初中北京课改版第十六章 一元二次方程综合与测试习题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专项攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若一元二次方程x25x+k =0的一根为2，则另一个根为（   ）

A．3 B．4 C．5 D．6

2、若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2021﹣2a+2b的值等于（　　）

A．2015 B．2017 C．2019 D．2022

3、若方程的一个根为，则的值是（    ）

A．7 B． C．4 D．

4、已知m，n是方程的两根，则代数式的值等于（    ）

A．0 B． C．9 D．11

5、下列方程是一元二次方程的是（    ）

A． B．

C． D．

6、老师设计了一个游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一个人计算的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，最后得到方程的解．过程如图：接力中，自己负责的一步出现错误的学生人数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

7、南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（    ）

A． B． C． D．

8、将方程化为一元二次方程的一般形式，正确的是（    ）．

A． B． C． D．

9、将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（    ）

A． B． C． D．

10、如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为米，根据题意可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则4x12+4x1﹣2x2的值为 ______．

2、凌源市“百合节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2018年约为5万人次，2020年约为6.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则可列方程________________．

3、已知中，，，，则的面积是________．

4、若m是一元二次方程2x2＋3x﹣1＝0的一个根，则4m2＋6m﹣2021＝________．

5、某超市第二季度的营业额为200万元，第四季度的营业额为288万元．如果每季度营业额的平均增长率相同，那么每季度的平均增长率为 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、用适当的方法解方程

（1）；           

（2）．

2、如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝3cm，点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度运动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度运动．如果P、Q同时出发，运动时间为t（s）（0≤t≤3）．

（1）AP＝      cm，AQ＝       cm；

（2）t为何值时，△QAP的面积等于2cm2？

3、2021年某市轨道交通1号线经过10月份的试运营，于11月正式开通运营．10月份客运量为120万人次，12月份客运量为172.8万人次

（1）求1号线客运量的月平均增长率；

（2）按照客运量这样的月增长率，预计1号线在2022年1月份的客运量能否突破200万人次．

4、阅读材料：

材料1 若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2则x1+x2，x1*x2．

材料2 已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，求的值．

解：由题知m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，根据材料1得m+n＝1，mn＝﹣1，

所以．

根据上述材料解决以下问题：

（1）材料理解：

一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　   ，x1x2＝　   ．

（2）类比探究：

已知实数m，n满足7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值：

5、解方程：

（1）x2＋8x－2＝0；       

（2）2(2x＋3)2－(2x＋3)－1＝0．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到2＋t＝5，求出t即可．

【详解】

解：设方程的另一根为t，

根据题意得2＋t＝5，

解得t＝3．

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，则x1＋x2＝，x1·x2＝．

2、B

【分析】

根据一元二次方程根的定义将代入方程ax2+bx﹣2＝0可得，即，整体代入到代数式中求解即可，一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．

【详解】

解：将代入方程ax2+bx﹣2＝0可得，即

2021﹣2a+2b=

故选B

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，整体代入是解题的关键．

3、D

【分析】

将代入方程求解即可．

【详解】

解：将代入可得：

，

解得：，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查方程与根的关系，将根代入方程求解是解题关键．

4、C

【分析】

利用方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，可得， ，从而得到，再代入，即可求解．

【详解】

解：∵m，n是方程的两根，

∴， ，

∴，

∴．

故选：C

【点睛】

本题主要考查了方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握使方程左右两边同时成立的未知数的值就是方程的解；若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．

5、C

【分析】

判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

【详解】

A.有两个未知数，错误；

B.不是整式方程，错误；

C.符合条件；

D.化简以后为，不是二次，错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．

6、D

【分析】

先把方程化为一般形式，再把左边分解因式，可判断甲，再把方程化为两个一次方程，可判断乙，再解一次方程，移项要改变符号，可判断丙，再计算得到方程的解可判断丁，从而可得答案.

【详解】

解：

，

，

，故甲出现错误；

即

或 故乙出现了错误；

而丙解方程时，移项没有改变符号，丁出现了计算错误；

所以出现错误的人数是4人，

故选D

【点睛】

本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“利用因式分解法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键.

7、C

【分析】

设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

设长为x步，则宽为（60-x）步，
依题意得：x（60-x）=864，

整理得：．
故选：C．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8、B

【分析】

根据一元二次方程的概念，判断即可，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

【详解】

解：化为一元二次方程的一般形式为

故选B

【点睛】

本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．

9、A

【分析】

将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，即，

故选A．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

10、C

【分析】

设小道的宽为米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，根据种植面积为600平方米，列出关于的一元二次方程即可.

【详解】

解：设小道的宽为米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，

依题意得：.

故选：C.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、列出一元二次方程是解答本题的关键.

二、填空题

1、11

【分析】

先根据一元二次方程根的定义得到2x12＝﹣3x1+4，则4x12+4x1﹣2x2化为﹣2（x1+x2）+8，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解：∵x1是方程2x2+3x﹣4＝0的根，

∴2x12+3x1﹣4＝0，

∴2x12＝﹣3x1+4，

∴4x12+4x1﹣2x2＝2（﹣3x1+4）+4x1﹣2x2＝﹣2（x1+x2）+8，

∵x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝﹣ ，

∴4x12+4x1﹣2x2＝﹣2（x1+x2）+8＝﹣2×（﹣）+8＝11．

故答案为:11．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则，．

2、5(1+x)²=6.8

【分析】

根据2015年及2017年的观赏人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：由题意得：5(1+x)²=6.8

故答案为：5(1+x)²=6.8

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

3、或

【分析】

如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，设，则，，由，得到，由此求解即可．

【详解】

解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E，

∴∠CEB=∠CEA=90°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BCE=30°，

∴BC=2BE，

∴，

设，则，，

∵，

∴，

解得或，

∴或，

∴或，

故答案为：或．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握含30度角的直角三角形的性质．

4、﹣2019

【分析】

根据方程的根的定义，把x=m代入方程求出2m2+3m的值，然后整体代入代数式进行计算即可得解．

【详解】

解：∵m是一元二次方程2x2+3x1=0的一个根，

∴2m2+3m1=0，

整理得，2m2+3m=1，

∴4m2+6m2021=2（2m2+3m）2021=2×12021=2019．

故答案为：﹣2019．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，利用整体思想求出2m2+3m的值，然后整体代入是解题的关键．

5、

【分析】

先设增长率为x，那么第四季度的营业额可表示为200（1+x）2，已知第四季度营业额为288万元，即可列出方程，从而求解．

【详解】

解：设每季度的平均增长率为x，根据题意得：

200（1+x）2＝288，

解得：x＝﹣2.2（不合题意舍去），x＝0.2，

则每季度的平均增长率是20%．

故答案为：20%

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

三、解答题

1、（1），，（2）

【分析】

用因式分解法解方程即可．

【详解】

解：（1），

 ，

 ，

，；

（2），

，

，

．

【点睛】

本题考查了一元二次方程解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．

2、（1）2t；（3-t）；（2）t为1或2．

【分析】

（1）先证明AD=BC=3cm，∠A=90°，再根据题意即可求解；

（2）根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可求解．

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴AD=BC=3cm，∠A=90°，

∴AP=2tcm，AQ=（3-t）cm，

故答案为：2t；（3-t）

（2）由题意得，

整理得，

解得，

答：t为1或2时，△QAP的面积等于2cm2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，根据题意用含t的式子表示出直角三角形两边，列出方程是解题关键．

3、（1）1号线客运量的月平均增长率为20%；（2）预计1号线在2022年1月份的客运量能突破200万人次．

【分析】

（1）设1号线客运量的月平均增长率为x，列出，求解即可；

（2）按照客运量这样的月增长率，在2022年1月份的客运量为，计算出结果比较即可．

【详解】

解：（1）设1号线客运量的月平均增长率为x，则

解得（舍去）

（2）按照客运量这样的月增长率，1号线在2022年1月份的客运量为，

（万人次）（万人次）

答：（1）1号线客运量的月平均增长率为20%．

（2）预计1号线在2022年1月份的客运量能突破200万人次．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的等式．

4、（1）﹣2；；（2）m2n+mn2＝．

【分析】

（1）直接根据根与系数的关系可得答案；

（2）由题意得出m、n可看作方程，据此知m+n=1，mn＝，将其代入计算可得；

【详解】

解：（1）∵一元二次方程5x2+10x﹣1＝0的两个根为x1，x2，

∴x1+x2，x1x2；

故答案为：﹣2；；

（2）∵7m2﹣7m﹣1＝0，7n2﹣7n﹣1＝0，且m≠n，

∴m、n可看作方程7x2﹣7x﹣1＝0，

∴m+n＝1，mn，

∴m2n+mn2＝mn（m+n）；

【点睛】

本题主要考查根与系数的关系，求代数式的值，解题的关键是根据题意建立合适的方程及运算法则进行解题．

5、（1）x1＝－4＋3，x2＝－4－3；（2）x1＝－1，x2＝．

【分析】

（1）通过移项配方，求出方程的解即可；
（2）分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

【详解】

解：（1）x2＋8x－2＝0，

移项得：x2＋8x＝2，

配方得：x2＋8x+16＝2+16，即 （x+4）2＝18，

∴x1＝－4＋3，x2＝－4－3；

（2）2(2x＋3)2－(2x＋3)－1＝0

因式分解得：[(2x＋3)-1][2(2x＋3)+1]=0，

即：（2x+2）（4x+7）=0，

∴x1＝－1，x2＝．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法以及配方法解方程是解题的关键．