贵州省毕节市梁才学校2020届高三上学期一诊模拟数学（理）试卷 Word版含答案

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（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．已知集合，集合，则（   ）

A． B． C． D．

2．若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（    ）

A． 第一象限       B． 第二象限       C． 第三象限      D． 第四象限

3．甲乙两名同学次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为、，标准差分别为、，则（   ）

A．

B．

C．

D．

4．若tanα＝2，则=（   ）

A．             B．               C．1               D．

5.根据如图所示的框图，当输入x为6时，输出的y等于(　　)

A．1              B．2                 C．5             D．10

6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，且|φ|<)的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是(　　)

A．[－，]                  B．[－，]

C．[－，]                  D．[－，－]

7. 在2019年高中学生信息技术测试中，经统计，我校高三学生的测试成绩，若已知，则从我校高三年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为（    ）

A. 0.86 B. 0.14 C. 0.36 D. 0.64

8．已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m－3)>0，那么实数m的取值范围是(　　)

A.               B.           C．(1,3)         D.

9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积等于（    ）

A．                B．         

   C．                 D．

10．若函数的定义域为，其导函数为．若恒成立，，则解集为（    ）

A．           B．         C．         D．

11．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（   ）

A． B．  C． D．

12．定义：如果函数的导函数为，在区间上存在，使得，，则称为区间上的"双中值函数"．已知是上的"双中值函数"，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.设满足约束条件，则的最小值为_________.

14．若向量， 满足： ， ， ，则________. 

15．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为_________．

16．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即的面积，其中分别为内角的对边.若，且，则的面积的最大值为__________．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将答案写在答题纸相应位置）

17. （本小题满分12分）在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an，n∈N*.

(1)求证：数列{}为等比数列；  (2)求数列{an}的前n项和Sn.

18. （本小题满分12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF=1.

（1）求证：AD⊥平面BFED；

（2）点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE二面角为，试求的最小值.

19.（本小题满分12分）有一名高三学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表

若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）

（Ⅰ）求该学生参加自主招生考试的概率；

（Ⅱ）求该学生参加考试的次数的分布列及数学期望；

20.（本小题满分12分）

已知是圆：上任意一点，，线段的垂直平分线与半径交于点，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）记曲线与轴交于两点，是直线上任意一点，直线，与曲线的另一个交点分别为，求证：直线过定点.

21.（本小题满分12分）已知函数.

（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；

（2）若函数有两个不同的极值点，记作，，且，证明：（为自然对数的底数）.

（本题10分）请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋)，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点.

(1)求圆C的普通方程和直线l直角坐标方程；

(2)求△PAB面积的最大值.

23．已知函数．

（1）若不等式有解，求实数的最大值；

（2）在（1）的条件下，若正实数，满足，证明：．

理科数学参考答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

13．-2     14．    15．   16. 

三、解答题：

17、【解析】(1)证明：由an＋1＝an知＝·，   ··········（4分）

∴是以为首项，为公比的等比数列．             ··········（6分）

(2)由(1)知是首项为，公比为的等比数列，∴＝n，∴an＝，··········（8分）

∴Sn＝＋＋…＋，①    则Sn＝＋＋…＋，②        ··········（10分）

①－②得：Sn＝＋＋＋…＋－＝1－，   ∴Sn＝2－.·········（12分）

18、【解析】（1）证明：在梯形ABCD中，

∥，，∠=120°，∴

∴∴

∵平面平面，平面平面=，，

∴······················（6分）

（2）分别以直线为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，

令则

∴  ················（8分）

设平面PAB的法向量，由得

取则，······················（10分）

∵是平面ADE的一个法向量，

∴.

∵∴当时，有最大值，∴的最小值为.    ·······（12分）

19. 【解析】（Ⅰ）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为，，

则，，.

即该学生参加自主招生考试的概率为0.9.                      ---------6分

（Ⅱ）该该学生参加考试的次数的可能取值为2，3，4

；；

.                      ---------10分

所以的分布列为    

.                         ---------12分

20、【解析】（1）由线段的垂直平分线与半径交于点，得，          ……2分

所以点的轨迹为以焦点，长轴长为的椭圆， 故 ， ，    曲线的方程为           ……5分

（2）由（1）得 ,设点的坐标为 ，直线的方程为: ，                                          ……6分

将与联立整理得： ，

设点的坐标为 ，则 ，故，则  ，                            ……8分

直线的方程为:，将与联立整理得：，

设点的坐标为 ，则 ，故，则，                                 ……10分

的斜率为 

的斜率为

因为 ，所以直线经过定点.                       ……12分

21.【解析】（1）由题可知，函数的定义域为，，

因为函数在区间上为增函数，所以在区间上恒成立，

等价于，即，所以的取值范围是.  ······················（5分）

（2）由题得，，则，因为有两个极值点，，

所以，，欲证等价于证，

即，所以，因为，所以原不等式等价于.

由，，可得，则，

由此可知，原不等式等价于，即.

设，则，则上式等价于.

令，则，

因为，所以，所以在区间上单调递增，

所以当时，，即，

所以原不等式成立，即.   ······················（12分）

22． 【解析】　(1)由圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋)，得

ρ2＝2(ρcosθ－ρsinθ)，把代入可得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.   由题意，得直线l的直角坐标方程为2x－y－1＝0. ·········5分

（2）圆心(1，－1)到直线l的距离d＝＝，∴AB＝2＝2＝.

点P到直线l的距离的最大值为r＋d＝＋＝，

∴Smax＝××＝.                              ·········10分

23．解（1）若不等式有解，只需的最大值即可．

因为，所以，解得，

所以实数的最大值．·········5分

（2）根据（1）知正实数，满足，

由柯西不等式可知，所以，，

因为，均为正实数，  所以(当且仅当时取“=”)．·········10分