2020届贵州省铜仁第一中学高三上学期第二次模拟数学（理）试题（解析版）

2020届贵州省铜仁第一中学高三上学期第二次模拟数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】考查集合的基本运算，由条件可计算出A、B两集合，然后计算即可.

【详解】

由题可得：；

，故选择D.

【点睛】

考查集合的基本运算.属于简单题.

2．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（  ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【解析】考查复数基本概念，由可计算出，即可得出选项

【详解】

由，选择C.

【点睛】

考查复数的基本概念，属于基础题.

3．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：

将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（  ）

A．抽样表明，该校有一半学生为阅读霸

B．该校只有50名学生不喜欢阅读

C．该校只有50名学生喜欢阅读

D．抽样表明，该校有50名学生为阅读霸

【答案】A

【解析】根据频率分布直方图得到各个时间段的人数，进而得到结果.

【详解】

根据频率分布直方图可列下表：

抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校有一半学生为阅读霸.

故选A.

【点睛】

这个题目考查了频率分布直方图的实际应用，以及样本体现整体的特征的应用，属于基础题.

4．已知为等边三角形，则(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】判断两向量夹角容易出错，是，而不是

【详解】

由图发现的夹角不是而是其补角，

【点睛】

本题考查的是两向量夹角的定义，属于易错题，该类型题建议学生多画画图.

5．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（  ）

A．关于直线对称 B．关于直线对称

C．关于点对称 D．关于点对称

【答案】A

【解析】由的最小正周期，可以求出，从而可以简单的判断出其相关性质

【详解】

，所以，即，

令关于对称，可判断A正确，B错误；

关于对称，可判断C、D错误.

【点睛】

根据三角函数的性质求参数，确定表达式后，再次研究其相关性质（对称性、奇偶性、单调性、周期性等），属于中档题.

6．已知等差数列的前13项之和为，则等于（ ）

A． B． C．—1 D．1

【答案】C

【解析】根据等差数列的前13项之和 ,求得,则,运算求得结果.

【详解】

由题意可得,
则,
故选C.

本题考查等差数列的定义和性质,前n项和公式的应用,求出,是解题的关键.

7．函数的部分图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】【详解】

函数是偶函数，排除AD;且

当 排除B,选C.

点睛：这个题目考查的是由函数的解析式画函数的图象；一般这种题目是排除法来做的；先找函数的定义域，值域，看是否和解析式相符；再看函数的对称性，奇偶性，看两者是否相符；还有可以判断函数的极限值．

8．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），下底宽2丈，长3丈；上底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（    ）

A．13.25立方丈 B．26.5立方丈 C．53立方丈 D．106立方丈

【答案】B

【解析】根据题目给出的体积计算方法，将几何体已知数据代入计算，求得几何体体积

【详解】

由题，刍童的体积为立方丈

【点睛】

本题考查几何体体积的计算，正确利用题目条件，弄清楚问题本质是关键．

9．设D为椭圆上任意一点，A（0，－2），B（0，2），延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为（  ）

A．x2＋（y－2）2＝20 B．x2＋（y－2）2＝5

C．x2＋（y＋2）2＝20 D．x2＋（y＋2）2＝5

【答案】C

【解析】由题意得，从而得到点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，进而可得其轨迹方程．

【详解】

由题意得，

又点为椭圆上任意一点，且为椭圆的两个焦点，

∴，

∴，

∴点的轨迹是以点A为圆心，半径为的圆，

∴点的轨迹方程为．

故选C．

【点睛】

本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到，然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．

10．已知函数的最大值为，最小值为，则的值为（   ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】由奇函数性质可以知道，其最大值与最小值互为相反数，本题中可以将转化为，其中为奇函数.

【详解】

，令，即

而是在R上的奇函数，设其最大值为,最小值为，由奇函数性质可得，所以，故选择C

【点睛】

求函数最大值最小值问题，我们时常会考虑函数是否有奇偶性，值得注意奇函数最大值与最小值的和为0，本题中构造奇函数加常数型的函数，难度较大.

11．已知函数，给定以下命题：

①为偶函数；②为周期函数，且最小正周期为；③若，则恒成立。

正确的命题个数为（   ）个。

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】根据函数奇偶性的定义判断①；根据周期性的定义判断②；利用判断③.

【详解】

定义域为R，

因为,所以①正确.

,所以②正确；又所以③错误.故选C.

【点睛】

与三角函数为载体，考查函数奇偶性、周期性及恒成立问题，奇偶性、周期性更多直接借助定义来判断，判断恒成立问题，我们可以借助某些特殊值不符合，从而判断其为假命题，本题难度较大.

12．已知函数，若方程有4个不同的实根，且，则(   )

A．12 B．16 C．18 D．20

【答案】D

【解析】根据函数图象的翻折，做出图象，寻找出相对应的关系

【详解】

可以画出如上图的图象，由性质可知：

，

，

故选择D.

【点睛】

本题是一道函数及其图象的综合性考题，难度很大，该类型考题首先考查利用函数的平移、伸缩、翻折得出复杂函数的图象，并根据跟的分布得出对应交点横坐标的关系，而不是蛮干.

二、填空题

13．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于________.

【答案】－24

【解析】由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．

【详解】

由于 x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=-3，
故此等比数列的前三项分别为-3，-6，-12，故此等比数列的公比为2，故第四项为-24，
故答案为-24.

【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．

14．函数,若，则__________．

【答案】2

【解析】根据解析式得到a的范围，进而得到，解出参数a=1,代入表达式得到.

【详解】

由时是减函数可知，若，则，∴，由得，解得，则.

故答案为：2.

【点睛】

这个题目考查了分段函数的应用，解决分段函数求值问题的策略

(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。

(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决。

(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。

15．在中，已知，，则________.

【答案】.

【解析】先根据三角形内角的性质，结合三角函数值求出内角的取值范围，然后根据同角的三角函数关系式结合三角形内角和定理和两角和的余弦公式进行求解即可.

【详解】

因为角是三角形的内角，所以由，或

，因为角是三角形的内角，所以由，由三角形内角和定理可得，

由，，

所以.

故答案为：

【点睛】

本题考查了同角的三角函数关系式和两角和的余弦公式的应用，考查了数学运算能力.

16．已知函数．若存在，使得，则实数的取值范围是____．

【答案】

【解析】【详解】

解答：

∵f(x)=ex(x−b)，

∴f′(x)=ex(x−b+1)，

若存在x∈[ ,2],使得f(x)+xf′(x)>0，

则若存在x∈[,2],使得ex(x−b)+xex(x−b+1)>0，

即存在x∈[,2],使得b< 成立，

令 ，

则 ，

g(x)在 递增，

∴g(x)最大值=g(2)= ，

则实数的取值范围是

三、解答题

17．已知，，函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）当时，求函数的值域，

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据平面向量数量积坐标表示公式、二倍角的正弦公式、降幂公式、辅助角公式化简函数的解析式，最后根据正弦型函数的最小正周期公式求解即可；

（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可.

【详解】

（1），∴；

（2）∵，∴，所以函数的值域为.

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了二倍角的正弦公式、降幂公式、辅助角公式，考查了正弦型函数的最小正周期公式，考查了正弦型函数在闭区间上值域问题，考查了数学运算能力.

18．已知公差不为0的等差数的前3项和＝9，且成等比数列

（1）求数列的通项公式；

（2）设为数列的前n项和，求证 .

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】（1）    考查等差数列通项公式的计算，我们可以直接设，通过方程算出

（2）    考查裂项相消法，在计算中要注意提取相应倍数

【详解】

（1）由＝9得：①；

成等比数列得：②；

联立①②得；  故

（2）∵    

 ∴

【点睛】

以等差数列为载体，考查等差数列通项公式的计算，裂项相消法求新数列的前n相和，并且考查了分离参数方法判断值小于，属于常规题，难度不大.

19．在中，角的对边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）已知外接圆半径,求的周长.

【答案】（1）（2）3+3

【解析】（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函数关系式化简整理并结合范围0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周长．

【详解】

（1）

，

即

又    

（2） ,

∵，

∴由余弦定理得 a2＝b2+c2﹣2bccosA，

∴，

∵c＞0，所以得c=2,

∴周长a+b+c=3+3．

【点睛】

本题考查三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．

20．设函数，其中.

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若，求函数的极值.

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】（1）具体函数求在某点处切线问题，对函数求导确定直线斜率求出切线方程

（2）求极值步骤：求根，比较根大小（如果根大小关系不确定）进行讨论，依据不同情况列表，根据表格得出结论

【详解】

（1）当时，

  且，∴切线方程为

 （2），令

        ①若，列表如下

因此，函数的极小值为，函数的极大值为.

   ②若，列表如下

因此，函数的极小值为，函数的极大值为.

【点睛】

（1）求切线方程要区分“过某点”与“在某点处”的切线方程

（2）求极值并不只是考虑，还需要考虑根两侧导函数值是否编号；当根大小不能确定，我们还需要有效的讨论.

21．已知函数，且.

（1）判断函数的单调性；

（2）若方程有两个根为，，且，求证：.

【答案】（1）在上是单调递减，在上是单调递增；（2）详见解析.

【解析】（1）定积分为载体，可求解的值，从而不含有参数，求其单调性，变为常规题.

（2）可以通过比值代换法，经过代数变形，将所证的双变量的不等式化为单变量的函数不等式，再次构造关于的函数，研究最值从而得证.

【详解】

（1）函数的定义域：.

 ，∴，∴，

令，解得，故在上是单调递减；

令，解得，故在上是单调递增．

（2）由，为函数的两个零点，得，，

两式相减，可得，即，，

因此，，令，

由，得．则，

构造函数， 则，

∴函数在上单调递增，故，

即，可知．故命题得证．

【点睛】

不含参函数单调性研究，属于简单题

该类型考题在前几年高考中出现过——极值点偏移问题；本题中运用做差法去除参数m的干扰，搭建起关于双变量的等量关系（并且还是其次），可以通过比值代换法将双变量变为单变量函数，从双变量到单变量，达到划归的思想.从而得证.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设点，直线和曲线交于两点，求的值．

【答案】（1）曲线的普通方程为,直线的直角坐标方程为;（2）.

【解析】（1）考察参数方程、极坐标方程、直角坐标方程互化，常规化考题

（2）该类型考题多注意恰好在直线上，从而将直线直角坐标方程化为过P的参数方程，利用参数方程及参数几何意义就可以完成本题。

【详解】

（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

所以曲线C的普通方程为.

因为，所以.

所以直线的直角坐标方程为.

（2）由题得点在直线l上，直线的参数方程为，

代入椭圆的方程得，所以，

∴.

【点睛】

属于常规考题，考察了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程互化。属于简单题，多注重直线的参数方程及其几何意义的运用，常见的问题有求，， 等值.

23．已知函数.

（I）求不等式；

（II）若不等式的解集包含，求实数的取值范围..

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）利用零点分类讨论法解不等式；（Ⅱ）即在恒成立，

即，即，再化为在恒成立解答即可.

【详解】

解：（Ⅰ）.

当时，，即，解得；

当时，，即，解得；

当时，，即，解得.

综上，不等式的解集为.

（Ⅱ）对，恒成立，

即在恒成立，

即，

，

在恒成立，

.

【点睛】

本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.