北京课改版七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试随堂练习题

京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明专项攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如所示各图中，∠1与∠2是对顶角的是（    ）

A．  B． 

C． D．

2、如图，有A，B，C三个地点，且∠ABC＝90°，B地在A地的北偏东43°方向，那么C地在B地的（　　）方向．

A．南偏东47° B．南偏西43° C．北偏东43° D．北偏西47°

3、如图，C、D在线段BE上，下列说法：

①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；

②图中至少有2对互补的角；

③若∠BAE=90°，∠DAC=40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和360°；

④若BC=2，CD=DE=3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（  ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4、如图，将一副三角尺按不同位置摆放，下列选项的摆放方式中∠1与∠2互余的是（　　）

A． B．

C． D．

5、若的补角是125°，则的余角是（    ）

A．90° B．54° C．36° D．35°

6、下列说法：

①和为180°且有一条公共边的两个角是邻补角；

②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③同位角相等；

④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，

其中正确的有（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7、如图，下列条件能判断直线l1//l2的有（   ）

①；②；③；④；⑤

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8、以下命题是假命题的是（    ）

A．的算术平方根是2

B．有两边相等的三角形是等腰三角形

C．三角形三个内角的和等于180°

D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

9、如果一个角的补角是这个角的4倍，那么这个角为（　　）

A．36° B．30° C．144° D．150°

10、如图，不能推出a∥b的条件是（　　）

A．∠4＝∠2 B．∠3+∠4＝180° C．∠1＝∠3 D．∠2+∠3＝180°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝36°，则∠BOD的大小为 _____．

2、如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为________．

3、如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1=∠BEF=68°，则∠EGF的度数为_______．

4、已知：如图，在三角形ABC中，于点D，连接DE，当时，求证：DEBC．

证明：∵（已知），

∴（垂直的定义）．

∴________，

∵（已知），

∴________（依据1：________），

∴（依据2：________）．

5、已知∠A的补角是142°，则∠A的余角的度数是___________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、问题情境：如图1，，，，求的度数．

小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得______．

问题迁移：如图3，，点在射线上运动，，．

（1）当点在、两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由．

（2）如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你直接写出、、之间有何数量关系．

2、如图，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB与CD平行吗？BC与DE呢？

观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．

解∵∠1＝60°（已知）

∠ABC＝∠1 （①　 　）

∴∠ABC＝60°（等量代换）

又∵∠2＝120°（已知）

∴（②　   　）+∠2＝180°（等式的性质）

∴AB∥CD （③　   　）

又∵∠2+∠BCD＝（④　 　°）

∴∠BCD＝60°（等式的性质）

∵∠D＝60°（已知）

∴∠BCD＝∠D （⑤　   　）

∴BC∥DE （⑥　   　）

3、如图，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，∠COE比它的补角大100°，将一直角三角板AOB的直角点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周．设旋转时间为t秒．

（1）求∠COE的度数；

（2）若射线OC的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得∠BOC＝∠BOE？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由；

（3）若在三角板开始转动的同时，射线OC也绕O点以每秒10°的速度顺时针旋转一周．从旋转开始多长时间．射线OC平分∠BOE．直接写出t的值．（本题中的角均为大0°且小180°的角）

4、阅读并完成下列推理过程，在括号内填写理由．

已知：如图，点，分别在线段、上，，平分，平分交于点、．

求证：．

证明：平分（已知），

　　．

平分（已知），

　　（角平分线的定义），

（已知），

　　．

　　．

　　．

5、如图，已知AEBF，AC⊥AE，BD⊥BF，AC与BD平行吗？补全下面的解答过程（理由或数学式）．

解：∵AEBF，

∴∠EAB＝          ．（          ）

∵AC⊥AE，BD⊥BF，

∴∠EAC＝90°，∠FBD＝90°．

∴∠EAC＝∠FBD（          ）

∴∠EAB﹣          ＝∠FBG﹣          ，

即∠1＝∠2．

∴                    （          ）．

---------参考答案-----------

一、单选题

1、B

【分析】

根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

【详解】

解：A．∠1与∠2没有公共顶点，不是对顶角；

B．∠1与∠2有公共顶点，并且两边互为反向延长线，是对顶角；

C．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角；

D．∠1与∠2虽然有公共顶点，但两个角的两边不互为反向延长线，不是对顶角．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的定义是解题的关键．

2、D

【分析】

根据方向角的概念，和平行线的性质求解．

【详解】

解：如图：

∵AF∥DE，

∴∠ABE＝∠FAB＝43°，

∵AB⊥BC，

∴∠ABC＝90°，

∴∠CBD＝180°﹣90°﹣43°＝47°，

∴C地在B地的北偏西47°的方向上．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了方位角，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．

3、B

【分析】

按照两个端点确定一条线段即可判断①；根据补角的定义即可判断②；根据角的和差计算机可判断③；分两种情况讨论：当点F在线段CD上时点F到点B、C、D、E的距离之和最小，当点F和E重合时，点F到点B、C、D、E的距离之和最大计算即可判断④．

【详解】

解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故此说法正确；

②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，故此说法正确；

③由∠BAE=90°，∠CAD=40°，根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE=3∠BAE+∠CAD=310°，故此说法错误；

④如图1，当F不在CD上时，FB+FC+FD+FE=BE+CD+2FC，如图2当F在CD上时，FB+FC+FD+FE=BE+CD，如图3当F与E重合时，FB+FC+FE+FD=BE+CD+2ED，同理当F与B重合时，FB+FC+FE+FD=BE+CD+2BC，

∵BC=2，CD=DE=3，

∴当F在的线段CD上最小，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC=2+3+3+3=11，当F和E重合最大则点F到点B、C、D、E的距离之和FB+FE+FD+FC=17，故此说法错误．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了线段的数量问题，补角的定义，角的和差，线段的和差，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

4、D

【分析】

由题意直接根据三角板的几何特征以及余角的定义进行分析计算判断即可．

【详解】

解：A．∵∠1+∠2度数不确定，
∴∠1与∠2不互为余角，故错误；
B．∵∠1+45°+∠2+45°=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2=270°，
即∠1与∠2不互为余角，故错误；
C．∵∠1+∠2=180°，
∴∠1与∠2不互为余角，故错误；
D．∵∠1+∠2+90°=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即∠1与∠2互为余角，故正确．
故选：D．

【点睛】

本题主要考查余角和补角，熟练掌握余角的定义即若两个角的和为90°，则这两个角互为余角是解题的关键．

5、D

【分析】

根据题意，得=180°-125°，的余角是90°-（180°-125°）=125°-90°，选择即可．

【详解】

∵的补角是125°，

∴=180°-125°，

∴的余角是90°-（180°-125°）=125°-90°=35°，

故选D．

【点睛】

本题考查了补角，余角的计算，正确列出算式是解题的关键．

6、B

【分析】

根据举反例可判断①，根据垂线的定义可判断②，根据举反例可判断③，根据平行线的基本事实可判断④．

【详解】

解：①如图∠AOC=∠2=150°，∠BOC=∠1=30°，满足∠1+∠2=180°，射线OC是两角的共用边，但∠1与∠2不是邻补角，故①不正确；

②在同一个面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②不正确；

③如图直线a、b被直线c所截，∠1与∠2是同位角，但∠1＞∠2，故③不正确；

④经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是基本事实，故④正确；

其中正确的有④一共1个．

故选择B．

【点睛】

本题考查基本概念的理解，掌握基本概念是解题关键．

7、D

【分析】

根据平行线的判定定理进行依次判断即可．

【详解】

①∵∠1，∠3互为内错角，∠1=∠3，∴； 

②∵∠2，∠4互为同旁内角，∠2+∠4=180° ，∴；

③∠4，∠5互为同位角，∠4=∠5，∴； 

④∠2，∠3没有位置关系，故不能证明 ，

⑤，，

∴∠1=∠3，

∴，

故选D．

【点睛】

此题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟知平行线的判定定理．

8、A

【分析】

分别利用算术平方根、等腰三角形的判定、三角形内角和公式、平行的相关内容，进行分析判断即可．

【详解】

解：A、的算术平方根应该是， A是假命题，

B、有两边相等的三角形是等腰三角形，B是真命题，

C、三角形三个内角的和等于180°，C是真命题，

D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，D是真命题，

故选：A．

【点睛】

本题主要是考查了真假命题，正确的命题为真命题，错误的命题为假命题，根据所学知识，对各个命题的正确与否进行分析，这是解决该题的关键．

9、A

【分析】

设这个角为 ，则它的补角为 ，根据“一个角的补角是这个角的4倍”，列出方程，即可求解．

【详解】

解：设这个角为 ，则它的补角为 ，根据题意得：

，

解得： ．

故选：A

【点睛】

本题主要考查了补角的性质，一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

10、B

【分析】

根据平行线的判定方法，逐项判断即可．

【详解】

解：、和是一对内错角，当时，可判断，故不符合题意；

、和是邻补角，当时，不能判定，故符合题意；

、和是一对同位角，当时，可判断，故不合题意；

、和是一对同旁内角，当时，可判断，故不合题意；

故选B．

【点睛】

本题考查了平行线的判定．解题的关键是：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．

二、填空题

1、18°度

【分析】

根据直角的定义可得∠COE＝90°，然后求出∠EOF，再根据角平分线的定义求出∠AOF，然后根据∠AOC＝∠AOF﹣∠COF求出∠AOC，再根据对顶角相等解答．

【详解】

解：∵∠COE是直角，

∴∠COE＝90°，

∵∠COF＝36°，

∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣36°＝54°，

∵OF平分∠AOE，

∴∠AOF＝∠EOF＝54°，

∴∠AOC＝∠AOF﹣∠COF＝54°﹣36°＝18°，

∴∠BOD＝∠AOC＝18°．

故答案为：18°．

【点睛】

本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

2、120°

【分析】

要求∠2的度数，只需根据平行线的性质求得其对顶角的度数．

【详解】

解：∵a∥b，∠1＝60°，

∴∠3＝120°，

∴∠2＝∠3＝120°．

故答案为：120°

【点睛】

考查了平行线的性质，本题应用的知识点为：两直线平行，同旁内角互补的性质及对顶角相等的性质．

3、34°

【分析】

根据角平分线的性质可求出的度数，然后由平行线的判定与性质即可得出的度数．

【详解】

解：平分，

又

故答案为

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，灵活应用平行线的判定与性质是解题的关键．

4、        同角的余角相等    内错角相等，两直线平行   

【分析】

根据垂直的定义及平行线的判定定理即可填空．

【详解】

∵（已知），

∴（垂直的定义）．

∴，

∵（已知），

∴（同角的余角相等），

∴（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，熟记 “内错角相等，两直线平行”是解题的关键．

5、52°度

【分析】

两角互补和为180°，两角互余和为90°，先求出∠A，再用90°-∠A即可解出本题．

【详解】

解：∵∠A的补角为142°，

∴∠A=180°-142°=38°，

∴∠A的余角为90°-∠A=90°-38°=52°．

故答案为：52°．

【点睛】

本题考查了余角和补角，解题的关键是熟悉两角互余和为90°，互补和为180°．

三、解答题

1、问题情境：；问题迁移：（1）；理由见解析；（2）当点在、两点之间时，；当点在射线上时，.

【解析】

【分析】

问题情境：理由平行于同一条直线的两条直线平行得到 PE∥AB∥CD，通过平行线性质来求∠APC；

（1）过点P作，得到理由平行线的性质得到，，即可得到；

（2）分情况讨论当点P在B、O两点之间，以及点P在射线AM上时，两种情况，然后构造平行线，利用两直线平行内错角相等，通过推理即可得到答案．

【详解】

解：问题情境：

∵AB∥CD，PE∥AB，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，

∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，

∴∠APE=50°，∠CPE=60°，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=50°+60°=110°；

（1）；

过点P作，

又因为，所以，

则，，

所以；

（2）情况1：如图所示，当点P在B、O两点之间时，

过P作PE∥AD，交ON于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥BC∥PE，

∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，

∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β，

情况2：如图所示，点P在射线AM上时，

过P作PE∥AD，交ON于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥BC∥PE，

∴∠DPE=∠ADP=∠α，∠CPE=∠BCP=∠β，

∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α

【点睛】

本题主要考查了借助辅助线构造平行线，利用平行线的性质进行推理，准确分析证明是解题的关键．

2、对顶角相等；∠ABC；同旁内角互补，两直线平行；180；等量代换；内错角相等，两直线平行．

【解析】

【分析】

先求出∠ABC＝60°，即可证明∠ABC+∠2＝180°得到AB∥CD，然后求出∠BCD＝∠D 即可证明BC∥DE．

【详解】

解∵∠1＝60°（已知）

∠ABC＝∠1 （对顶角相等），

∴∠ABC＝60°（等量代换），

又∵∠2＝120°（已知），

∴∠ABC+∠2＝180°（等式的性质），

∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行），

又∵∠2+∠BCD＝180°，

∴∠BCD＝60°（等式的性质），

∵∠D＝60°（已知），

∴∠BCD＝∠D （等量代换），

∴BC∥DE （内错角相等，两直线平行），

故答案为：对顶角相等；∠ABC；同旁内角互补，两直线平行；180；等量代换；内错角相等，两直线平行．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件．

3、（1）140゜（2）存在，t=2秒或20秒；（3）秒

【解析】

【分析】

（1）设∠COE=x度，则其补角为(180−x)度，根据∠COE比它的补角大100°列方程即可求得结果；

（2）存在两种情况：当OC在直线DE上方时；当OC在直线DE下方时；就这两种情况考虑即可；

（3）画出图形，结合图形表示出∠COE与∠COB，根据角平分线的性质建立方程即可求得t值．

【详解】

（1）设∠COE=x度，则其补角为(180−x)度，由题意得：x−(180−x)=100

解得：x=140

即∠COE=140゜

（2）存在

当OC在直线DE上方时，此时OB平分∠BOC

∵∠COE=140゜

∴

当OB没有旋转时，∠BOC=50゜

所以OB旋转了70゜−50゜=20゜

则旋转的时间为：t=20÷10=2（秒）

当OC在直线DE下方时，如图

由图知：∠BOE+∠BOC+∠COE=360゜即：2∠BOE+∠COE=360゜

∵OB旋转了10t度

∴∠BOE=(10t−90)度

∴2(10t−90)+140=360

解得：t=20

综上所述，当t=2秒或20秒时，∠BOC=∠BOE

（3）OB、OC同时旋转10t度

如图所示，∠COE=(180゜+40゜)−(10t)゜=(220−10t)゜

∵2×(10t)゜−∠COB+50゜=360゜

∴∠COB=2× (10t)゜−310゜

∵∠COB=∠COE

∴2× 10t−310=220-10t

解得：

即当t的值为秒时，满足条件．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，角的和差运算，补角的概念，解一元一次方程等知识，注意数形结合及分类讨论．

4、角平分线的定义；；两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．

【解析】

【分析】

根据角平分线的定义和平行线的性质与判定即可证明．

【详解】

证明：平分（已知），

（角平分线的定义）．

平分（已知），

（角平分线的定义），

（已知），

（两直线平行，同位角相等）．

（等量代换）．

（同位角相等，两直线平行）．

故答案为：角平分线的定义；；两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

5、∠FBG；两直线平行，同位角相等；等量代换；∠EAC；∠FBD；AC；BD；同位角相等，两直线平行

【解析】

【分析】

由平行线的性质得∠EAB＝∠FBD+∠2，再证∠1＝∠2，然后由平行线的判定即可得出结论．

【详解】

∵AE∥BF，

∴∠EAB＝∠FBG（两直线平行，同位角相等）．

∵AC⊥AE，BD⊥BF，

∴∠EAC＝90°，∠FBD＝90°．

∴∠EAC＝∠FBD（等量代换），

∴∠EAB﹣∠EAC＝∠FBG﹣∠FBD，

即∠1＝∠2．

∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）．

故答案为：∠FBG；两直线平行，同位角相等；等量代换；∠AEC，∠FBD；AC，BD，同位角相等，两直线平行．

【点睛】

本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键．