初中数学北京课改版七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试练习题

京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明章节测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若∠α＝55°，则∠α的余角是（　　）

A．35° B．45° C．135° D．145°

2、下列命题中是真命题的是（    ）

A．对顶角相等 B．两点之间，直线最短

C．同位角相等 D．同旁内角互补

3、若的补角是150°，则的余角是（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

4、如图，点D是AB上的一点，点E是AC边上的一点，且∠B＝70°，∠ADE＝70°，∠DEC＝100°，则∠C是(       )

A．70° B．80° C．100° D．110°

5、下列命题是假命题的有（    ）

①在同一个平面内，不相交的两条直线必平行；

②内错角相等；

③相等的角是对顶角；

④两条平行线被第三条直线所截，所得同位角相等．

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

6、如图，已知和都是直角，图中互补的角有（    ）对．

A．1 B．2 C．3 D．0

7、如图，若要使与平行，则绕点至少旋转的度数是（    ）

A． B． C． D．

8、如图，点在直线上，，若，则的大小为（    ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

9、如图：O为直线AB上的一点，OC为一条射线，OD平分，OE平分，图中互余的角共有（    ）

A．1对 B．2对 C．4对 D．6对

10、下列命题中，真命题是（   ）

A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．相等的角是对顶角

C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．同旁内角互补

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，已知AB∥CD，∠1＝55°，则∠2的度数为 ___．

2、如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，则直线a与b的位置关系是________．

3、如图，小明同学在练习本上的相互平行的横格上先画了直线，度量出∠1＝112°，接着他准备在点A处画直线．若要使∥，则∠2的度数为_____度．

4、若=27°，则的补角是____________

5、如图，点E是BA延长线上一点，下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠D；③∠2＝∠4；④∠B+∠BCD＝180°，能判定ABCD的有___．（填序号）

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知：锐角∠AOB．

（1）若∠AOB=65°，则∠AOB的余角的度数为________度．

（2）若∠AOB=53°17ʹ，则∠AOB的补角的度数为________．

（3）若∠AOB=31°12ʹ，计算：∠AOB=___________．

（4）若∠AOB=20°21ʹ，计算：3∠AOB．

2、如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°，

（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；

（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？并说明理由；

（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．

3、根据下列证明过程填空，请在括号里面填写对应的推理的理由．  

如图，已知∠1+∠2＝180°，且∠1＝∠D，求证：BC∥DE．

证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）

又∵∠1＝∠3________．

∴∠2+∠3＝180°（等量代换）

∴AB∥________．

∴∠4＝∠1________．

又∵∠1＝∠D（已知）

∴∠D＝________（等量代换）

∴BC∥DE（________）．

4、如图，已知∠AOC=90°，∠BOD=90°，∠BOC=38°19′，求∠AOD的度数．

5、如图直线，直线与分别和交于点交直线b于点C．

（1）若，直接写出     ；

（2）若，则点B到直线的距离是      ；

（3）在图中直接画出并求出点A到直线的距离．

---------参考答案-----------

一、单选题

1、A

【分析】

根据余角的定义即可得．

【详解】

由余角定义得∠α的余角为90°减去55°即可．

解：由余角定义得∠α的余角等于90°﹣55°＝35°．

故选：A．

【点睛】

本题考查了余角的定义，熟记定义是解题关键．

2、A

【分析】

根据对顶角相等，两点之间，线段最短，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补进行判断求解即可．

【详解】

解：A、对顶角相等，是真命题，符合题意；

B、两点之间，直线最短，是假命题，应该是两点之间，线段最短，不符合题意；

C、同位角相等，是假命题，应该是两直线平行，同位角相等，不符合题意；

D、同旁内角互补，是假命题，应该是两直线平行，同旁内角互补，不符合题意；

故选A．

【点睛】

本题主要考查了判断命题真假，解题的关键在于能够熟知相关定义和定理．

3、B

【分析】

根据补角、余角的定义即可求解．

【详解】

∵的补角是150°

∴=180°-150°=30°

∴的余角是90°-30°=60°

故选B．

【点睛】

此题主要考查余角、补角的求解，解题的关键是熟知如果两个角的和为90度，这两个角就互为余角；补角是指如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角

4、B

【分析】

先证明DEBC，根据平行线的性质求解．

【详解】

解：因为∠B＝∠ADE＝70°

所以DEBC，

所以∠DEC+∠C＝180°，所以∠C＝80°.

故选：B．

【点睛】

此题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟知同位角相等，两直线平行．

5、C

【分析】

根据平面内两条直线的位置关系：平行，相交，可判断①，根据两直线平行，内错角相等可判断②，根据对顶角的定义：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线可判断③，由两直线平行，同位角相等可判断④，从而可得答案.

【详解】

解：在同一个平面内，不相交的两条直线必平行；原命题是真命题，故①不符合题意；

两直线平行，内错角相等；原命题是假命题；故②符合题意；

相等的角不一定是对顶角；原命题是假命题；故③符合题意；

两条平行线被第三条直线所截，所得同位角相等；原命题是真命题，故④不符合题意；

故选C

【点睛】

本题考查的是真假命题的判断，同时考查平面内两条直线的位置关系，平行线的性质，对顶角的定义，掌握“判断真假命题的方法”是解本题的关键.

6、B

【分析】

如图，延长BO至点E，根据平角的定义，由∠BOD＝90°，得∠DOE＝180°−∠DOB＝90°，那么∠DOE＝∠DOB＝∠AOC＝90°，故∠AOC＋∠BOD＝180°．由∠DOE＝∠DOB＝∠AOC＝90°，得∠AOE＋∠AOD＝∠AOD＋∠COD＝∠DOC＋∠BOC，那么∠AOE＝∠COD，∠AOD＝∠BOC．由∠AOE＋∠AOB＝180°，得∠COD＋∠AOB＝180°．

【详解】

解：如图，延长BO至点E．

∵∠BOD＝90°，

∴∠DOE＝180°−∠DOB＝90°．

∴∠DOE＝∠DOB＝∠AOC＝90°．

∴∠AOC＋∠BOD＝180°，∠AOE＋∠AOD＝∠AOD＋∠COD＝∠DOC＋∠BOC．

∴∠AOE＝∠COD，∠AOD＝∠BOC．

∵∠AOE＋∠AOB＝180°，

∴∠COD＋∠AOB＝180°．

综上：∠AOC与∠BOD互补，∠AOB与∠COD互补，共2对．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查补角，熟练掌握补角的定义是解决本题的关键．

7、A

【分析】

根据“两直线平行，内错角相等”进行计算．

【详解】

解：如图，

∵l1∥l2，

∴∠AOB=∠OBC=42°，

∴80°-42°=38°，

即l1绕点O至少旋转38度才能与l2平行．

故选：A．

【点睛】

考查了旋转的性质和平行线的性质，根据平行线的性质得到∠AOB=∠OBC=42°是解题的关键，难度不大．

8、D

【分析】

根据补角的定义求得∠BOC的度数，再根据余角的定义求得∠BOD的度数．

【详解】

解：∵，

∴∠BOC＝180°－150°＝30°，

∵，即∠COD＝90°，

∴∠BOD＝90°－30°＝60°，

故选：D

【点睛】

本题考查了补角和余角的计算，熟练掌握补角和余角的定义是解题的关键．

9、C

【分析】

根据余角的定义求解即可．余角：如果两个角相加等于90°，那么这两个角互为余角．

【详解】

解：∵OD平分，OE平分，

∴，

又∵，即，

∴，，，，

∴互余的角共有4对．

故选：C．

【点睛】

此题考查了余角的定义，角平分线的概念等知识，解题的关键是熟练掌握余角的定义．余角：如果两个角相加等于90°，那么这两个角互为余角．

10、C

【分析】

分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．

【详解】

解：A、错误，当被截的直线平行时形成的同位角才相等；

B、错误，对顶角相等但相等的角不一定是对顶角；

C、正确，必须强调在同一平面内；

D、错误，两直线平行同旁内角才互补．

故选：C．

【点睛】

主要考查命题的真假判断与平行线的性质、对顶角的特点，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

二、填空题

1、

【分析】

如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据邻补角的定义即可得．

【详解】

解：如图，，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．

2、平行

【分析】

根据∠2:∠3＝1:5，求出的度数，然后根据同位角相等两直线平行进行解答即可．

【详解】

解：∵∠2:∠3＝1:5，

∴∠2＝30°，

∴∠1＝∠2，

∴a∥b，

故答案为：平行．

【点睛】

本题考查了角的和差倍分求角度以及平行的判定，根据题意求出∠2＝30°是解本题的关键．

3、68

【分析】

根据平行线的性质，得出，根据平行线的判定，得出，即可得到，进而得到的度数．

【详解】

解：∵练习本的横隔线相互平行，

，

∵要使，

∴，

又，

，

即，

 故答案为：68．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质与判定条件，解题时注意：两直线平行，同位角相等；同旁内角互补，两直线平行．

4、153°

【分析】

根据补角的定义求解即可．

【详解】

解：∵=27°，则的补角＝180°－27°＝153°

故答案为：153°

【点睛】

本题考查了补角的定义，熟练求补角的方法是解题的关键．

5、②③④

【分析】

根据平行线的判定方法分别判定得出答案．

【详解】

解：①中，∵∠1＝∠3，∴AD//BC（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
②中，∵∠5＝∠D，∴AB//CD（内错角角相等，两直线平行），故此选项符合题意；
③中，∵∠2＝∠4，∴AB//CD（内错角角相等，两直线平行）），故此选项符合题意；
④中，∠B＋∠BCD＝180°，∴AB//CD （同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；
故答案为：②③④．

【点睛】

此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．

三、解答题

1、（1）25°；（2）126°43ʹ；（3）15°36ʹ；（4）61°3ʹ．

【解析】

【分析】

（1）根据余角的性质，即可求解；

（2）根据补角的性质，即可求解；

（3）用 乘以∠AOB，即可求解；

（4）用3乘以∠AOB，即可求解．

【详解】

解：（1）∠AOB的余角的度数为

（2） ；  

（3） ；

（4）3∠AOB=3×20°21ʹ=60°63ʹ=61°3ʹ．

【点睛】

本题主要考查了余角和补角，角的倍分关系，熟练掌握余角和补角的性质，角的倍分关系是解题的关键．

2、（1）平行，理由见解析；（2）∠BAE+∠MCD=90°，理由见解析；（3）∠BAC=∠PQC+∠QPC，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC可得∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180，根据平行线的判定定理即可得出结论；

（2）如图，过E作EF∥AB，由AB//CD可得EF∥AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，可得∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出结论；

（3）如图，过点C作CM//PQ，可得∠PQC=∠MCN，∠QPC=∠PCM，根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，根据∠PCQ+∠PCM+∠MCN=180°，可得∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，即可得出∠BAC=∠PQC+∠QPC．

【详解】

（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，

∵∠EAC+∠ACE=90°，

∴∠BAC+∠ACD=180°，

∴AB∥CD

（2）∠BAE+∠MCD=90°；理由如下：

如图，过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，

∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=90°，

∴∠BAE+∠ECD=90°，

∵∠MCE=∠ECD=∠MCD，

∴∠BAE+∠MCD=90°．

（3）如图，过点C作CM//PQ，

∴∠PQC=∠MCN，∠QPC=∠PCM，

∵AB∥CD，

∴∠BAC+∠ACD=180°，

∵∠PCQ+∠PCM+∠MCN=180°，

∴∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，

∴∠BAC=∠PQC+∠QPC．

【点睛】

本题考查平行线的判定与性质及角平分线的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质是解题关键．

3、对顶角相等；CD；两直线平行同位角相等；∠4；内错角相等两直线平行

【解析】

【分析】

根据已知条件及对顶角相等的性质可得：，依据平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行可得：；由平行线的性质可得：，根据等量代换可得：，由内错角相等，两直线平行即可证明．

【详解】

证明：∵（已知）

又∵（对顶角相等）．

∴（等量代换）

∴，

∴（两直线平行，同位角相等）．

又∵（已知）

∴（等量代换）

∴（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：对顶角相等；CD；两直线平行，同位角相等；∠4；内错角相等，两直线平行．

【点睛】

题目主要考查平行线的判定定理和性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质定理是解题关键．

4、141°41′

【解析】

【分析】

利用角的和差关系计算，先求得∠COD=51°41′，再由∠AOD=∠AOC+∠COD即可求解．

【详解】

解：∵∠BOD=90°，∠BOC=38°19′

∴∠COD=∠BOD-∠BOC=51°41′

∵∠AOC=90°

∴∠AOD=∠AOC+∠COD=141°41′

答：∠AOD的度数为141°41′．

【点睛】

本题主要考查了余角，正确得出∠COD的度数是解题关键．

5、（1）；（2）4；（3）作图见详解；点A到直线BC的距离为．

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补及垂直的性质即可得；

（2）根据点到直线的距离可得点B到直线AC的距离为线段，由此即可得出结果；

（3）过点A作，点A到直线BC的距离为线段AD的长度，利用三角形等面积法即可得出．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∵，，

∴，

故答案为：；

（2）∵，

∴点B到直线AC的距离为线段，

故答案为：4；

（3）如图所示：过点A作，点A到直线BC的距离为线段AD的长度，

∵，

∴为直角三角形，

∴，

即，

解得：，

∴点A到直线BC的距离为．

【点睛】

题目主要考查平行线的性质及点到直线的距离，熟练掌握等面积法求距离是解题关键．