北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试同步练习题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专项练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（　　）

A．x2﹣8＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．2x2+3＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0

2、下列方程中，是关于x的一元二次方程是（    ）

A． B． C． D．

3、一元二次方程的解是（    ）

A． B．

C．， D．

4、为落实教育优先发展，南充市财政一般公共预算2019年教育经费投入93.15亿元，2021年教育经费投入99.45亿元，设南充市财政一般公共预算教育经费投入年平均增长率为x，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

5、下列一元二次方程中，有一个根为0的方程是（　　）

A．x2﹣4＝0 B．x2﹣4x＝0 C．x2﹣4x+4＝0 D．x2﹣4x﹣4＝0

6、已知方程的两根分别为m、n，则的值为（     ）

A．1 B． C．2021 D．

7、某地区计划举行校际篮球友谊赛，赛制为主客场形式（每两队之间在主客场各比赛一场），已知共比赛了30场次，则共有（　　）支队伍参赛．

A．4 B．5 C．6 D．7

8、若关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A．k≥2 B．k≥﹣2 C．k＞﹣2且k≠0 D．k≥﹣2且k≠0

9、一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）

A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5

10、南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、方程x2﹣9＝0的解是_____．

2、己知t是方程x2﹣x﹣2＝0的根，则式子2t2﹣2t+2021的值为_____．

3、一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为　______．

4、若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 _____．

5、已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则k的值是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、某公司自主研发一款健康的产品———燕窝饮品，主要成分是水果和燕窝．经过一段时间的门店销售发现，当售价是40元/杯，每天可售出60杯．若每杯每降低1元，就会多售出3杯．已知每杯饮品的实际成本是20元，每天的其他费用是300元，物价局规定每件销售品的利润率不得高于成本的80%．若每天的毛利润可达到600元．

（1）求该饮品的售价；

（2）为支持今年的“洪灾”行动，该门店每卖一杯饮品，向某救助基金会捐款1元，求该店每月（按30天计算）的捐款金额．

2、当k为何值时，一元二次方程（k-1）x2-6x+9=0总有实数根．

3、已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．

（1）求实数m的取值范围；

（2）若，求m的值．

4、某地区2019年投入教育经费2500万元，2021年投入教育经费3025万元．求2019年至2021年该地区投入教育经费的年平均增长率．

5、用适当的方法解下列方程：

（1）（x﹣1）2＝9；

（2）x2+4x﹣1＝0．

（3）3（x﹣5）2＝4（5﹣x）．

（4）x2﹣4x+10＝0．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

由根的判别式为Δ＝b2﹣4ac，挨个计算四个选项中的Δ值，由此即可得出结论．

【详解】

解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣8）＝32＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根；

B、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）＝0，

∴该方程有两个相等的实数根；

C、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×2×3＝﹣24＜0，

∴该方程没有实数根；

D、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据根的判别式的正负判定实数根的个数．

2、C

【分析】

根据只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程选择即可．

【详解】

A．当a=0时，是一元一次方程，该选项不符合题意；

B．分母上有未知数，是分式方程，该选项不符合题意；

C．是关于x的一元二次方程，该选项符合题意；

D．经整理后为，是一元一次方程，该选项不符合题意．

故选择C．

【点睛】

本题考查识别一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．

3、C

【分析】

根据因式分解法解一元二次方程即可．

【详解】

解：

即或

解得，

故选C

【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

4、A

【分析】

根据题意可直接进行求解．

【详解】

解：由题意可列方程为；

故选A．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题是解题的关键．

5、B

【分析】

根据方程根的定义，将x＝0代入方程使得左右两边相等的即可确定正确的选项．

【详解】

解：A.当x＝0时，02﹣4＝﹣4≠0，故错误，不符合题意；

B.当x＝0时，02﹣0＝0，故正确，符合题意；

C.当x＝0时，02﹣0+4＝4≠0，故错误，不符合题意；

D.当x＝0时，02﹣0﹣4＝﹣4≠0，故错误，不符合题意．

故选：B

【点睛】

本题考查了一元二次方程方程解的定义，熟知方程的解的定义是解题关键，注意一元二次方程的解又叫做一元二次方程的根．

6、B

【分析】

由题意得mn＝1，m2﹣2021m+1＝0，将代数式变形后再代入求解即可．

【详解】

∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为m，n，

∴mn＝1，m2﹣2021m+1＝0，

∴m2﹣2021m＝﹣1，

∴m2﹣＝﹣1,

故选：B．

【点睛】

本题考查了根的定义及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．

7、C

【分析】

由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场．等量关系为：球队的个数×（球队的个数1）=30，把相关数值代入计算即可．

【详解】

解：有x个球队参加比赛，

根据题意可列方程为：x（x1）=30，

解得：或（舍去）；

∴共有6支队伍参赛；

故选：C

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．

8、B

【分析】

根据当时，方程是一元一次方程有实数根，当时，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，然后求出两不等式组的公共部分，两种情况合并即可．

【详解】

解：根据题意得：①当时，方程是一元一次方程，此时﹣4x﹣2＝0，方程有实数解；

②当时，此方程是一元二次方程，可得

k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，

解得k≥-2且k≠0．

综上，当时，关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，

故选：B．

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．

9、B

【分析】

根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．

【详解】

解：∵一元二次方程2x2+x-5=0，

∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5，

故选：B．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．

10、C

【分析】

设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

设长为x步，则宽为（60-x）步，
依题意得：x（60-x）=864，

整理得：．
故选：C．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

二、填空题

1、x＝±3

【分析】

这个等式左边是一个平方差公式，直接分解因式，然后求出x即可．

【详解】

解：x2﹣9＝0，

（x+3）（x﹣3）＝0，

或

所以x＝3或x＝﹣3．

故答案为：x＝±3．

【点睛】

本题考查的是利用因式分解解一元二次方程，掌握“利用平方差公式把方程的左边分解因式”是解题的关键.

2、2025

【分析】

根据一元二次方程的解的定义得到t2-t-2=0，则t2-t=2，然后把2t2-2t+2021化成2（t2-t）+2021，再利用整体代入的方法计算即可．

【详解】

解：当x=t时，t2-t-2=0，则t2-t=2，

所以2t2-2t+2021=2（t2-t）+2021=4+2021=2025．

故答案为：2025．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．用了整体代入思想．

3、6
 

【分析】

确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解．

【详解】

根据题意可得，一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为1；

∴和为．

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项之和算出算式是解题关键．

4、 且

【分析】

利用一元二次方程根的判别式，即可求解．

【详解】

解：∵关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，

∴且  ，

解得： 且 ．

故答案为： 且

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键．

5、-2

【分析】

知道方程的一根，把x=2代入方程中，即可求出未知量k．

【详解】

解：将x=2代入一元二次方程x2-x+k=0，

可得：4-2+k=0，
解得k=-2，

故答案为：-2．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，是待定系数法的应用．

三、解答题

1、（1）该商品的售价为30元/件；（2）该店每月的捐款金额为270元．

【分析】

（1）根据总利润=每杯饮品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之再根据题意取舍即可得出结论；

（2）根据每月的捐款金额=1×每天销售的数量×30，即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵该饮品的售价为x元/杯（20≤x≤40），且当售价是40元/杯时，每天可售出该饮品60杯，且售价每降低1元，就会多售出3杯，

∴每天能售出该饮品的杯数为60+3（40-x）=（180-3x）杯．

依题意，得：（x-20）（180-3x）-300=600，

整理，得：x2-80x+1500=0，

解得：x1=30，x2=50．

∵物价局规定每杯饮品的利润不得高于成本价的80%，

∴x≤40×80%，即x≤32，

x=50（不合题意，舍去）．

答：该商品的售价为30元/件；

（2）1×（180-3×30）×30=270（元）．

答：该店每月的捐款金额为270元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

2、k≤2且k≠1．

【分析】

由方程为一元二次方程可得知k-1≠0；由方程总有实数根可得出根的判别式≥0，解关于k的一元一次不等式即可得出结论．

【详解】

解：根据判别式的意义得到＝(-6)2﹣4×(k-1)×9≥0，且k-1≠0，

解得k≤2且k≠1．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是根与方程有实数根得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该类型题目时，牢记根的判别式的意义即可．

3、（1）；（2）．

【分析】

（1）由题意得到，据此计算解题；

（2）通过根与系数的关系列出与的值，然后结合条件求出m的值．

【详解】

解：（1）因为一元二次方程有两个实数根，

所以

即实数m的取值范围为；

（2），

（舍去）或

【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键，难度一般．

4、这两年投入教育经费的年平均增长率为

【分析】

根据等量关系：2019年投入教育经费×（1+x）2=2021年投入教育经费列方程求解即可．

【详解】

解：设2019年至2021年该地区投入教育经费的年平均增长率为，

根据题意，得，

解得：，或（不合题意舍去），

答：这两年投入教育经费的年平均增长率为．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．

5、（1）x1＝4，x2＝﹣2

（2）

（3）

（4）

【分析】

（1）利用直接开平方法求解即可；

（2）利用配方法求解即可．

（3）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．

（4）先判断是否有解，若有解，可直接利用公式法求解即可．

（1）

解：（x﹣1）2＝9，

∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，

∴x1＝4，x2＝﹣2．

（2）

解：x2+4x﹣1＝0，

x2+4x＝1，

x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，

∴x+2＝或x+2＝﹣，

∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．

（3）

解：∵3（x﹣5）2＝4（5﹣x），

∴3（x﹣5）2+4（x﹣5）＝0，

∴（x﹣5）（3x﹣11）＝0，

则x﹣5＝0或3x﹣11＝0，

解得x1＝5，x2＝．

（4）

解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝10，

∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×10＝8＞0，

∴x＝＝＝2±，

∴，．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，要根据不同的方程采取不同的方法，解题时要先判断方程是否有根．