高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习26《空间点、线、面的位置关系》 (教师版)

刷题增分练 26　空间点、线、面的位置关系

刷题增分练  小题基础练提分快

一、选择题

1．下列说法正确的是(　　)

A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线

B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面

C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面

D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面

答案：D

解析：由异面直线的定义可知D正确．

2．如图，正方体或四面体中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四点不共面的是(　　)

答案：D

解析：A选项中，在正方体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；B选项中，在正方体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；C选项中，在四面体中，连接PS，QR，则PS∥QR，所以这四点共面；D选项中，在四面体中，连接PS，QR，则PS，QR异面，所以这四点不共面．故选D.

3．下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(　　)

A．①③　　B．②③

C．②④    D．②③④

答案：C

解析：由题意，可知题图①中，GH∥MN，因此直线GH与MN共面；题图②中，连接GN，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；题图③中，连接MG，则GM∥HN，因此直线GH与MN共面；题图④中，连接GN，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，所以直线GH与MN异面．故选C.

4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是(　　)

A．m⊥n        B．m∥n

C．m与n相交  D．m与n异面

答案：A

解析：若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.

当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故m⊥n，选A.

5．已知平面α及直线a，b，下列说法正确的是(　　)

A．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线平行

B．若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不可能垂直

C．若直线a，b平行，则这两条直线中至少有一条与平面α平行

D．若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直

答案：D

解析：若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线不一定平行；若直线a，b与平面α所成角都是30°，则这两条直线可能垂直；若直线a，b平行，这两条直线可能都和平面α相交(不平行)；若直线a，b垂直，则直线a，b不平行，而这两条直线与平面α都垂直等价于直线a，b平行，因此若直线a，b垂直，则这两条直线与平面α不可能都垂直．故选D.

6．设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个命题：

①若l⊥α，m⊥α，则l∥m；

②若m⊂β，n是l在平面β内的射影，l⊥m，则n⊥m；

③若m⊂α，n∥m，则n∥α；

④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β.

其中真命题为(　　)

A．①②    B．①②③

C．②③④  D．①③④

答案：A

解析：由直线与平面垂直的性质定理可得，垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以①为真命题；易得②为真命题；根据直线与平面平行的判定定理，平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行，③中缺少条件n⊄α，所以得到的结论可能为n∥α，也可能为n⊂α，所以③为假命题；若α⊥γ，β⊥γ，则得到的结论可能为β∥α，也可能为β，α相交，所以④为假命题．

7．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是(　　)

A．若m⊂α，则m⊥β       B．若m⊂α，n⊂β，则m⊥n

C．若m⊄α，m⊥β，则m∥α  D．若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α

答案：C

解析：选项A中，若m⊂α，则直线m和平面β可能垂直，也可能平行或相交，故选项A不正确；选项B中，直线m与直线n的关系不确定，可能平行，也可能相交或异面，故选项B不正确；选项C中，若m⊥β，则m∥α或m⊂α，又m⊄α，故m∥α，选项C正确；选项D中，缺少条件n⊂β，故选项D不正确，故选C.

8．已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是(　　)

A．30°  B．45°

C．60°  D．90°

答案：A

解析：如图．

取AC中点D，连接DN，DM，

由已知条件可得DN＝2，DM＝2.

在△MND中，∠DNM为异面直线PA与MN所成的角，

则cos∠DNM＝＝，∴∠DNM＝30°.

二、非选择题

9．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：

①若α∥β，则m⊥l；

②若α⊥β，则m∥l；

③若m⊥l，则α⊥β；

④若m∥l，则α⊥β.

其中正确的命题是________．

答案：①④

解析：对于①，若α∥β，m⊥α，l⊂β，则m⊥l，故①正确；对于②，若α⊥β，则m∥l或m⊥l或m与l异面，故②错误；对于③，若m⊥l，则α⊥β或α与β相交，故③错误；对于④，若m∥l，m⊥α，则l⊥α，又l⊂β，所以α⊥β，故④正确．

10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________．

答案：③④

解析：A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，C1∉AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理，AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，B∉MB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确．

11．如图所示，在三棱锥C－ABD中，E，F分别是AC和BD的中点．若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是______________．

答案：30°

解析：如图，取CB的中点G，连接EG，FG.则EG∥AB，FG∥CD，∴EF与CD所成的角为∠EFG.

又∵EF⊥AB，

∴EF⊥EG.在Rt△EFG中，EG＝AB＝1，FG＝CD＝2，

∴sin∠EFG＝，∴∠EFG＝30°，∴EF与CD所成的角为30°.

12．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，给出下列结论：

①A、M、O三点共线；②A、M、O、A1不共面；③A、M、C、O共面；④B、B1、O、M共面．

其中正确结论的序号为________．

答案：①③

解析：连接A1C1、AC，则A1C1∥AC，∴A1、C1、C、A四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O、A在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，∴A、M、O三点共线，故①正确．由①易知②错误，③正确．易知OM与BB1为异面直线，故④错误．

刷题课时增分练     综合提能力　课时练　赢高分

一、选择题

1．经过两条异面直线a，b外的一点P作与a，b都平行的平面，则这样的平面(　　)

A．有且仅有一个  B．恰有两个

C．至多有一个    D．至少有一个

答案：C

解析：(1)当点P所在位置使得a，P(或b，P)确定的平面平行b(或a)时，过点P作不出与a，b都平行的平面；(2)当点P所在位置使得a，P(或b，P)确定的平面与b(或a)不平行时，可过点P作a′∥a，b′∥b.因为a，b为异面直线，所以a′，b′不重合且相交于点P.因为a′∩b′＝P，a′，b′确定的平面与a，b都平行，所以可作出一个平面与a，b都平行．综上，选C.

2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是(　　)

A．直线AA1   B．直线A1B1

C．直线A1D1  D．直线B1C1

答案：D

解析：只有直线B1C1与直线EF在同一平面内，且两者是相交的，直线AA1，A1B1，A1D1与直线EF都是异面直线．

3．将下面的平面图形(图中每个点是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面体后，直线MN与PQ是异面直线的是(　　)

A．①②  B．②④

C．①④  D．①③

答案：C

解析：图②翻折后N与Q重合，两直线相交；图③翻折后两直线平行，因此选C.

4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：

①若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；

②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；

③若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；

④若m∥α，m⊥β，则α⊥β.

其中正确命题的序号是(　　)

A．①④  B．②③

C．②④  D．③④

答案：D

解析：①α与β可能相交，m，n都与α，β的交线平行即可，故该命题错误；②当α⊥β，m∥α时，m⊂β也可能成立，故该命题错误；③当m⊥α，m⊥n时，n⊂α或n∥α，又n⊥β，所以α⊥β，故该命题正确；④显然该命题正确．综上，选D.

5．若直线l与平面α相交，则(　　)

A．平面α内存在直线与l异面

B．平面α内存在唯一一条直线与l平行

C．平面α内存在唯一一条直线与l垂直

D．平面α内的直线与l都相交

答案：A

解析：当直线l与平面α相交时，这条直线与该平面内任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正确；该平面内不存在与直线l平行的直线，故B错误；该平面内有无数条直线与直线l垂直，所以C错误，平面α内的直线与l可能异面，故D错误，故选A.

6．一个正方体的展开图如图所示，A，B，C，D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中(　　)

A．AB∥CD  B．AB与CD相交

C．AB⊥CD  D．AB与CD所成的角为60°

答案：D

解析：如图，把展开图中的各正方形按图(1)所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图(2)所示的直观图，可得选项A，B，C不正确．图(2)中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°.∴正确选项为D.

7．如图，过正方体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面CB1D1平行的直线有(　　)

A．18条

B．20条

C．21条

D．22条

答案：C

解析：设各棱的中点如图所示(各点连线略)，其中与D1B1平行的有F1G1，E1H1，FG，EH，NL，共5条；与CD1平行的有G1M，GN，LE1，KE，H1F，共5条；与CB1平行的有F1M，FL，HK，NH1，GE1，共5条．分别取CB1，B1D1，CD1的中点如图，连接CO，D1P，B1T，与CO平行的有GH1，FE1，共2条；与D1P平行的有H1L，NF，共2条；与B1T平行的有E1N，GL，共2条．故与平面CB1D1平行的直线共有5＋5＋5＋2＋2＋2＝21(条)．

8．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是(　　)

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l

D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

答案：C

解析：

对于选项A，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误．对于选项B，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线n与m不垂直，故B错误．对于选项C，设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，∵m∥α，m⊂γ，α∩γ＝a，∴m∥a，同理可得m∥b.∴a∥b.∵b⊂β，a⊄β，∴a∥β.∵α∩β＝l，a⊂α，∴a∥l，∴l∥m.故C正确．对于选项D，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，则α∩β＝AB，α∩γ＝CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC⊂平面ABCD，故D错误．故选C.

二、非选择题

9．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．

答案：

解析：如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，AG，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝.

10．如图，在棱长均相等的四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：

①PC∥平面OMN；

②平面PCD∥平面OMN；

③OM⊥PA；

④直线PD与MN所成角的大小为90°.

其中正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)

答案：①②③

解析：

如图，连接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，结论①正确．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，结论②正确．由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，结论③正确．由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN∥AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB∥CD，又三角形PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°，所以直线PD与MN所成的角即∠PDC，故④错误．故正确的结论为①②③.

11．已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.

求证：(1)D，B，F，E四点共面；

(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线；

(3)DE，BF，CC1三线交于一点．

证明：(1)如图所示．

因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．

(2)在正方体AC1中，设A1CC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．

(3)∵EF∥BD且EF<BD，

∴DE与BF相交，设交点为M，

则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，

得M∈平面D1DCC1，同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，∴M∈CC1.

∴DE，BF，CC1三线交于点M.