北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试同步测试题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程综合测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．或1

2、股市规定：股每天的涨、跌幅均不超过10％，即当涨了原价的10％后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10％后，便不能再跌，叫做跌停，现有一支股票某天涨停，之后两天时间又跌回到涨停之前的价格．若这两天此股票股价的平均下跌率为x，则x满足的方程是（    ）

A． B．

C． D．

3、已知一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（    ）

A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4

4、为落实教育优先发展，南充市财政一般公共预算2019年教育经费投入93.15亿元，2021年教育经费投入99.45亿元，设南充市财政一般公共预算教育经费投入年平均增长率为x，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

5、一元二次方程x2+2x＝1的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

6、若a是方程的一个根，则的值为（    ）

A．2020 B． C．2022 D．

7、下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．

8、方程（x-1)2 = 0的根是（    ）

A．x = - 1 B．x1 = x2 = 1 C．x1 =x2= - 1 D．x1 = 1，x2 = -1

9、下列方程是一元二次方程的是（    ）

A． B．

C． D．

10、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0

C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、一元二次方程3x2＝3﹣2x的根的判别式的值为 _____．

2、定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣2．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣2＝6．若1☆x＝0，则x＝_____．

3、关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为_______．

4、学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要比赛一场．若共赛了28场，设有个球队参赛，根据题意列出满足的关系式为_______．

5、方程x2﹣9＝0的解是_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解方程：

（1）；

（2）．

2、如图，在∆ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．动点P、Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点C移动．（不考虑起始位置，且点P，Q不与点A，B重合）

（1）P、Q两点出发后第几秒时，∆PBQ的面积为4cm2？

（2）P、Q两点出发后第几秒时，PQ的长度为5cm；

（3）∆PBQ的面积能否为7cm2？说明理由．

3、在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如：．根据这个法则，

（1）计算：________；

（2）判断是否为一元二次方程，并求解．

（3）判断方程的根是否为，，并说明理由．

4、2021年12月9日，在神州十三号载人飞船上，翟志刚、王亚平、叶光富三位航天员为广大青少年开讲“天宫课堂”第一课，这是中国空间站首次太空授课活动．在此期间，我校“对话太空”兴趣小组举行了航天科普知识有奖竞答活动，并购买“神州载人飞船”模型作为奖品，学校在商店里了解到：如果一次性购买数量不超过10个，每个模型的单价为40元；如果一次性购买数量超过10个，每多购买一个，每个模型的单价均降低0.5元，但每个模型最低单价不低于30元，若学校为购买“神州载人飞船”模型一次性付给商店900元，请求出学校购买“神州载人飞船”模型的数量．

5、A市计划对本市215万人接种新冠疫苗，在前期完成5万人接种后，又花了100天时间接种了剩下的210万人．在这100天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示．

（1）前40天中，每天接种的人数为           人．

（2）这100天中，B市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为，

①请通过计算判断，第40天接种完成后，B市的接种人数是否超过A市？

②直接写出第几天接种完成后，A，B两市接种人数恰好相同？

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

把代入方程得出，再求出方程的解即可．

【详解】

∵关于x的一元二次方程有一个根是

∴

解得

∵一元二次方程

∴

∴

∴

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．

2、A

【分析】

股票的一次涨停便涨到原来价格的110%，再从110%跌到原来的价格，且跌幅小于等于10%，这样经过两天的下跌才跌到原来价格，x表示每天下跌的百分率，从而有110%•（1-x）2=1，这样便可找出正确选项．

【详解】

设x为平均每天下跌的百分率，
则：（1+10%）•（1-x）2=1；
故选：A．

【点睛】

考查对股票的涨停和跌停概念的理解，知道股票下跌x后，变成原来价格的（1-x）倍．

3、B

【分析】

根据根的含义将代入一元二次方程x2＋k﹣3＝0求解即可．

【详解】

解：∵一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，

∴将代入得，，解得：．

故选：B．

【点睛】

此题考查了已知一元二次方程的解求参数，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解得概念．

4、A

【分析】

根据题意可直接进行求解．

【详解】

解：由题意可列方程为；

故选A．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题是解题的关键．

5、A

【分析】

方程整理后得出x2+2x﹣1＝0，求出Δ＝8＞0，再根据根的判别式的内容得出答案即可．

【详解】

解：x2+2x＝1，

整理得，x2+2x﹣1＝0，

∵Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选：A．

【点睛】

本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．

6、C

【分析】

先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解：是关于的方程的一个根，

，

，

，

．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，利用整体代入的方法计算可简化计算．

7、C

【详解】

解：A、未知数次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C、是一元二次方程，故本选项符合题意；

D、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．

8、B

【分析】

根据直接开平方法可进行求解一元二次方程．

【详解】

解：

，

∴；

故选B．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

9、C

【分析】

判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

【详解】

A.有两个未知数，错误；

B.不是整式方程，错误；

C.符合条件；

D.化简以后为，不是二次，错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．

10、B

【分析】

先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程．

【详解】

解：由题意可知：挂图的长为，宽为，

，

化简得：x2+65x﹣350＝0，

故选：B．

【点睛】

本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．

二、填空题

1、40

【分析】

先把一元二次方程化为一般式，然后利用一元二次方程根的判别式直接计算即可解答．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，，，

，

故答案为：40．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是解题关键．

2、2或﹣1

【分析】

根据题目中的新定于，可以将1☆x＝0转化为一元二次方程，然后求解即可．

【详解】

解：∵m☆n＝mn2﹣mn﹣2，1☆x＝0，

∴x2﹣x﹣2＝0，

∴（x﹣2）（x+1）＝0，

解得x1＝2，x2＝﹣1，

故答案为：2或﹣1．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是列出相应的方程，会用新定义解答问题．

3、9

【分析】

根据方程有两个相等的实数根得出Δ=0，据此列出关于m的方程，解之即可．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，

，，，

∴Δ=62-4×1×m=0，

解得m=9，

故答案为：9．

【点睛】

本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：

①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当Δ＜0时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．

4、

【分析】

每支球队要和其他球队共比赛场，一共个球队，共需要 场比赛，但每两支球队之间重复了一次，故实际需要，根据题意，即可列出方程．

【详解】

解：由题意可知：每支球队要和其他球队共比赛场，一共个球队，共需要 场比赛但每两支球队之间重复了一次，故实际比赛场数为，

，

故答案为：．

【点睛】

本题主要是考查了列一元二次方程，熟练地找到等式关系，根据等式关系列出对应方程，这是解决该类题目的关键．

5、x＝±3

【分析】

这个等式左边是一个平方差公式，直接分解因式，然后求出x即可．

【详解】

解：x2﹣9＝0，

（x+3）（x﹣3）＝0，

或

所以x＝3或x＝﹣3．

故答案为：x＝±3．

【点睛】

本题考查的是利用因式分解解一元二次方程，掌握“利用平方差公式把方程的左边分解因式”是解题的关键.

三、解答题

1、（1）；（2）

【分析】

（1）把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；

（2）先移项，把方程右边化为0，再把方程左边分解因式，得到两个一次方程，再解一次方程即可.

【详解】

解：（1）

或

解得：

（2）

或

解得：

【点睛】

本题考查的是利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“利用提公因式的方法把方程的左边分解因式，再把原方程化为两个一次方程”是解本题的关键.

2、（1）1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；（2）2秒后，PQ的长度等于5cm；（3）△PBQ的面积不能等于7cm2．理由见解析

【分析】

（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；

（2）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可；

（3）根据三角形的面积公式，列出方程，再利用判别式，即可求解．

【详解】

解：根据题意，知

BP=AB-AP=5-t，BQ=2t．

（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4cm2，

根据三角形的面积公式，得

PB•BQ=4，

t（5-t）=4，

t2-5t+4=0，

解得t=1秒或t=4秒（舍去）．

故1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；

（2）设t秒后，PQ的长度等于5cm，根据勾股定理，得

PQ2=BP2+BQ2=（5-t）2+（2t）2=25，

5t2-10t=0，

∵t≠0，

∴t=2．

故2秒后，PQ的长度等于5cm；

（3）根据三角形的面积公式，得

PB•BQ=7，

t（5-t）=7，

t2-5t+7=0，

△=（-5）2-4×1×7=-3＜0．

故△PBQ的面积不能等于7cm2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用勾股定理和直角三角形的面积公式列方程求解．

3、（1）

（2）是一元二次方程，

（3）不是，理由见解析

【分析】

（1）根据直接代入求值即可；

（2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可；

（3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可

（1）

故答案为：

（2）

是一元二次方程

解得：

（3）

的根不是，

，则，即

【点睛】

本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

4、30个．

【分析】

设学校一次性购买这种“神州载人飞船”模型x个，然后找出等量关系，列出方程，解方程即可求出答案．

【详解】

解：根据题意，设学校一次性购买这种“神州载人飞船”模型x个，则

实际销售单价为：400.5×（x10）=450.5x（元）；

∵，

∴；

∴，

解得：或（舍去）；

∴学校购买30个“神州载人飞船”模型的数量．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出“神州载人飞船”模型的个数并表示出销售单价．

5、（1）3万；（2）①第40天接种完成后，B市的接种人数没有超过A市；②52天接种完成后A，B两市接种人数恰好相同．

【分析】

（1）根据前100天接种的总人数除以时间求解即可；

（2）①将代入计算比较即可；

②先由题意得到前40天市接种人数少于A市，求出40到100天间A市接种人数的函数解析式，再列等式求解问题．

【详解】

解：（1）（万人），

∴故答案为：3万；

（2）①把代入得：

答：第40天接种完成后，B市的接种人数没有超过A市．

②由题意前40天市接种人数少于A市，

设40天到100天这段时间A市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为，

∴将（40，125）和（100，215）代入，

得：，解得：，

∴A市接种人数，，

（舍去），

答：52天接种完成后A，B两市接种人数恰好相同．

【点睛】

此题考查一次函数的图象和求一次函数的解析式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．