高考数学(文数)二轮复习解答题通关练习06《函数与导数》(教师版)

6.函数与导数

1.已知函数f(x)＝＋lnx.

(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)求证：f(x)>0.

(1)解　f(x)＝＋lnx的定义域是(0，＋∞)，

f′(x)＝＋＝，

所以f′(1)＝－，又f(1)＝1，

则切线方程为x＋2y－3＝0.

(2)证明　令h(x)＝x3＋2x2－3x－2，

则h′(x)＝3x2＋4x－3，

设h′(x)＝0的两根为x1，x2，

由于x1x2＝－1<0，

不妨设x1<0，x2>0，

则h(x)在(0，x2)上是单调递减的，在(x2，＋∞)上是单调递增的.

而h(0)<0，h(1)<0，h(2)>0，

所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零点x0，且x0∈(1,2)，

所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增.

所以f(x)≥f(x0)＝＋lnx0，

因为x0∈(1,2)，lnx0>0，f(x)>>0，

所以f(x)>0.

2.已知函数f(x)＝lnx, g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴.

(1)确定a与b的关系；

(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.

解　(1)依题意得g(x)＝lnx＋ax2＋bx，x>0，

则g′(x)＝＋2ax＋b，

由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得，

g′(1)＝1＋2a＋b＝0，∴b＝－2a－1.

(2)由(1)得g′(x)＝＝.

∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，

∴当a＝0时，g′(x)＝－，

由g′>0得0<x<1，

由g′<0得x>1；

若0<<1，即a>时，

由g′>0得x>1或0<x<，由g′<0得<x<1；

若>1，即0<a<时，

由g′>0得x>或0<x<1，由g′<0得1<x<；

若＝1，即a＝时，在上恒有g′≥0.

综上得，当a＝0时，函数g在(0,1)上单调递增，在上单调递减；

当0<a<时，函数g在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增；

当a＝时，函数g在上单调递增；

当a>时，函数g在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增.

3.已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数).

(1)当a＝5时，求函数g(x)的图象在x＝1处的切线方程；

(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值；

(3)若存在两个不等实数x1，x2∈，使方程g(x)＝2exf(x)成立，求实数a的取值范围.

解　(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e，g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，故切线的斜率为g′(1)＝4e，

所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.

(2)函数f(x)＝xlnx的定义域为(0，＋∞).因为f′(x)＝lnx＋1，

所以在(0，＋∞)上，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

当t≥时，在区间[t，t＋2]上，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(t)＝tlnt，

当0<t<时，在区间上，f(x)为减函数，在区间上，f(x)为增函数，

所以f(x)min＝f＝－.

(3)由g(x)＝2exf(x)，可得2xlnx＝－x2＋ax－3，则a＝x＋2lnx＋，

令h(x)＝x＋2lnx＋，x>0，则h′(x)＝1＋－＝.

当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：

因为h＝＋3e－2，h(e)＝＋e＋2，h(1)＝4，

所以h(e)－h＝4－2e＋<0，所以h(e)<h，

所以实数a的取值范围为.

4.已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋alnx(a为实常数).

(1)若a＝－2，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；

(2)若存在x∈[1，e]，使得f(x)≤0成立，求实数a的取值范围.

解　(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－2lnx，则f′(x)＝2x－，f′(1)＝0，

所求切线方程为y＝1.

(2)f′(x)＝2x－(a＋2)＋＝＝，x∈[1，e].

当≤1，即a≤2时，x∈[1，e]，f′(x)≥0，此时f(x)在[1，e]上单调递增.

所以f(x)的最小值为f(1)＝－a－1，所以－1≤a≤2；

当1<<e，即2<a<2e，x∈时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减；

当x∈时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增，

所以f(x)的最小值为f ＝－－a＋aln＝a.

因为2<a<2e，所以0<ln <1，所以f ＝a<0恒成立，所以2<a<2e；

当≥e，即a≥2e时，x∈[1，e]，f′(x)≤0，此时f(x)在[1，e]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(e)＝e2－(a＋2)e＋a，因为a≥2e>，所以f(e)<0，

所以a≥2e，综上，a≥－1.