠AEB=68°
∴∠EAB=180°-68°-68°=44°，
∴∠EAD=90°-44°=46°，
∵AF平分∠DAE，
∴∠FAE=∠DAE=23°，
∴



【点睛】
题考查了尺规作图-作角平分线，矩形的性质，熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．
4、（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析
【分析】
（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；
（2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；
（3）在NC上截取C M'=AM，连接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可证得△ABM≌△CB M'，从而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解．
【详解】
解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，

在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC ，
∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴点M'、C、N三点共线，
∵∠MBN=45°，
∴∠ABM+∠CBN=45°，
∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，
即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，
∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（2）MN=AM+CN；理由如下：
如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，

∵∠A+∠C＝180°，
∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴点M'、C、N三点共线，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，
∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，
∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（3）MN=CN-AM，理由如下：
如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'，

∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠C+∠BAD=180°，
∵∠BAM+∠BAD=180°，
∴∠BAM=∠C，
∵AB＝BC，
∴△ABM≌△CB M'，
∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，
∴∠MA M'=∠ABC，
∵∠MBN＝∠ABC，
∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN，
∵BN=BN，
∴△NBM≌△NBM'，
∴MN= M'N，
∵M'N=CN-C M'，
∴MN=CN-AM．
故答案是：MN=CN-AM．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键．
5、（1）见解析；（2）①∠CDA＝20°；②∠CAD+41°＝∠CBD．
【分析】
（1）由三角形外角的性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD＝∠E+∠EBC；由角平分线的性质可得，，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系；
（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答；②设∠CBD=a，根据已知条件得到∠ABC=180°-2a，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答．
【详解】
（1）证明：∵∠ACD是△ABC的外角
∴∠ACD＝∠A+∠ABC
∵CE平分∠ACD
∴
又∵∠ECD＝∠E+∠EBC
∴
∵BE平分∠ABC
∴
∴
∴；
（2）①∵∠ACD＝130°，∠BCD＝50°
∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝130°﹣50°＝80°
∵∠CBA＝40°
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°
∵AD平分∠BAC
∴
∴∠CDA＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝20°；
②∠CAD+41°＝∠CBD
设∠CBD＝α
∵∠ABD+∠CBD＝180°
∴∠ABC＝180°﹣2α
∵∠ACB＝82°
∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣2α）﹣82°＝2α﹣82°
∵AD平分∠BAC
∴∠CAD＝∠CAB＝α﹣41°
∴∠CAD+41°＝∠CBD．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形内角和定理、角平分线等知识点，掌握三角形内角和是180°是解答本题的关键．