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北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试巩固练习
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这是一份北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试巩固练习,共28页。试卷主要包含了下列命题是真命题的是等内容,欢迎下载使用。
京改版八年级数学下册第十五章四边形专题测评
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、 “垃圾分类,利国利民”,在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类,到2020年底先行先试的46个重点城市,要基本建成垃圾分类处理系统.以下四类垃圾分类标志的图形,其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.可回收物 B.有害垃圾 C.厨余垃圾 D.其他垃圾
2、下列说法中正确的是( )
A.从一个八边形的某个顶点出发共有8条对角线
B.已知C、D为线段AB上两点,若,则
C.“道路尽可能修直一点”,这是因为“两点确定一条直线”
D.用两个钉子把木条固定在墙上,用数学的知识解释是“两点之间线段最短”
3、平行四边形中,,则的度数是( )
A. B. C. D.
4、下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5、已知,四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.设有以下条件:①AB=AD;②AC=BD;③AO=CO,BO=DO;④四边形ABCD是矩形;⑤四边形ABCD是菱形;⑥四边形ABCD是正方形.那么,下列推理不成立的是( )
A.①④⇒⑥ B.①③⇒⑤ C.①②⇒⑥ D.②③⇒④
6、下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
7、下列命题是真命题的是( )
A.五边形的内角和是720° B.三角形的任意两边之和大于第三边
C.内错角相等 D.对角线互相垂直的四边形是菱形
8、直角三角形的两条直角边分别为5和12,那么这个三角形的斜边上的中线长为( )
A.6 B.6.5 C.10 D.13
9、如图,在矩形ABCD中,点O为对角线BD的中点,过点O作线段EF交AD于F,交BC于E,OB=EB,点G为BD上一点,满足EG⊥FG,若∠DBC=30°,则∠OGE的度数为( )
A.30° B.36° C.37.5° D.45°
10、下列四个图案中,是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,以边长为2的正方形的中心O为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于A、B两点,则线段AB长度的最小值为_________.
2、如图,在菱形纸片ABCD中,AB=2,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上,则cos∠EFG的值为________.
3、已知长方形ABCD中,AB=4,BC=10,M为BC中点,P为AD上的动点,则以B、M、P为顶点组成的等腰三角形的底边长是______________________.
4、若一个n边形的每个内角都等于135°,则该n边形的边数是____________.
5、在平面直角坐标系中,点P(-3,7)关于原点对称的点的坐标是______.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、如图,在△ABC中,,,延长CB,并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l,D为射线l上一动点,点E在线段CB的延长线上,且,连接DE,过点A作于M.
(1)依题意补全图1,并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系,并证明;
(2)取BE的中点N,连接AN,添加一个条件:CD的长为_______,使得成立,并证明.
2、“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题.今天人们已经知道,仅用圆规和直尺是不可能作出的.有人曾利用如图所示的图形进行探索,其中ABCD是长方形,F是DA延长线上一点,G是CF上一点,且∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F.请写出∠ECB和∠ACB的数量关系,并说明理由.
3、如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是边AB和BC上的点,且BE=BF.求证:∠DEF=∠DFE.
4、如图1,在平面直角坐标系中,且;
(1)试说明是等腰三角形;
(2)已知.写出各点的坐标:A( , ),B( , ),C( , ).
(3)在(2)的条件下,若一动点M从点B出发沿线段BA向点A运动,同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动,当其中一点到达终点时整个运动都停止.
①若的一条边与BC平行,求此时点M的坐标;
②若点E是边AC的中点,在点M运动的过程中,能否成为等腰三角形?若能,求出此时点M的坐标;若不能,请说明理由.
5、如图,中,.
(1)作点A关于的对称点C;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图中,连接,,连接,交于点O.求证:四边形是菱形.
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
由题意根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行判断,即可得出答案.
【详解】
解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
B、既是轴对称图形,也是中心对称图形,故此选项符合题意;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项不合题意;
D、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
故选:B.
【点睛】
本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念,注意掌握判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合;判断中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
2、B
【分析】
根据n边形的某个顶点出发共有(n-3)条对角线即可判断A;根据线段的和差即可判断B;根据两点之间,线段最短即可判断C;根据两点确定一条直线即可判断D.
【详解】
解:A、从一个八边形的某个顶点出发共有5条对角线,说法错误,不符合题意;
B、已知C、D为线段AB上两点,若AC=BD,则AD=BC,说法正确,符合题意;
C、“道路尽可能修直一点”,这是因为“两点之间,线段最短”,说法错误,不符合题意;
D、用两个钉子把木条固定在墙上,用数学的知识解释是“两点确定一条直线”,说法错误,不符合题意;
故选B.
【点睛】
本题主要考查了多边形对角线问题,线段的和差,两点之间,线段最短,两点确定一条直线等等,熟知相关知识是解题的关键.
3、B
【分析】
根据平行四边形对角相等,即可求出的度数.
【详解】
解:如图所示,
∵四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∴.
故:B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质,解题的关键是掌握平行四边形的性质.
4、C
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念,对各选项分析判断即可得解.把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形;如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.
【详解】
解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
C、既是轴对称图形,又是中心对称图形,符合题意;
D、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意.
故选:C.
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
5、C
【分析】
根据已知条件以及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定条件,对选项进行分析判断即可.
【详解】
解:A、①④可以说明,一组邻边相等的矩形是正方形,故A正确.
B、③可以说明四边形是平行四边形,再由①,一组临边相等的平行四边形是菱形,故B正确.
C、①②,只能说明两组邻边分别相等,可能是菱形,但菱形不一定是正方形,故C错误.
D、③可以说明四边形是平行四边形,再由②可得:对角线相等的平行四边形为矩形,故D正确.
故选:C.
【点睛】
本题主要是考查了特殊四边形的判定,熟练掌握各类四边形的判定条件,是解决本题的关键.
6、D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
【详解】
解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形,选项说法错误,不符合题意;
B、是轴对称图形,不是中心对称图形,选项说法错误,不符合题意;
C、是轴对称图形,不是中心对称图形,选项说法错误,不符合题意;
D、是轴对称图形,是中心对称图形,选项说法正确,符合题意;
故选D.
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.解题的关键是掌握轴对称图形寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
7、B
【分析】
利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定分别判断后即可确定正确的选项.
【详解】
解:A、五边形的内角和为540°,故原命题错误,是假命题,不符合题意;
B、三角形的任意两边之和大于第三边,正确,是真命题,符合题意;
C、两直线平行,内错角相等,故原命题错误,是假命题,不符合题意;
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故原命题错误,是假命题,不符合题意,
故选:B.
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定等知识,难度不大.
8、B
【分析】
根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长,再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
【详解】
解:∵直角三角形两直角边长为5和12,
∴斜边=,
∴此直角三角形斜边上的中线的长==6.5.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边中线定理,熟练掌握勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键.
9、C
【分析】
根据矩形和平行线的性质,得;根据等腰三角形和三角形内角和性质,得;根据全等三角形性质,通过证明,得;根据直角三角形斜边中线、等腰三角形、三角形内角和性质,推导得,再根据余角的性质计算,即可得到答案.
【详解】
∵矩形ABCD
∴
∴
∵OB=EB,
∴
∴
∵点O为对角线BD的中点,
∴
和中
∴
∴
∵EG⊥FG,即
∴
∴
∴
故选:C.
【点睛】
本题考查了矩形、平行线、全等三角形、等腰三角形、三角形内角和、直角三角形的知识;解题的关键是熟练掌握矩形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形斜边中线的性质,从而完成求解.
10、A
【分析】
中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形,由此判断即可.
【详解】
解:根据中心对称图形的定义,可知A选项的图形为中心对称图形,
故选:A.
【点睛】
本题考查中心对称图形的识别,掌握中心对称图形的基本定义是解题关键.
二、填空题
1、
【分析】
根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠OCD=∠ODB=45°,正方形的对角线互相垂直平分且相等可得∠COD=90°,OC=OD,然后根据同角的余角相等求出∠COA=∠DOB,再利用“ASA”证明△COA和△DOB全等,根据全等三角形对应边相等可得OA=OB,从而得到△AOB是等腰直角三角形,再根据垂线段最短可得OA⊥CD时,OA最小,然后求出OA,再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答.
【详解】
解:如图,
∵四边形CDEF是正方形,
,
,
,
在与中,
,
,
∴OA=OB,
∵∠AOB=90°,
∴△AOB是等腰直角三角形,
由勾股定理得: ,
要使AB最小,只要OA取最小值即可,
根据垂线段最短,OA⊥CD时,OA最小,
∵正方形CDEF,
∴FC⊥CD,OD=OF,
∴CA=DA,
∴OA=,
∴AB=.
【点睛】
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,垂线段最短,勾股定理,熟记各性质并求出三角形全等,然后求出△AOB是等腰直角三角形是解题的关键.
2、
【分析】
根据题意连接BE,连接AE交FG于O,如图,利用菱形的性质得△BDC为等边三角形,∠ADC=120°,再在在Rt△BCE中计算出BE=CE=,然后证明BE⊥AB,利用勾股定理计算出AE,从而得到OA的长;设AF=x,根据折叠的性质得到FE=FA=x,在Rt△BEF中利用勾股定理得到(2-x)2+()2=x2,解得x,然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF,再利用余弦的定义求解即可.
【详解】
解:连接BE,连接AE交FG于O,如图,
∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,
∴△BDC为等边三角形,∠ADC=120°,
∵E点为CD的中点,
∴CE=DE=1,BE⊥CD,
在Rt△BCE中,BE=CE=,
∵AB∥CD,
∴BE⊥AB,
∴.
∴,
设AF=x,
∵菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,
∴FE=FA=x,
∴BF=2-x,
在Rt△BEF中,(2-x)2+()2=x2,
解得:,
在Rt△AOF中,,
∴.
故答案为: .
【点睛】
本题考查了折叠的性质以及菱形的性质,注意掌握折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.
3、5或或
【分析】
分三种情况:①当BP=PM时,点P在BM的垂直平分线上,取BM的中点N,过点N作NP⊥BM交AD于P,则四边形ABNP是矩形,得AB=PN=4,根据勾股定理即可求解;
②当BM=PM=5时,当∠PMB为锐角如图2时,则四边形ABNP是矩形,得AB=PN=4,根据勾股定理可得MN=3,从而BN=2,再由勾股定理可得BP的长;
③当BM=PM=5时,当∠PMB为钝角如图3时,则四边形ABNP是矩形,得AB=PN=4,根据勾股定理MN=3,从而BN=8,再由勾股定理可得BP的长;即可求解.
【详解】
解:BC=10,M为BC中点,
∴BM=5,
当△BMP为等腰三角形时,分三种情况:
①当BP=PM时,点P在AM的垂直平分线上,
取BM的中点N,过点N作NP⊥AD交AD于P,如图1所示:
则△PBM是等腰三角形
∴底边BM的长为5
②当BM=PM=5时,当∠PMB为锐角如图2时,则四边形ABNP是矩形,
∴PN=AB=4,
∴MN=
∴
在Rt△PBN中,
③当BM=PM=5时,当∠PMB为钝角如图3时,则四边形ABNP是矩形,得AB=PN=4,
同理可得
∴
在Rt△PBN中,
综上,以B、M、P为顶点组成的等腰三角形的底边长是:5 或或
故答案为:5 或或.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识,熟练掌握矩形的性质,进行分类讨论是解题的关键.
4、8
【分析】
根据题意求得多边形的外角,根据360度除以多边形的外角即可求得n边形的边数
【详解】
解:∵一个n边形的每个内角都等于135°,
∴则这个n边形的每个外角等于
该n边形的边数是
故答案为:
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角的关系,求得多边形的外角是解题的关键.
5、 (3,-7)
【分析】
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,可得答案.
【详解】
解:在平面直角坐标系中,点P(-3,7)关于原点对称的点的坐标是(3,-7),
故答案为:(3,-7).
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标,关于原点对称的点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数.
三、解答题
1、(1)DM=ME,见解析;(2),见解析
【分析】
(1)补全图形,连接AE、AD,通过∠ABE=∠ACD,AB=AC,BE=CD,证明 △ABE ≌ △ACD,得AE=AD,再利用AM⊥DE于M,即可得到DM=EM.
(2)连接AD,AE,BM ,可求出,当时,可得,由(1)得DM=EM,可知BM是△CDE的中位线从而得到,BM∥CD,得到∠ABM=135°=∠ABE.因为N为BE中点,可知从而证明△ABN ≌ △ABM得到AN=AM,由(1),△ABE ≌ △ACD,可证明∠EAB=∠DAC,AD=AE进而得到∠EAD=90°,又因为DM=EM,即可得到.
【详解】
(1)补全图形如下图,
DM与ME之间的数量关系为DM=ME.
证明:连接AE,AD,
∵ ∠BAC=90°,AB=AC,
∴ ∠ABC=∠ACB=45°.
∴ ∠ABE=180°-∠ABC=135°.
∵ 由旋转,∠BCD=90°,
∴ ∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°.
∴ ∠ABE=∠ACD.
∵ AB=AC,BE=CD,
∴ △ABE ≌ △ACD.
∴ AE=AD.
∵ AM⊥DE于M,
∴ DM=EM.
(2)
证明:连接AD,AE,BM.
∵ AB=AC=1,∠BAC=90°,
∴ .
∵ ,
∴ .
∵ 由(1)得DM=EM,
∴ BM是△CDE的中位线.
∴ ,BM∥CD.
∴ ∠EBM=∠ECD=90°.
∵ ∠ABE=135°,
∴ ∠ABM=135°=∠ABE.
∵ N为BE中点,
∴ .
∴ BM=BN.
∵ AB=AB,
∴ △ABN ≌ △ABM.
∴ AN=AM.
∵ 由(1),△ABE ≌ △ACD,
∴ ∠EAB=∠DAC,AD=AE.
∵ ∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°,
∴ ∠EAD=90°.
∵ DM=EM,
∴ .
∴ .
【点睛】
本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定及性质,熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键.
2、∠ACB=3∠ECB,见解析.
【分析】
由矩形的对边平行可得∠F=∠ECB,由外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=2∠F,那么∠ECB=∠F,所以∠ACB=3∠ECB.
【详解】
解:∠ACB=3∠ECB.
理由如下:在△AGF中,∠AGC=∠F+∠GAF=2∠F.
∵∠ACG=∠AGC,
∴∠ACG=2∠F.
∵AD//BC,
∴∠ECB=∠F.
∴∠ACB=∠ACG+∠BCE=3∠F.
故∠ACB=3∠ECB.
【点睛】
本题考查了矩形的性质,用到的知识点为:矩形的对边平行;两直线平行,内错角相等;三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
3、见解析
【分析】
根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD,∠A=∠C,再由BE=BF,可推出AE=CF,即可利用SAS证明△ADE≌△CDF得到DE=DF,则∠DEF=∠DFE.
【详解】
解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C,
∵BE=BF,
∴AB-BE=BC-BF,即AE=CF,
∴△ADE≌△CDF(SAS),
∴DE=DF,
∴∠DEF=∠DFE.
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质,全等三角形的性质与判定,等腰三角形的性质与判定,解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质.
4、(1)见解析;(2)12,0;-8,0;0,16;(3)①当M的坐标为(2,0)或(4,0)时,△OMN的一条边与BC平行;②当M的坐标为(0,10)或(12,0)或(,0)时,,△MOE是等腰三角形.
【分析】
(1)设,,,则,由勾股定理求出,即可得出结论;
(2)由的面积求出m的值,从而得到、、的长,即可得到A、B、C的坐标;
(3)①分当时,;当时,;得出方程,解方程即可;
②由直角三角形的性质得出,根据题意得出为等腰三角形,有3种可能:如果;如果;如果;分别得出方程,解方程即可.
【详解】
解:(1)证明:设,,,则,
在中,,
,
∴是等腰三角形;
(2)∵,,
∴,
∴,,,.
∴A点坐标为(12,0),B点坐标为(-8,0),C点坐标为(0,16),
故答案为:12,0;-8,0;0,16;
(3)①如图3-1所示,
当MN∥BC时,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵MN∥BC,
∴∠AMN=∠ABC,∠ANM=∠ACB,
∴∠AMN=∠ANM,
∴AM=AN,
∴AM=BM,
∴M为AB的中点,
∵,
∴,
∴,
∴点M的坐标为(2,0);
如图3-2所示,当ON∥BC时,
同理可得,
∴,
∴M点的坐标为(4,0);
∴综上所述,当M的坐标为(2,0)或(4,0)时,△OMN的一条边与BC平行;
②如图3-3所示,当OM=OE时,
∵E是AC的中点,∠AOC=90°,,
∴,
∴此时M的坐标为(0,10);
如图3-4所示,当时,
∴此时M点与A点重合,
∴M点的坐标为(12,0);
如图3-5所示,当OM=ME时,过点E作EF⊥x轴于F,
∵OE=AE,EF⊥OA,
∴,
∴,
设,则,
∵,
∴,
解得,
∴M点的坐标为(,0);
综上所述,当M的坐标为(0,10)或(12,0)或(,0)时,,△MOE是等腰三角形.
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形,勾股定理,等腰三角形的性质与判定,直角三角形斜边上的直线,三角形面积等等,解题的关键在于能够利用数形结合和分类讨论的思想求解.
5、(1)见解析;(2)见解析
【分析】
(1)作BD的垂直平分线,再截取即可;
(2)先证明三角形全等,然后根据全等三角形的性质可得:,依据菱形的判定定理即可证明.
【详解】
(1)解:如图所示,作BD的垂直平分线,再截取,点即为所求.
(2)证明:如图所示:
∵,,
∴,
在与ΔADO中,
,
∴;
∴,
又∵,
∴四边形是菱形.
【点睛】
本题考查了尺规作图和菱形的证明,解题关键是熟练运用尺规作图方法和菱形的判定定理进行作图与证明.
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