初中数学北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试精练

京改版八年级数学下册第十五章四边形专项测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

2、如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（　　）

A．7 B． C．8 D．9

3、在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使其与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）

A． B． C． D．

4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若D为斜边AB上的中点，AB的长为10，则DC的长为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

5、下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（   ）

A． B．

C． D．

6、一个多边形每个外角都等于36°，则这个多边形是几边形（     ）

A．7 B．8 C．9 D．10

7、勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，长方形AKJD的面积为S3，长方形KJEB的面积为S4，下列结论：①BI＝CD；②2S△ACD＝S1；③S1＋S4＝S2＋S3；④＋＝．其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8、平行四边形中，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

9、如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（    ）

A．20º B．25º C．30º D．35º

10、如图，以O为圆心，长为半径画弧别交于A、B两点，再分别以A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接、，则四边形一定是（    ）

A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为DC的中点，若，则菱形的周长为__________．

2、如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝30cm，将纸片对折后展开得到折痕EF．点P为BC边上任意一点，若将纸片沿着DP折叠，使点C恰好落在线段EF的三等分点上，则BC的长等于_________cm．

3、如图，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB长度的最小值为_________．

4、坐标平面内的点P(m，﹣2020)与点Q(2021，n)关于原点对称，则m＋n＝_________．

5、若一个n边形的每个内角都等于135°，则该n边形的边数是____________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，已知△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是BC的中点，求证：BD＝2EF．

2、如图，正方形ABCD的边长为4，连接对角线AC，点E为BC边上一点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF，点E的对应点F恰好落在边CD上，过F作FM⊥AC于点M．

（1）求证：BE＝FM；

（2）求BE的长度．

3、在中，，斜边，过点作，以AB为边作菱形ABEF，若，求的面积．

4、如图，□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF．求证：AF＝EC．

5、问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：

①如图（1），在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；

②如图（2），在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．

然后运用类似的思想提出了如下命题：

③如图（3），在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．

任务要求：

（1）请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；

（2）请你继续完成下面的探索；

①在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立（不要求证明）；

②如图（4），在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

2、C

【分析】

根据直角三角形的性质求出DE，由EF=1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．

【详解】

解：∵∠AEB＝90，D是边AB的中点，AB＝6，

∴DE＝AB＝3，

∵EF＝1，

∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．

∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，

∴DF是ABC的中位线，

∴AC＝2DF＝8．

故选：C．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长是解题的关键．

3、B

【分析】

利用中心对称图形的定义判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义可知，②满足条件．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，明确将一个图形绕一点旋转180°后与本身重合的图形叫做中心对称图形是解题的关键．

4、A

【分析】

利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案．

【详解】

解：∵∠C=90°，若D为斜边AB上的中点，
∴CD=AB，
∵AB的长为10，
∴DC=5，
故选：A．

【点睛】

此题主要考查了直角三角形斜边的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

5、C

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可．

【详解】

解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项不符合题意；

B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项不符合题意；

C．是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项符合题意；

D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

此题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．

6、D

【分析】

根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．

【详解】

解：∵360°÷36°=10，

∴这个多边形的边数是10．

故选D．

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角，外角和的大小与多边形的边数无关，熟练掌握多边形内角与外角是解题关键．

7、C

【分析】

根据SAS证△ABI≌△ADC即可得证①正确，过点B作BM⊥IA，交IA的延长线于点M，根据边的关系得出S△ABI＝S1，即可得出②正确，过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N，证S1＝S3即可得证③正确，利用勾股定理可得出S1+S2＝S3+S4，即能判断④不正确．

【详解】

解：①∵四边形ACHI和四边形ABED都是正方形，

∴AI＝AC，AB＝AD，∠IAC＝∠BAD＝90°，

∴∠IAC+∠CAB＝∠BAD+∠CAB，

即∠IAB＝∠CAD，

在△ABI和△ADC中，

，

∴△ABI≌△ADC（SAS），

∴BI＝CD，

故①正确；

②过点B作BM⊥IA，交IA的延长线于点M，

∴∠BMA＝90°，

∵四边形ACHI是正方形，

∴AI＝AC，∠IAC＝90°，S1＝AC2，

∴∠CAM＝90°，

又∵∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠CAM＝∠BMA＝90°，

∴四边形AMBC是矩形，

∴BM＝AC，

∵S△ABI＝AI•BM＝AI•AC＝AC2＝S1，

由①知△ABI≌△ADC，

∴S△ACD＝S△ABI＝S1，

即2S△ACD＝S1，

故②正确；

③过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N，

∴∠CNA＝90°，

∵四边形AKJD是矩形，

∴∠KAD＝∠AKJ＝90°，S3＝AD•AK，

∴∠NAK＝∠AKC＝90°，

∴∠CNA＝∠NAK＝∠AKC＝90°，

∴四边形AKCN是矩形，

∴CN＝AK，

∴S△ACD＝AD•CN＝AD•AK＝S3，

即2S△ACD＝S3，

由②知2S△ACD＝S1，

∴S1＝S3，

在Rt△ACB中，AB2＝BC2+AC2，

∴S3+S4＝S1+S2，

又∵S1＝S3，

∴S1+S4＝S2+S3， 

即③正确；

④在Rt△ACB中，BC2+AC2＝AB2，

∴S3+S4＝S1+S2，

∴，

故④错误；

综上，共有3个正确的结论，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查勾股定理，正方形的性质，矩形性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质是解题的关键．

8、B

【分析】

根据平行四边形对角相等，即可求出的度数．

【详解】

解：如图所示，

∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∴．

故：B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．

9、C

【分析】

依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．

【详解】

∵ADBC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．
故选：C．

【点睛】

考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．

10、B

【分析】

根据题意得到，然后根据菱形的判定方法求解即可．

【详解】

解：由题意可得：，

∴四边形是菱形．

故选：B．

【点睛】

此题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．菱形的判定定理：①四条边都相等四边形是菱形；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形．

二、填空题

1、16

【分析】

由菱形的性质和三角形中位线定理即可得菱形的边长，从而可求得菱形的周长．

【详解】

∵四边形ABCD是菱形，且对角线相交于点O

∴点O是AC的中点

∵E为DC的中点

∴OE为△CAD的中位线

∴AD=2OE=2×2=4

∴菱形的周长为：4×4=16

故答案为：16

【点睛】

本题考查了菱形的性质及三角形中位线定理、菱形周长等知识，掌握这些知识是解答本题的关键．

2、或

【分析】

分为将纸片沿纵向对折，和沿横向对折两种情况，利用折叠的性质，以及勾股定理解答即可

【详解】

如图：当将纸片沿纵向对折

根据题意可得：

为的三等分点

在中有

如图：当将纸片沿横向对折

根据题意得：，

在中有

为的三等分点

故答案为：或

【点睛】

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理解直角三角形，解题关键是分两种情况作出折痕，考虑问题应全面，不应丢解．

3、

【分析】

根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠OCD=∠ODB=45°，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得∠COD=90°，OC=OD，然后根据同角的余角相等求出∠COA=∠DOB，再利用“ASA”证明△COA和△DOB全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得OA⊥CD时，OA最小，然后求出OA，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答．

【详解】

解：如图，

∵四边形CDEF是正方形，

，

，

，

在与中，

，

，

∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得： ,

要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD=OF，
∴CA=DA，
∴OA=,

∴AB=．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，熟记各性质并求出三角形全等，然后求出△AOB是等腰直角三角形是解题的关键．

4、-1

【分析】

根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”求出m、n的值，然后相加计算即可得解．

【详解】

解：∵点P(m，-2020)与点Q(2021，n)关于原点对称，

∴m=﹣2021，n=2020，

∴m＋n=﹣1.

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

5、8

【分析】

根据题意求得多边形的外角，根据360度除以多边形的外角即可求得n边形的边数

【详解】

解：∵一个n边形的每个内角都等于135°，

∴则这个n边形的每个外角等于

该n边形的边数是

故答案为：

【点睛】

本题考查了多边形的内角与外角的关系，求得多边形的外角是解题的关键．

三、解答题

1、见解析．

【分析】

先证明 再证明EF是△CDB的中位线，从而可得结论.

【详解】

证明：∵AD＝AC，AE⊥CD

∴CE＝ED

∵F是BC的中点

∴EF是△CDB的中位线

∴BD＝2EF

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是解题的关键.

2、（1）见解析；（2）—4

【分析】

（1）由旋转和正方形的性质得出∠FAM＝∠EAB，再证≌即可；

（2）求出正方形对角线长，再求出MC=—4即可．

【详解】

（1）证明：在正方形ABCD中，线段AE绕点A逆时针旋转45°得到线段AF

∠CAB＝45°，∠EAF＝45°，AE＝AF 

∠FAM＝∠EAB                

∵FM⊥AC

∠FMA＝∠B＝90°

≌（AAS）              

BE＝FM                      

（2）在正方形ABCD中，边长为4

AC＝，∠DCA＝45°           

≌                  

∴AM＝AB＝4                              

MC＝AC—AM＝—4                

∵是等腰直角三角形

BE＝MF＝MC＝—4

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是熟练运用正方形的性质和全等三角形的判定进行证明推理．

3、4

【分析】

分别过点E、C作EH、CG垂直AB,垂足为点H、G,则CG是斜边AB上的高；在菱形ABEF中， 利用平行线的性质不难得到CG=EH;菱形的对角相等，四条边相等，联系含30°角的直角三角形的性质求出EH,问题即可解答。

【详解】

解：如图，分别过作垂足为点

四边形ABEF为菱形，

，，

，

在中， ，

根据题意，，根据平行线间的距离处处相等，

.

答：的面积为４.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，平行线间的距离及三角形面积的计算，正确利用菱形的四边相等及直角三角形中，30角所对直角边是斜边的一半是解题的关键．

4、证明见解析

【分析】

先证明再证明可得四边形是平行四边形，于是可得结论.

【详解】

解： □ABCD，

BE＝DF，

∴AE=CF，AE//CF

四边形是平行四边形，

【点睛】

本题考查的是平行四边形的判定与性质，掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”是解本题的关键.

5、（1）选①或②或③，证明见详解；（2）①当时，结论成立；②当时，还成立，证明见详解．

【分析】

（1）命题①，根据等边三角形的性质及各角之间的等量代换可得：，然后依据全等三角形的判定定理可得：，再由全等三角形的性质即可证明；命题②，根据正方形的性质及各角之间的等量代换可得：，然后依据全等三角形的判定定理可得：，再由全等三角形的性质即可证明；命题③，根据正五边形的性质及各角之间的等量代换可得：，然后依据全等三角形的判定定理可得：，再由全等三角形的性质即可证明；

（2）①根据（1）中三个命题的结果，得出相应规律，即可得解；

②连接BD、CE，根据全等三角形的判定定理和性质可得：， ，，，利用各角之间的关系及等量代换可得：， ，继续利用全等三角形的判定定理和性质即可得出证明．

【详解】

解：（1）如选命题①，证明：如图所示：

∵  ，

∴  ，

∵  ，

∴ ，

在 与中，

，

∴ ，

∴  ；

 如选命题②，

证明：如图所示：

∵  ，

∴  ，

∵ ，

∴ ，

在 与中，

，

∴ ，

∴  ；

如选命题③，

证明：如图所示：

∵  ，

∴  ，

∵  ，

∴  ，

在 与中，

，

∴ ，

∴  ；

（2）①根据（1）中规律可得：当时，结论成立；

②答：当时，成立．

证明：如图所示，连接BD、CE，

在和中，

，

∴ ，

∴ ，，，

∵  ，

∴  ，

∵  ，．

∴  ，

又∵  ，

∴ ，

在和中，

，

∴ ，

∴ ．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定定理和性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，理解题意，结合相应图形证明是解题关键．