高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习37《离散型随机变量的分布列、期望、方差》 (教师版)

刷题增分练 37　离散型随机变量的分布列、期望、方差

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一、选择题

1．随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，c为常数，k＝1,2,3,4，则P的值为(　　)

A.　　　 B.        C.       D.

答案：B

解析：由已知，＋＋＋＝1，解得c＝，

∴P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.

2．口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，用ξ表示取出的球的最小号码，则E(ξ)＝(　　)

A．0.45  B．0.5

C．0.55  D．0.6

答案：B

解析：ξ的所有可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.

3．已知ξ～B，并且η＝2ξ＋3，则方差D(η)＝(　　)

A.  B.

C.  D.

答案：A

解析：由题意知，D(ξ)＝4××＝，

∵η＝2ξ＋3，∴D(η)＝4D(ξ)＝4×＝.

4．已知随机变量ξ的分布列为

若E(ξ)＝，则D(ξ)＝(　　)

A．1    B.        C.      D．2

答案：B

解析：∵E(ξ)＝，∴由随机变量ξ的分布列知，

∴

则D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.

5．已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝(　　)

A．3      B.          C.      D．4

答案：C

解析：由题意知ξ的可能取值为2,3,4，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝×＝，P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－－＝，∴E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.故选C.

6．设袋中有两个红球一个黑球，除颜色不同，其他均相同，现有放回地抽取，每次抽取一个，记下颜色后放回袋中，连续摸三次，X表示三次中红球被摸中的次数，每个小球被抽取的几率相同，每次抽取相对独立，则方差D(X)＝(　　)

A．2     B．1

C.      D.

答案：C

解析：每次取球时，取到红球的概率为、黑球的概率为，所以取出红球的概率服从二项分布，即X～B，所以D(X)＝3××＝，故选C.

7．某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过．已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是(　　)

A．3     B.       C．2     D.

答案：B

解析：每个轮次甲不能通过的概率为×＝，通过的概率为1－＝，因为甲3个轮次通过的次数X服从二项分布B，所以X的数学期望为3×＝.

8．已知0<a<，随机变量ξ的分布列如下：

当a增大时，则(　　)

A．E(ξ)增大，D(ξ)增大  B．E(ξ)减小，D(ξ)增大

C．E(ξ)增大，D(ξ)减小  D．E(ξ)减小，D(ξ)减小

答案：B

解析：由题意知，E(ξ)＝－2×a＋0×＋2×＝1－2a，D(ξ)＝(2a－3)2×a＋(2a－1)2×＋(1＋2a)2×＝－4a2＋8a＋1＝－4(a－1)2＋5.因为0<a<，所以当a增大时，E(ξ)减小，D(ξ)增大. 故选B.

二、非选择题

9．给出下列四个随机变量：①高速公路上某收费站一小时内经过的车辆数X1；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置X2；③某城市在一天内发生的火警次数X3；④某市一天内的气温X4.

其中是离散型随机变量的是________(写出所有满足条件的序号)．

答案：①③

解析：①中经过的车辆数和③中火警次数都能列举出来，而②④中的随机变量的取值都不能一一列举出来，所以①③中的随机变量是离散型随机变量．

10．设ξ是离散型随机变量， P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝，且x1<x2，若E(ξ)＝，D(ξ)＝，则x1＋x2的值为________．

答案：3

解析：∵E(ξ)＝，D(ξ)＝，P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝，∴×x1＋×x2＝　①，2×＋2×＝　②，由①②可得x1＝1，x2＝2，则x1＋x2＝3.

11．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，其中k＝1,2,3,4,5,6，则a＝________，E(ξ)＝________.

答案：　

解析：根据题意可知P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝，P(ξ＝6)＝，∴＋＋＋＋＋＝1，∴a＝，E(ξ)＝6a＝.

12．随机掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为m，已知向量＝(m,1)，＝(2－m，－4)，设X＝·，则X的数学期望 E(X)＝________.

答案：4

解析：∵＝＋＝(2，－3)，∴X＝·＝2m－3，∴X的分布列为

∴E(X)＝×(－1＋1＋3＋5＋7＋9)＝4.

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一、选择题

1．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么(　　)

A．n＝6   B．n＝4

C．n＝10  D．n＝9

答案：C

解析：由题意知，P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝＝0.3，故n＝10.

2．已知袋中有3个白球，2个红球，现从中随机取出3个球，其中每个白球计1分，每个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝(　　)

A.      B.

C．4      D.

答案：B

解析：由题意知，X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.

3．[2019·浙江嘉兴一中质检]随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝(　　)

A.2     B．3

C．4    D．5

答案：C

解析：p＝1－－＝，E(X)＝0×＋2×＋a×＝2⇒a＝3，

所以D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，所以D(2X－3)＝22D(X)＝4，故选C.

4．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止．若检测一台机器的费用为1 000元，则所需检测费的均值为(　　)

A．3 200元  B．3 400元

C．3 500元  D．3 600元

答案：C

解析：通解　设被检测机器的台数为X，则X的所有可能取值为2,3,4.因为P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以E(X)＝2×＋3×＋4×＝，所以所需检测费的均值为1 000×＝3 500(元)，故选C.

优解　设所需检测费为Y元，则Y的所有可能取值为2 000,3 000,4 000.因为P(Y＝2 000)＝＝，P(Y＝3 000)＝＝，P(Y＝4 000)＝＝，所以所需检测费的均值E(Y)＝2 000×＋3 000×＋4 000×＝3 500(元)，故选C.

5．若随机变量ξ的分布列如表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝(　　)

A.0.2      B．－0.2

C．0.8     D．－0.8

答案：B

解析：易知a，b∈[0,1]，由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8，由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，所以a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2.

6．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p(p>0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是(　　)

A.   B.    C.    D.

答案：C

解析：发球次数X的所有可能取值为1,2,3.P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2，∴E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，即4p2－12p＋5>0，解得p<或p>，又0<p<1，故0<p<.

7．设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E(ξ)＝(　　)

A．1  B．5

C．2  D.

答案：B

解析：由x2－2x－8≤0得－2≤x≤4，∴S＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，∵ξ＝m2，∴ξ可取的值分别为0,1,4,9,16，相应的概率分别为，，，，，∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＋16×＝5.故选B.

8．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　)

A.  B.        C.  D.

答案：B

解析：由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为2＋2＝.

若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．

所以P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，所以E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.故选B.

二、非选择题

9．设随机变量X的概率分布列为

则P(|X－3|＝1)＝________.

答案：

解析：由＋m＋＋＝1，解得m＝，

P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.

10．某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元．保险公司把职工从事的工作共分为A，B，C三类工种，根据历史数据统计出这三类工种的每年赔付频率如表所示，并以此估计赔付概率.

若规定该产品各工种保单的期望利润都不得超过保费的20%，则A，B，C三类工种每份保单保费的上限之和为________元．

答案：81.25

解析：设工种A的每份保单保费为a元，保险公司每份保单的利润为随机变量X，则X的分布列为

保险公司期望利润E(X)＝a＋(a－5×105)×＝(a－5)(元)，

根据规定知，a－5≤0.2a，

解得a≤6.25.

设工种B的每份保单保费为b元，同理可得保险公司期望利润为(b－10)元，根据规定知，b－10≤0.2b，解得b≤12.5，设工种C的每份保单保费为c元，同理可得保险公司期望利润为(c－50)元，根据规定知，c－50≤0.2c，解得c≤62.5.

则A，B，C三类工种每份保单保费的上限之和为6.25＋12.5＋62.5＝81.25(元)．

11．已知由甲、乙两名男生和丙、丁两种女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》，活动共有四关，设男生闯过第一至第四关的概率依次是，，，，女生闯过第一至第四关的概率依次是，，，.

(1)求男生闯过四关的概率；

(2)设X表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量X的分布列和期望．

解析：(1)记男生四关都闯过为事件A，则P(A)＝×××＝.

(2)记女生四关都闯过为事件B，则P(B)＝×××＝，

又随机变量X的取值为0,1,2,3,4.

因为P(X＝0)＝22＝，

P(X＝1)＝C···2＋C···2＝，

P(X＝2)＝C22＋C22＋C···C··＝，

P(X＝3)＝C···2＋C···2＝.

P(X＝4)＝22＝.

所以X的分布列如下：

E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝＝.