2021-2022学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷 解析版

这是一份2021-2022学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列两个图形一定是相似图形的是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形
2．（3分）若2a＝3b，则＝（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
3．（3分）关于二次函数y＝（x+1）2﹣2的最大值或最小值，下列叙述正确的是（　　）
A．当x＝1时，y有最大值﹣2 B．当x＝﹣1时，y有最小值﹣2
C．当x＝1时，y有最小值﹣2 D．当x＝﹣1时，y有最大值﹣2
4．（3分）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．可能性很小的事件不可能发生
B．可能性很大的事件必然发生
C．必然事件发生的概率为1
D．不确定事件发生的概率为
6．（3分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，且＝4，则＝（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（　　）
A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
8．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则BC的值为（　　）
A．3﹣ B．1+ C．﹣1 D．﹣2
9．（3分）已知，线段AB＝2，点C为平面上一点，若∠ACB＝30°，则线段AC的最大值是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．
10．（3分）在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1（a是常数，a≠0）．
①无论a取何值，该函数图象必定经过两个定点．
②如果在﹣1＜x＜0时，始终有y随x的增大而减小，则﹣1≤a≤1且a≠0．
则（　　）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）。
11．（4分）两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1：　 　．
12．（4分）有三辆车按1、2、3编号，两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐1号车的概率是 　 　．
13．（4分）函数y＝（x﹣2）2﹣（x﹣2）图象的对称轴是 　 　．
14．（4分）如图，在⊙O中，若∠BAC＝24°，∠ACB＝42°，则∠ACO＝　 　．

15．（4分）已知扇形的面积为24πcm2，圆心角为216°，则该扇形的弧长是 　 　．
16．（4分）如图，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE．将△ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG的位置（点F在正方形ABCD内部），连接DG．若AB＝10，BE＝6，DG∥AF，则CH＝　 　．

三、解答题（本大题有7个小题，共66分）。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球，若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率．

18．（8分）设二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0），部分对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
（1）试判断该函数图象的开口方向．
（2）当x＝4时，求函数y的值．
（3）根据你的解题经验，直接写出ax2+bx﹣3＜﹣3的解．
19．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长．

20．（10分）某宾馆有240间标准房，当标准房价格150元时，每天都客满．市场调查表明，当房价在150～225元之间（含150元，225元）浮动时，每提高25元，日均入住客房数减少20间．如果不考虑其它因素，宾馆将标准房价格提高到多少元时，客房的日营业收入最大？
21．（10分）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．
（1）求证：＝．
（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．

22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）．
（1）若a＝1，当x＝﹣1时，y＝4，求y的函数表达式．
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标．
（3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2≥．
23．（12分）已知，锐角三角形ABC内接于⊙O．
（1）如图1，当点A是的中点时，
①求证：AO⊥BC．
②若BC＝8，AB＝4，求⊙O的半径．
（2）如图2，当AB＞AC时，连接BO并延长，交边AC于点D．若∠A＝45°，，求．


2021-2022学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）下列两个图形一定是相似图形的是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【分析】根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可．
【解答】解：A、两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，不一定是相似图形，故此选项不符合题意；
C、两等腰三角形不一定相似，故此选项不符合题意；
D、两个等边三角形一定相似，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）若2a＝3b，则＝（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据比例的基本性质进行转化可求解．
【解答】解：∵2a＝3b，
∴＝．
故选：A．
3．（3分）关于二次函数y＝（x+1）2﹣2的最大值或最小值，下列叙述正确的是（　　）
A．当x＝1时，y有最大值﹣2 B．当x＝﹣1时，y有最小值﹣2
C．当x＝1时，y有最小值﹣2 D．当x＝﹣1时，y有最大值﹣2
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴当x＝﹣1时，y有最小值﹣2；
∴B正确，
故选：B．
4．（3分）一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据正多边形的中心角＝计算即可．
【解答】解：设正多边形的边数为n．
由题意可得：＝72°，
∴n＝5，
故选：B．
5．（3分）下列说法正确的是（　　）
A．可能性很小的事件不可能发生
B．可能性很大的事件必然发生
C．必然事件发生的概率为1
D．不确定事件发生的概率为
【分析】事件的可能性主要看事件的类型，事件的类型决定了可能性及可能性的大小．
【解答】解：A、可能性很小的事件也可能发生，故本选项错误，不符合题意；
B、可能性很大的事件不是必然事件，不一定发生，故本选项错误，不符合题意；
C、必然事件发生的概率为1，故本选项正确，符合题意；
D、不确定事件发生的概率是不确定的，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，且＝4，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵＝4，
∴＝，
∴＝＝．
故选：C．
7．（3分）要得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，可以将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象（　　）
A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
【分析】根据抛物线顶点的变换规律得到正确的选项．
【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣3）2的顶点坐标是（3，0），抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（2，3），
所以将顶点（3，0）向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到顶点（2，3），
即将函数y＝﹣（x﹣3）2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象．
故选：C．
8．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2，则BC的值为（　　）
A．3﹣ B．1+ C．﹣1 D．﹣2
【分析】由黄金分割的定义求出AC的长，即可求解．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2，
∴AC＝AB＝﹣1，
∴BC＝AB﹣AC＝3﹣，
故选：A．
9．（3分）已知，线段AB＝2，点C为平面上一点，若∠ACB＝30°，则线段AC的最大值是（　　）
A．2 B．2 C．4 D．
【分析】以AB为边作等边三角形OAB，作△OAB的外接圆O，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：以AB为边作等边三角形OAB，作△OAB的外接圆O，
∵∠ACB＝30°，
∴点C在优弧AB上，
当AC为圆O的直径时，AC最大，最大值为4，
故选：C．

10．（3分）在平面直角坐标系中，设函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1（a是常数，a≠0）．
①无论a取何值，该函数图象必定经过两个定点．
②如果在﹣1＜x＜0时，始终有y随x的增大而减小，则﹣1≤a≤1且a≠0．
则（　　）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【分析】①把二次函数关系式y＝ax2+（a﹣1）x﹣1化为y＝ax2+（a﹣1）x﹣1＝ax（x+1）﹣（x+1）＝（x+1）（ax﹣1），可以判断两个定点；
②分两种情况讨论，顶点关于a的不等式，解不等式即可求得．
【解答】解：①∵y＝ax2+（a﹣1）x﹣1＝ax（x+1）﹣（x+1）＝（x+1）（ax﹣1），当x＝﹣1时，y＝0，当x＝﹣（a≠0）时，y＝0，
∴无论a取何值，该函数图象必过两定点（﹣1，0），（﹣，0），故①正确；
②函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1（a是常数，a≠0）的对称轴为直线x＝﹣＝﹣+，
当a＞0时，如果在﹣1＜x＜0时，始终有y随x的增大而减小，
则﹣+≥0，解得a≤1，
∴0＜a≤1，
当a＜0时，如果在﹣1＜x＜0时，始终有y随x的增大而减小，
则﹣+≤﹣1，解得a≥﹣1，
∴﹣1≤a＜0，
综上，如果在﹣1＜x＜0时，始终有y随x的增大而减小，则﹣1≤a≤1且a≠0，故②正确；
故选：A．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）。
11．（4分）两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1：　60000000　．
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离列式计算即可．
【解答】解：1200千米＝120000000厘米，
2：120000000＝1：60000000．
故答案为：60000000．
12．（4分）有三辆车按1、2、3编号，两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐1号车的概率是 　　．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两位老师同坐1号车的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两位老师同坐1号车的结果有1种，
∴两位老师同坐1号车的概率为，
故答案为：．
13．（4分）函数y＝（x﹣2）2﹣（x﹣2）图象的对称轴是 　直线x＝　．
【分析】把解析式化成交点式，利用二次函数的对称性即可求得对称轴．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣（x﹣2）＝（x﹣2）（x﹣2﹣1）＝（x﹣2）（x﹣3），
∴抛物线与x轴的交点为（2，0），（3，0），
∴函数y＝（x﹣2）2﹣（x﹣2）图象的对称轴是直线x＝＝，
故答案为：直线x＝．
14．（4分）如图，在⊙O中，若∠BAC＝24°，∠ACB＝42°，则∠ACO＝　24°　．

【分析】利用圆周角定理求出∠AOB，∠BOC，可得结论．
【解答】解：∵∠BAC＝24°，∠ACB＝42°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝48°，∠AOB＝2∠ACB＝84°，
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝132°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝（180°﹣132°）＝24°，
故答案为：24°．
15．（4分）已知扇形的面积为24πcm2，圆心角为216°，则该扇形的弧长是 　cm　．
【分析】设扇形的半径是rcm，根据扇形的面积公式得出＝24π，求出半径，再根据弧长公式求出弧长即可．
【解答】解：设扇形的半径是rcm，
∵扇形的面积为24πcm2，圆心角为216°，
∴＝24π，
解得：r＝2（负数舍去），
所以扇形的弧长为＝（cm），
故答案为：cm．
16．（4分）如图，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE．将△ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG的位置（点F在正方形ABCD内部），连接DG．若AB＝10，BE＝6，DG∥AF，则CH＝　　．

【分析】由“HL”可证Rt△AFH≌Rt△ADH，可得FH＝DH，由“AAS”可证△DHG≌△FHN，可得HG＝HN，可得ND＝FG＝6，由勾股定理可求AG，FN，DH，即可求解．
【解答】解：如图，连接AH，过点F作FN⊥CD于点N，FG⊥AD于点G，

∵将△ABE绕着点A逆时针旋转到△AFG的位置，
∴AB＝AF，∠ABE＝∠AFG＝90°，BE＝FG＝6，
∴AF＝AD，
在Rt△AFH和Rt△ADH中，
，
∴Rt△AFH≌Rt△ADH（HL），
∴FH＝DH，
∵DG∥AF，
∴∠AFG＝∠DGF＝90°，
在△DHG和△FHN中，
，
∴△DHG≌△FHN（AAS），
∴HG＝HN，
∴DN＝DH+HN＝FH+HG＝FG＝6，
∵FN⊥CD，FG⊥AD，∠ADC＝90°，
∴四边形GDNF是矩形，
∴GD＝FN，GF＝DN＝6，
∴AG＝＝＝8，
∴GD＝2＝FN，
∵FH2＝HN2+FN2，
∴DH2＝（6﹣DH）2+4，
∴DH＝，
∴CH＝DC﹣DH＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题有7个小题，共66分）。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球，若摸到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，不放回，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率．

【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的结果有2种，
∴得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为＝．
18．（8分）设二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0），部分对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
…
（1）试判断该函数图象的开口方向．
（2）当x＝4时，求函数y的值．
（3）根据你的解题经验，直接写出ax2+bx﹣3＜﹣3的解．
【分析】（1）根据表格中对称点（0，﹣3），（2，﹣3）可求图象对称轴，由图象对称轴左侧的y随x增大而减小可得抛物线开口向上；
（2）根据二次函数的对称性即可求得；
（3）根据二次函数的性质即可求得．
【解答】解：（1）∵图象经过（0，﹣3），（2，﹣3），
∴图象对称轴为直线x＝＝1，
由表格可得，x＜1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线图象开口向上；、
（2）∵（﹣2，5）关于直线x＝1的对称点是（4，5），
∴x＝4时，函数y的值为5；
（3）∵抛物线开口向上，且经过点（0，﹣3），（2，﹣3），
∴当0＜x＜2时，ax2+bx﹣3＜﹣3，
故ax2+bx﹣3＜﹣3的解为0＜x＜2．
19．（8分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E是边AC上一点，且满足∠ADE＝∠B．
（1）证明：△ADB∽△AED．
（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长．

【分析】（1）证出∠BAD＝∠EAD．根据相似三角形的判定可得出结论；
（2）由相似三角形的性质可得出，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠EAD．
∵∠ADE＝∠B，
∴△ADB∽△AED．
（2）解：∵△ADB∽△AED，
∴，
∵AE＝3，AD＝5，
∴，
∴AB＝．
20．（10分）某宾馆有240间标准房，当标准房价格150元时，每天都客满．市场调查表明，当房价在150～225元之间（含150元，225元）浮动时，每提高25元，日均入住客房数减少20间．如果不考虑其它因素，宾馆将标准房价格提高到多少元时，客房的日营业收入最大？
【分析】首先设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，以及客房租金总收入为y，建立y与x的关系式，并通过二次函数求解最大值．
【解答】解：设宾馆客房租金每间日租金提高x个25元，将有20x间客房空出，客房租金总收入为y．
由题意可得：
y＝（150+25x）（240﹣20x）
＝﹣500x2+3000x+36000
＝﹣500（x﹣3）2+40500
当x＝3时，y最大值＝40500．
因此每间租金150+25×3＝225元时，客房租金总收入最高，日租金40500元．
21．（10分）如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M．
（1）求证：＝．
（2）连接AC，AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC+2∠BAD＝90°．

【分析】（1）利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可；
（2）利用圆周角定理，三角形内角和定理，三角形的外角的性质解决问题．
【解答】（1）证明：如图，∵AB＝CD，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝．

（2）证明：连接AD．

∵＝，
∴∠ADC＝∠BAD，
∴∠AMC＝∠MAD+∠MDA＝2∠BAD，
∵AD是直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAB+∠AMC＝90°，
∴∠CAB+2∠BAD＝90°．
22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）．
（1）若a＝1，当x＝﹣1时，y＝4，求y的函数表达式．
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此函数的顶点坐标．
（3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2≥．
【分析】（1）把a＝1代入二次函数的关系式，再把x＝﹣1，y＝4代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式；
（2）令y＝0，则ax2+bx+2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标；
（3）根据题意得到4a+2b+2＝2a+4b，整理得b＝a+1，则a2+b2＝2a2+2a+1＝2（a+）2+，根据二次函数的性质即可得到a2+b2≥．
【解答】（1）解：把a＝1代入得，y＝x2+bx+2，
∵当x＝﹣1时，y＝4，
∴4＝1﹣b+2，
∴b＝﹣1，
∴二次函数的关系式为y＝x2﹣x+2；
（2）解：令y＝0，则ax2+bx+2＝0，
当Δ＝0时，则b2﹣8a＝0，
∴b2＝8a，
∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，
∴此时函数为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2，
∴此函数的顶点坐标为（﹣1，0）；
（3）证明：∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），
∴4a+2b+2＝2a+4b，
∴2a+2＝2b，
∴b＝a+1，
∴a2+b2
＝a2+（a+1）2
＝2a2+2a+1
＝2（a+）2+，
∴a2+b2≥．
23．（12分）已知，锐角三角形ABC内接于⊙O．
（1）如图1，当点A是的中点时，
①求证：AO⊥BC．
②若BC＝8，AB＝4，求⊙O的半径．
（2）如图2，当AB＞AC时，连接BO并延长，交边AC于点D．若∠A＝45°，，求．

【分析】（1）①由题意可得AB＝AC，可证AO是BC的垂直平分线，可得结论；
②由等腰三角形的性质可得BP＝CP＝4，由勾股定理可求AP的长，BO的长，即可求解；
（2）设BO＝3a＝OC＝OH，OD＝2a，由勾股定理可求CD长，CH的长，通过证明△ACH∽△HCD，可求AD的长，即可求解．
【解答】（1）①证明：连接OB，OC，设AB与BC交于点P，

∵点A是的中点，
∴＝，
∴AB＝AC，
又∵OB＝OC，
∴AO是BC的垂直平分线，
∴AO⊥BC；
②∵AB＝AC，AP⊥BC，
∴BP＝CP＝4，
∴AP＝＝＝8，
∵BO2＝OP2+BP2，
∴BO2＝（8﹣OB）2+16，
∴BO＝5，
∴⊙O的半径为5；
（2）延长BD交⊙O于点H，连接CH，CO，AH，

∵，
∴设BO＝3a＝OC＝OH，OD＝2a，
∴DH＝a，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，
∴CD＝＝＝a，CH＝＝＝3a，
∵∠ACH＝∠DCH，∠BAC＝∠∠BHC＝45°，
∴△ACH∽△HCD，
∴，
∴，
∴AC＝a，
∴AD＝AC﹣CD＝a﹣a＝a，
∴＝＝．