北京课改版第十六章 一元二次方程综合与测试复习练习题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专项攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列一元二次方程中有两个相等实数根的是（　　）

A．x2﹣8＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．2x2+3＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0

2、用配方法解方程，则方程可变形为（    ）

A． B． C． D．

3、某校八年级组织篮球赛，若每两班之间赛一场，共进行了28场，则该校八年级有（　　）个班级．

A．8 B．9 C．10 D．11

4、一元二次方程的根的情况是（    ）

A．没有实数根 B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

5、用配方法解方程x2－4x－3＝0时，配方后的方程为（  ）

A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝7 D．(x－2)2＝7

6、关于的一元二次方程的一个根是3，则的值是（    ）

A．3 B． C．9 D．

7、某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后售价由298元降到了268元，根据题意可列方程为（    ）．

A． B．

C． D．

8、股市规定：股每天的涨、跌幅均不超过10％，即当涨了原价的10％后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10％后，便不能再跌，叫做跌停，现有一支股票某天涨停，之后两天时间又跌回到涨停之前的价格．若这两天此股票股价的平均下跌率为x，则x满足的方程是（    ）

A． B．

C． D．

9、若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则﹣6m2+9m﹣13的值为（　　）

A．﹣16 B．﹣13 C．﹣10 D．﹣8

10、已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（　　）

A．17 B．11 C．15 D．11或15

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、代数式的最小值是_______．

2、方程：的一般形式是______________．

3、若关于的一元二次方程有一个根为0，则________．

4、已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____．

5、已知是关于的方程的一个根，则______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、某公司自主研发一款健康的产品———燕窝饮品，主要成分是水果和燕窝．经过一段时间的门店销售发现，当售价是40元/杯，每天可售出60杯．若每杯每降低1元，就会多售出3杯．已知每杯饮品的实际成本是20元，每天的其他费用是300元，物价局规定每件销售品的利润率不得高于成本的80%．若每天的毛利润可达到600元．

（1）求该饮品的售价；

（2）为支持今年的“洪灾”行动，该门店每卖一杯饮品，向某救助基金会捐款1元，求该店每月（按30天计算）的捐款金额．

2、在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，M是AC的中点，点N在边AB上（不与点A，B重合），将△ANM绕点M逆时针旋转90°得到△BPM．

问：△BPN的面积能否等于3，请说明理由．

3、（1）解一元二次方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；

（2）求证：无论m取何值时，方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0总有两个不相等的实数根．

4、（1）用配方法解方程：3x2﹣6x﹣1＝0；

（2）用公式法解方程：4x2﹣8x+3＝0．

5、解方程：

（1）4（x﹣1）2＝9；           （2）x2+8x+15＝0；

（3）25x2+10x+1＝0；           （4）x2﹣3x+1＝0．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

由根的判别式为Δ＝b2﹣4ac，挨个计算四个选项中的Δ值，由此即可得出结论．

【详解】

解：A、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×（﹣8）＝32＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根；

B、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣4）＝0，

∴该方程有两个相等的实数根；

C、∵Δ＝b2﹣4ac＝02﹣4×2×3＝﹣24＜0，

∴该方程没有实数根；

D、∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据根的判别式的正负判定实数根的个数．

2、D

【分析】

根据配方法解一元二次方程步骤变形即可．

【详解】

∵

∴

∴

∴

∴

故选：D．

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程，具体步骤为（1）化二次项系数为1. 当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数（2）加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方（3）配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．

3、A

【分析】

设该校八年级有x个班级，利用比赛的总场次数＝参赛的班级数×（参赛的班级数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【详解】

解：设该校八年级有x个班级，

依题意得：x（x﹣1）＝28，

整理得：x2﹣x﹣56＝0，

解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）．

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

4、D

【分析】

先求出Δ的值，再判断出其符号即可．

【详解】

解：∵

∴Δ＝b2−4ac＝12−4×1×（－3）＝13＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac的关系是解答此题的关键．

5、D

【分析】

根据配方法转化为的形式，问题得解．

【详解】

解：x2－4x－3＝0，

移项得，

配方得，

∴．

故选：D

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法的步骤并准确配方（在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方）是解题的关键．

6、C

【分析】

把x=3代入已知方程，列出关于m的方程，通过解方程可以求得m的值．

【详解】

解：关于的一元二次方程的一个根是3

m=9

故选：C

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

7、D

【分析】

根据该商品的原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：依题意得：298（1-x）2=268．

故选：D．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8、A

【分析】

股票的一次涨停便涨到原来价格的110%，再从110%跌到原来的价格，且跌幅小于等于10%，这样经过两天的下跌才跌到原来价格，x表示每天下跌的百分率，从而有110%•（1-x）2=1，这样便可找出正确选项．

【详解】

设x为平均每天下跌的百分率，
则：（1+10%）•（1-x）2=1；
故选：A．

【点睛】

考查对股票的涨停和跌停概念的理解，知道股票下跌x后，变成原来价格的（1-x）倍．

9、则此三角形的周长是1

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解法，三角形三边关系，三角形的周长，掌握一元二次方程的解法，三角形三边关系，三角形的周长是解题关键．

5．A

【分析】

将m代入2x2﹣3x﹣1＝0可得2m2﹣3m﹣1＝0，再化简所求代数为﹣6m2+9m﹣13＝-3（2m2﹣3m）﹣13，即可求解．

【详解】

解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，

∴2m2﹣3m﹣1＝0，

∴2m2﹣3m＝1，

∴﹣6m2+9m﹣13＝﹣3（2m2﹣3m）﹣13＝﹣3×1﹣13＝﹣16，

故选：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系，灵活变形所求代数式是解题的关键．

10、C

【分析】

先求出方程的解，然后根据三角形三边关系利用三角形的两边之和大于第三边判断能否构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．

【详解】

解：（x﹣3）2＝4，

x﹣3＝±2，

解得x1＝5，x2＝1．

若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；

若x＝1时，6﹣4＝2＞1，不能构成三角形，

二、填空题

1、

【分析】

利用配方法得到：．利用非负数的性质作答．

【详解】

解：因为≥0，

所以当x=1时，代数式的最小值是，

故答案是：．

【点睛】

本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．

2、

【分析】

移项即可化为一般形式．

【详解】

移项得：

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为，且a、b、c为常数，因此熟悉一元二次方程的一般形式是关键．

3、1或-1或1

【分析】

将x=1代入方程求解即可．

【详解】

解：将x=1代入方程得到

解得m=1或-1

故答案为：1或-1．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，已知方程的解时应将解代入方程求某字母系数的值．

4、m＜1且m≠0

【分析】

由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．

【详解】

∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，

∴，

解得：m＜1且m≠0．

故答案为：m＜1且m≠0．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，但要注意二次项系数非零．

5、2025

【分析】

把代入方程可得再把化为，再整体代入求值即可.

【详解】

解： 是关于的方程的一个根，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是方程的解，求解代数式的值，掌握“利用整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键.

三、解答题

1、（1）该商品的售价为30元/件；（2）该店每月的捐款金额为270元．

【分析】

（1）根据总利润=每杯饮品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之再根据题意取舍即可得出结论；

（2）根据每月的捐款金额=1×每天销售的数量×30，即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵该饮品的售价为x元/杯（20≤x≤40），且当售价是40元/杯时，每天可售出该饮品60杯，且售价每降低1元，就会多售出3杯，

∴每天能售出该饮品的杯数为60+3（40-x）=（180-3x）杯．

依题意，得：（x-20）（180-3x）-300=600，

整理，得：x2-80x+1500=0，

解得：x1=30，x2=50．

∵物价局规定每杯饮品的利润不得高于成本价的80%，

∴x≤40×80%，即x≤32，

x=50（不合题意，舍去）．

答：该商品的售价为30元/件；

（2）1×（180-3×30）×30=270（元）．

答：该店每月的捐款金额为270元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

2、△BPN的面积不能等于3，理由见解析

【分析】

如图，根据等腰直角三角形的性质和旋转性质得△BPM为△ANM绕点M逆时针旋转90°得到的，设AN=BP=x，则BN=4－x，连接NP，根据直角三角形的面积公式得到关于x的一元二次方程，然后求解即可得出结论．

【详解】

解：如图，∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，M是AC的中点，

∴AM=BM，BM⊥AC，∠A=∠MBC=45°，

由旋转得∠NMP=90°，

∴∠AMN+∠NMB=∠NMB+∠BMP，即∠AMN=∠BMP,

∴△ANM≌△BPM（ASA），

∴△BPM为△ANM绕点M逆时针旋转90°得到的，

∴AN=BP，

设AN=BP=x，则BN=4－x，连接NP，

假设△BPN的面积能否等于3，则x(4－x)=3，

∴x2－4x+6=0，

∵△=42－4×1×6=－8＜0，

∴该方程无实数解，

∴△BPN的面积不能等于3，

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、旋转性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、三角形的面积公式、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识的联系与运用，证明△ANM≌△BPM是解答的关键．

3、（1）；（2）见详解．

【分析】

（1）首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；
（2）首先表示出Δ，得出Δ符号进而求出即可．

【详解】

（1）解：，

，
则，
整理得：，
解得：；
（2）证明：把化为一般形式：，



，
故无论m为何值，4m2+1永远大于0，则方程总有两个不相等的实数根．

【点睛】

此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及根的判别式，正确分解因式是解题关键．

4、（1）x1=，x2=；（2）x1=，x2=．

【分析】

（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．

【详解】

解：（1）∵3x2-6x-1=0，

∴x2-2x=，

配方得：x2-2x+1=+1，

∴（x-1）2=，

∴x-1=，

∴x1=，x2=；

（2）∵4x2﹣8x+3=0，

∴a=4，b=-8，c=3，

∴△=64-4×4×3=16>0，

∴x==，

∴x1=，x2=．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法、直接开平方法、公式法、配方法．

5、（1），；（2），；（3）；（4），．

【分析】

（1）先变形，然后运用直接开方法求解即可；

（2）直接应用因式分解法求解即可；

（3）将其变形为完全平方式，然后运用直接开方法即可得；

（4）直接运用公式法求解即可得．

【详解】

解：（1）方程变形得：，

开方得：，

解得：，；

（2）分解因式得：，

可得或，

解得：，；

（3）方程变形得：，

解得：；

（4）这里，，，

∵，

∴

∴，．

【点睛】

题目主要考查解一元二次方程的方法：直接开方法、因式分解法、公式法，熟练掌握运用解方程的方法是解题关键．