北京课改版七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试练习题

京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明章节练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列说法中，真命题的个数为（      ）

①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；

③过一点有且只有一条直线与这条直线平行；

④点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）

A． B．

C． D．

3、直线、、、如图所示．若∠1=∠2，则下列结论错误的是（ ）

A．ABCD B．∠EFB=∠3 C．∠4=∠5 D．∠3=∠5

4、如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：①当时，；②为的平分线；③若时，；④．其中正确的结论有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

5、如图，货轮O航行过程中，同时发现灯塔A和轮船B，灯塔A在货轮O北偏东40°的方向，∠AOE＝∠BOW，则轮船B在货轮（　　）

A．西北方向 B．北偏西60° C．北偏西50° D．北偏西40°

6、如图，，交于点，，，则的度数是（    ）

A．34° B．66° C．56° D．46°

7、如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOC＝125°，则∠BOD等于（　　）

A．55° B．125° C．115° D．65°

8、下列说法正确的个数是（　　）

①平方等于本身的数是正数；

②单项式﹣π2x3y2的次数是7；

③近似数7与7.0的精确度不相同；

④因为a＞b，所以|a|＞|b|；

⑤一个角的补角大于这个角本身．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9、如图所示，直线l1l2，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝52°，那么∠2＝（　　）

A．138° B．128° C．52° D．152°

10、如图，已知AO⊥OC，OB⊥OD，∠COD=38°，则∠AOB的度数是（   ）

A．30º B．145º C．150º D．142º

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，将一块直角三角板与一张两边平行的纸条按照如图所示的方式放置，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠2=∠3；④∠4+∠5=180°．其中正确的是________．（填序号）

2、已知，则的余角是________．

3、如图，已知AB∥CD，∠1＝55°，则∠2的度数为 ___．

4、已知：如图，在三角形ABC中，于点D，连接DE，当时，求证：DEBC．

证明：∵（已知），

∴（垂直的定义）．

∴________，

∵（已知），

∴________（依据1：________），

∴（依据2：________）．

5、若一个角的补角与这个角的余角之和为190°，则这个角的度数为_____度．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知AB∥CD，点是AB，CD之间的一点．

（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；

以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：

解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．

∵AB∥CD（已知），

∴PE∥CD（ 　   　），

∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（ 　   　），

∴∠BAE+∠DCE＝　   　+　   　（等式的性质）．

即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 　   　．

（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．

①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；

②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．

2、如图，在8×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点D是∠ABC的边BC上的一点，点M是∠ABC内部的一点，点A、B、C、D、M均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并回答问题：

（1）过点M画BC的平行线MN交AB于点N；

（2）过点D画BC的垂线DE，交AB于点E；

（3）点E到直线BC的距离是线段 　   　的长度．

3、（1）已知：如图1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，请判断∠AOD和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；

（2）已知：如图2，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．请判断∠AOC与∠BOC之间的数量关系，并说明理由；

（3）已知：如图3，∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．直接写出锐角∠MPN的度数是 　 　．

4、完成下列填空：

已知：如图，，，CA平分；

求证：．

证明：∵（已知）

∴________（ ）

∵（已知）

∴________（   ）

又∵CA平分（已知）

∴________（   ）

∵（已知）

∴_____________=30°（   ）

5、已知：锐角∠AOB．

（1）若∠AOB=65°，则∠AOB的余角的度数为________度．

（2）若∠AOB=53°17ʹ，则∠AOB的补角的度数为________．

（3）若∠AOB=31°12ʹ，计算：∠AOB=___________．

（4）若∠AOB=20°21ʹ，计算：3∠AOB．

---------参考答案-----------

一、单选题

1、B

【分析】

根据平行线的性质与判定，点到直线的距离的定义逐项分析判断即可

【详解】

①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故①是真命题；

②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故②是真命题；

③在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故③不是真命题，

④点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度，故④不是真命题，

故真命题是①②，

故选B

【点睛】

本题考查了判断真假命题，平行线的性质与判定，点到直线的距离的定义，掌握相关性质定理是解题的关键．

2、B

【分析】

根据对顶角的定义作出判断即可．

【详解】

解：根据对顶角的定义可知：只有B选项的是对顶角，其它都不是．

故选：B．

【点睛】

本题考查对顶角的定义，解题关键是明确两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

3、D

【分析】

根据平行线的判定与性质、对顶角相等逐项判断即可．

【详解】

解：∵∠1=∠2，

∴AB∥CD，故A正确，不符合题意；

∴∠4=∠5，故C正确，不符合题意；

∵∠EFB与∠3是对顶角，

∴∠EFB=∠3，故B正确，

无法判断∠3=∠5，故D错误，符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题考查平行线的判定与性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．

4、B

【分析】

由邻补角，角平分线的定义，余角的性质进行依次判断即可．

【详解】

解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，

∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，

∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，

∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，

∴当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；

故①正确；

∵OB平分∠DOG，

∴∠BOD=∠BOG，

∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，

故④正确；

∵，

∴∠BOD=180°-150°=30°，

∴

故③正确；

若为的平分线，则∠DOE=∠DOG，

∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，

∴∠EOF=30°，而无法确定，

∴无法说明②的正确性；

故选：B．

【点睛】

本题考查了邻补角，角平分线的定义，余角的性质，数形结合是解决本题的关键．

5、D

【分析】

根据题意得：∠AON=40°，再由等角的余角相等，可得∠BON=∠AON=40°，即可求解．

【详解】

解：根据题意得：∠AON=40°，

∵∠AOE＝∠BOW，∠AON+∠AOE=90°，∠BON+∠BOW=90°，

∴∠BON=∠AON=40°，

∴轮船B在货轮的北偏西40°方向．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了余角的性质，方位角，熟练掌握等角的余角相等是解题的关键．

6、C

【分析】

由余角的定义得出的度数，由两直线平行内错角相等即可得出结论．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴，

故选：C

【点睛】

本题考查了平行线的性质和余角，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

7、B

【分析】

根据对顶角相等即可求解．

【详解】

解：∵直线AB和CD相交于点O，∠AOC＝125°，

∴∠BOD等于125°．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了对顶角的性质，熟知对顶角相等的性质是解题的关键．

8、A

【分析】

根据平方等于本身的数是0和1，即可判断①；根据单项式次数的定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，即可判断②；根据近似数的精确度可以判断③；根据绝对值的定义可以判断④；根据补角的定义：如果两个角的和为180度，那么这两个角互补即可判断⑤．

【详解】

解：①平方等于本身的数是1和0，故此说法错误；

②单项式﹣π2x3y2的次数是5，故此说法错误；

③近似数7精确到个位，近似数7.0精确到十分位，两者的精确度不相同，故此说法正确；

④因为a＞b，不一定有 |a|＞|b|，如1＞-2，但是|1|＜|-2|，故此说法错误；

⑤一个角的补角可能大于等于或小于这个角本身，故此说法错误；

故选A．

【点睛】

本题主要考查了有理数的乘方，绝对值，单项式次数，补角和近似数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

9、B

【分析】

根据两直线平行同位角相等，得出∠1＝∠3＝52°．再由∠2与∠3是邻补角，得∠2＝180°﹣∠3＝128°．

【详解】

解：如图．

∵l1//l2，

∴∠1＝∠3＝52°．

∵∠2与∠3是邻补角，

∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣52°＝128°．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质、邻补角的定义是解决本题的关键．

10、D

【分析】

根据垂直的定义得到∠AOC=∠DOB=90°，由互余关系得到∠BOC=52°，然后计算∠AOC+∠BOC即可．

【详解】

解：∵AO⊥OC，OB⊥OD，

∴∠AOC=∠DOB=90°，

而∠COD=38°，

∴∠BOC=90°-∠COD=90°-38°=52°，

∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°+52°=142°．

故选：D．

【点睛】

本题考查了余角的概念：若两个，角的和为90°，那么这两个角互余．

二、填空题

1、①②④

【分析】

根据平行线的性质，直角三角板的性质对各小题进行验证即可得解．

【详解】

解：∵纸条的两边互相平行，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠4+∠5=180°，故①，②，④正确；

∵三角板是直角三角板，

∴∠2+∠4=180°-90°=90°，

∵∠3=∠4，

∴∠2+∠3=90°，故③不正确．

综上所述，正确的是①②④．

故答案为：①②④．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，直角三角板的性质，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．

2、

【分析】

根据互余两角的和等于90°，即可求解．

【详解】

解：∵，

∴的余角是 ．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了余角的性质，熟练掌握互余两角的和等于90°是解题的关键．

3、

【分析】

如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据邻补角的定义即可得．

【详解】

解：如图，，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题关键．

4、        同角的余角相等    内错角相等，两直线平行   

【分析】

根据垂直的定义及平行线的判定定理即可填空．

【详解】

∵（已知），

∴（垂直的定义）．

∴，

∵（已知），

∴（同角的余角相等），

∴（内错角相等，两直线平行）．

故答案为：；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，熟记 “内错角相等，两直线平行”是解题的关键．

5、40

【分析】

首先设这个角为x°，则它的补角为（180-x）°，它的余角为（90-x）°，由题意得：这个角的补角的度数+它的余角的度数=190，根据等量关系列出方程，再解即可．

【详解】

解：设这个角为x°，则它的补角为（180-x）°，它的余角为（90-x）°，由题意得：
(180-x)+(90-x)=190，
解得：x=40，
故答案为： 40．

【点睛】

本题考查余角和补角，关键是掌握如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．

三、解答题

1、（1）平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，∠AEC＝∠BAE+∠DCE；（2）①37°；②52°

【解析】

【分析】

（1）结合图形利用平行线的性质填空即可；

（2）①过F作FG∥AB，由（1）得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE，根据AB∥CD，FG∥AB，CD∥FG，得出∠AFC=∠AFG+∠GFC＝∠BAF+∠DCF，根据AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，可得∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，根据角的和差∠AFC＝∠BAF+∠DCF=∠AEC即可；

②由①得：∠AEC＝2∠AFC，可求∠AFC＝42°，∠AEC＝82°，根据CG⊥AF，求出∠GCF=90-∠AFC=48°，根据角平分线计算得出∠GCF＝3∠DCF，求出∠DCF＝16°即可．

【详解】

解：（1）平行于同一条直线的两条直线平行，

两直线平行，内错角相等，

∠1，∠2，

∠AEC＝∠BAE+∠DCE，

故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，∠AEC＝∠BAE+∠DCE，

（2）①过F作FG∥AB，

由（1）得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE，

∵AB∥CD，FG∥AB，

∴CD∥FG，

∴∠BAF=∠AFG，∠DCF=∠GFC，

∴∠AFC=∠AFG+∠GFC＝∠BAF+∠DCF，

∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，

∴∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，

∴∠AFC＝∠BAF+∠DCF，

＝∠BAE+∠DCE，

=（∠BAE+∠DCE），

＝∠AEC，

＝×74°，

＝37°；

②由①得：∠AEC＝2∠AFC，

∵∠AEC+∠AFC＝126°，

∴2∠AFC+∠AFC＝126°

∴3∠AFC＝126°，

∴∠AFC＝42°，∠AEC＝84°，

∵CG⊥AF，

∴∠CGF＝90°，

∴∠GCF=90-∠AFC=48°，

∵CE平分∠DCG，

∴∠GCE＝∠ECD，

∵CF平分∠DCE，

∴∠DCE＝2∠DCF＝2∠ECF，

∴∠GCF＝3∠DCF，

∴∠DCF＝16°，

∴∠DCE＝32°，

∴∠BAE＝∠AEC﹣∠DCE＝52°．

【点睛】

本题考查平行线性质，角平分线有关的计算，垂直定义，角的和差倍分，简单一元一次方程，掌握平行线性质，角平分线有关的计算，垂直定义，角的和差倍分，简单一元一次方程是解题关键．

2、（1）见解析；（2）见解析；（3）DE

【解析】

【分析】

（1）根据平行线的判定条件：同位角相同，两直线平行，进行作图即可；

（2）根据垂线的定义作图即可；

（3）根据点到直线的距离的定义求解即可．

【详解】

解：（1）如图所示，点N即为所求；

（2）如图所示，点E即为所求；

（3）由题意可知：点E到直线BC的距离是线段DE的长度，

故答案为：DE．

【点睛】

本题主要考查了点到直线的距离，平行线的判定，作垂线，画平行线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

3、（1）∠AOD+∠BOD=90°，理由见解析；（2）∠AOC+∠BOC=180°，理由见解析；（3）45°

【解析】

【分析】

（1）由∠AOC=90°，得到∠AOD+∠COD=90°，再由OD平分∠BOC，可得∠BOC=2∠COD=2∠BOD，则∠AOD+∠BOD=90°；

（2）由OC平分∠BOD，得到∠BOD=2∠COD=2∠BOC，再由∠AOC+∠COD=180°，即可得到∠AOC+∠BOC=180°；

（3）由∠EPQ和∠FPQ互余，得到∠EPQ+∠FPQ=90°，由射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，得到，，则．

【详解】

解：（1）∠AOD+∠BOD=90°，理由如下：

∵∠AOC=90°，

∴∠AOD+∠COD=90°，

∵OD平分∠BOC，

∴∠BOC=2∠COD=2∠BOD，

∴∠AOD+∠BOD=90°；

（2）∠AOC+∠BOC=180°，理由如下：

∵OC平分∠BOD，

∴∠BOD=2∠COD=2∠BOC，

∵∠AOC+∠COD=180°，

∴∠AOC+∠BOC=180°；

（3）∵∠EPQ和∠FPQ互余，

∴∠EPQ+∠FPQ=90°，

∵射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ，

∴，，

∴，

故答案为：45°．

【点睛】

本题主要考查了与余角和补角有关的计算，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

4、180°；两直线平行，同旁内角互补；60°；等式的性质；30°；角平分线的定义；；两直线平行，内错角相等

【解析】

【分析】

由AB与CD平行，利用两直线平行同旁内角互补求出∠BCD度数，由CA为角平分线，利用角平分线定义求出∠2的度数，再利用两直线平行内错角相等即可确定出∠1的度数．

【详解】

证明：∵AB∥CD，（已知）

∴∠B+∠BCD=180°，（两直线平行同旁内角互补）

∵∠B=120°（已知），

∴∠BCD=60°．

又CA平分∠BCD（已知），

∴∠2=30°，（角平分线定义）．

∵AB∥CD（已知），

∴∠1=∠2=30°．（两直线平行内错角相等）．

故答案为：180°；两直线平行，同旁内角互补；60°；等式的性质；30°；角平分线定义；∠2；两直线平行，内错角相等．

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．

5、（1）25°；（2）126°43ʹ；（3）15°36ʹ；（4）61°3ʹ．

【解析】

【分析】

（1）根据余角的性质，即可求解；

（2）根据补角的性质，即可求解；

（3）用 乘以∠AOB，即可求解；

（4）用3乘以∠AOB，即可求解．

【详解】

解：（1）∠AOB的余角的度数为

（2） ；  

（3） ；

（4）3∠AOB=3×20°21ʹ=60°63ʹ=61°3ʹ．

【点睛】

本题主要考查了余角和补角，角的倍分关系，熟练掌握余角和补角的性质，角的倍分关系是解题的关键．