高考数学(文数)二轮复习解答题通关练习04《解析几何》(教师版)

4.解析几何

1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且C过点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P，Q均在第一象限)，且直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，证明：直线l的斜率为定值.

(1)解　由题意可得解得

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)证明　由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，

由消去y，

整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，

∵直线l与椭圆交于两点，

∴Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0.

设点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝，

∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.

∵直线OP，l，OQ的斜率成等比数列，

∴k2＝·＝，

整理得km(x1＋x2)＋m2＝0，

∴＋m2＝0，

又m≠0，∴k2＝，

结合图象(图略)可知k＝－，故直线l的斜率为定值.

2.已知抛物线Γ：x2＝2py(p>0)，直线y＝2与抛物线Γ交于A，B(点B在点A的左侧)两点，且|AB|＝4.

(1)求抛物线Γ在A，B两点处的切线方程；

(2)若直线l与抛物线Γ交于M，N两点，且MN的中点在线段AB上，MN的垂直平分线交y轴于点Q，求△QMN面积的最大值.

解　(1)由x2＝2py，令y＝2，得x＝±2，所以4＝4，解得p＝3，所以x2＝6y，

由y＝，得y′＝，故y′|x＝2＝.

所以在A点的切线方程为y－2＝(x－2)，即2x－y－2＝0，

同理可得在B点的切线方程为2x＋y＋2＝0.

(2)由题意得直线l的斜率存在且不为0，

故设l：y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x2＝6y与y＝kx＋m联立，

得x2－6kx－6m＝0，Δ＝36k2＋24m>0，

所以x1＋x2＝6k，x1x2＝－6m，

故|MN|＝·＝2··.

又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝6k2＋2m＝4，所以m＝2－3k2，

所以|MN|＝2··，

由Δ＝36k2＋24m>0，得－<k<且k≠0.

因为MN的中点坐标为(3k,2)，

所以MN的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3k)，令x＝0，得y＝5，

即Q(0,5)，所以点Q到直线kx－y＋2－3k2＝0的距离d＝＝3，

所以S△QMN＝·2···3＝3·.

令1＋k2＝u，则k2＝u－1，则1<u<，故S△QMN＝3·.

设f(u)＝u2(7－3u)，则f′(u)＝14u－9u2，结合1<u<，令f′(u)>0，得1<u<；

令f′(u)<0，得<u<，所以当u＝，即k＝±时，

(S△QMN)max＝3×＝.

3.已知A，F分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点、右焦点，点P为椭圆C上一动点，当PF⊥x轴时，|AF|＝2|PF|.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若椭圆C上存在点Q，使得四边形AOPQ是平行四边形(点P在第一象限)，求直线AP与OQ的斜率之积；

(3)记圆O：x2＋y2＝为椭圆C的“关联圆”.若b＝，过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M，N，直线MN在x轴和y轴上的截距分别为m，n，求证：＋为定值.

(1)解　由PF⊥x轴，知xP＝c，代入椭圆C的方程，

得＋＝1，解得yP＝±.

又|AF|＝2|PF|，所以a＋c＝，所以a2＋ac＝2b2，即a2－2c2－ac＝0，

所以2e2＋e－1＝0，由0<e<1，解得e＝.

(2)解　因为四边形AOPQ是平行四边形，

所以PQ＝a且PQ∥x轴，

所以xP＝，代入椭圆C的方程，解得yP＝±b，

因为点P在第一象限，所以yP＝b，

同理可得xQ＝－，yQ＝b，

所以kAPkOQ＝·＝－，

由(1)知e＝＝，得＝，所以kAPkOQ＝－.

(3)证明　由(1)知e＝＝，又b＝，解得a＝2，

所以椭圆C的方程为＋＝1，圆O的方程为x2＋y2＝.①

连接OM，ON(图略)，由题意可知，OM⊥PM，ON⊥PN，

所以四边形OMPN的外接圆是以OP为直径的圆，

设P(x0，y0)，则四边形OMPN的外接圆方程为2＋2＝(x＋y)，

即x2－xx0＋y2－yy0＝0.②

①－②，得直线MN的方程为xx0＋yy0＝，

令y＝0，则m＝，令x＝0，则n＝.

所以＋＝49，

因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，所以＋＝49(为定值).

4.如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(2,0)，左、右焦点分别为F1，F2，过点A且斜率为的直线与y轴交于点P，与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点P且斜率大于的直线与椭圆交于M，N两点(|PM|>|PN|)，若S△PAM∶S△PBN＝λ，求实数λ的取值范围.

解　(1)因为BF1⊥x轴，得到点B，

所以解得所以椭圆C的标准方程是＋＝1.

(2)因为＝＝＝λ，所以＝(λ>2)，

所以＝－.由(1)可知P(0，－1)，

设MN方程为y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

联立得(4k2＋3)x2－8kx－8＝0，Δ>0恒成立，

即得(*)

又＝(x1，y1＋1)，＝(x2，y2＋1)，有x1＝－x2，

将x1＝－x2代入(*)可得，＝.

因为k>，所以＝∈(1,4)，

则1<2<4且λ>2，即得4<λ<4＋2.

综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋2).