2022高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第2讲充分条件与必要条件全称量词与存在量词学案

第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

1．充分条件、必要条件与充要条件的概念

[注意]　不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．

2．全称命题和特称命题

(1)全称量词和存在量词

(2)全称命题和特称命题

常用结论

1．集合与充要条件：设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B，

(1)p是q的充分不必要条件⇔AB；

(2)p是q的必要不充分条件⇔AB；

(3)p是q的充要条件⇔A＝B.

2．全称命题与特称命题的否定

(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．

常见误区

1．命题的条件与结论不明确致误；

2．含有大前提的命题的否命题易出现否定大前提而致误；

3．对充分必要条件判断不明致误．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)

(2)q不是p的必要条件时，“p⇒/ q”成立．(　　)

(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　)

(4)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√

2．(多选)下列命题的否定是全称命题且为真命题的有(　　)

A．∃x∈R，x2－x＋<0

B．所有的正方形都是矩形

C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0

D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0

解析：选AC.由条件可知：原命题为存在性命题且为假命题，所以排除BD；又因为x2－x＋＝≥0，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1>0，所以AC均为存在性命题且为假命题，故选AC.

3．设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(　　)

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C.由x>y推不出x>|y|，由x>|y|能推出x>y，所以“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件．

4．(易错题)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是__________________________．

答案：存在两个全等三角形的面积不相等

5．已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的________条件．

解析：当x－2＝时，两边平方可得(x－2)2＝2－x，即(x－2)(x－1)＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝，不成立，故舍去，则x＝2.所以p是q的充要条件．

答案：充要

　　　　　　全称命题与特称命题

[题组练透]

1．下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R，ex＞0 B．∀x∈N，x2＞0

C．∃x∈R，ln x＜1 D．∃x∈N*，sin x＝1

解析：选B.对于B.当x＝0时，x2＝0，因此B中命题是假命题．

2．(2021·沈阳市教学质量监测(一))命题p：∀x∈(0，＋∞)，x≠x，则綈p为(　　)

A．∃x∈(0，＋∞)，x＝x

B．∀x∈(0，＋∞)，x＝x

C．∃x∈(－∞，0)，x＝x

D．∀x∈(－∞，0)，x＝x

解析：选A.由全称命题的否定为特称命题知，綈p为∃x∈(0，＋∞)，x＝x，故选A.

3．(多选)(2021·徐州模拟)下列关于二次函数y＝(x－2)2－1的说法正确的是(　　)

A．∀x∈R，y＝(x－2)2－1≥1

B．∀a>－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1<a

C．∀a<－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1＝a

D．∃x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1

解析：选BD.对于二次函数y＝(x－2)2－1，其图象开口向上，对称轴为直线x＝2，最小值为－1，所以∀x∈R，y＝(x－2)2－1≥－1，所以A项错误；B项，∀a>－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1<a正确；C项，∀a<－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1＝a错误；D项，∃x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1正确．

4．(2020·盐城模拟)若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是____________．

解析：因为命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“∀t∈R，t2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.

答案：(－∞，－1]

全称命题与特称命题真假的判断方法

[提醒]　因为命题p与綈p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．　

　　　　　　充分条件、必要条件的判断

(1)(2021·镇江质检)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋2x－3>0”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)(2020·高考浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　)

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件

C．充分必要条件 

D．既不充分也不必要条件

【解析】　(1)解不等式|x－2|<1，即－1<x－2<1，解得1<x<3.

解x2＋2x－3>0即(x－1)(x＋3)>0，得x<－3或x>1.

记P＝{x|1<x<3}，Q＝{x|x<－3或x>1}．

显然PQ，所以“|x－2|<1”是“x2＋2x－3>0”的充分不必要条件．故选A.

(2)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交．由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内，故选B.

【答案】　(1)A　(2)B

充分条件、必要条件的两种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．

1．(2020·高考天津卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选A.由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.

2．(2021·开封市第一次模拟考试)若a，b是非零向量，则“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B.因为a，b为非零向量，a·b>0，所以由向量数量积的定义知，a与b的夹角为锐角或a与b方向相同；反之，若a与b的夹角为锐角，由向量数量积的定义知，a·b>0成立．故“a·b>0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．故选B.

　　　　　　充分条件、必要条件的探求及应用

已知条件p：集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，条件q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若p是q的必要条件，求m的取值范围．

【解】　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

所以P＝{x|－2≤x≤10}，

由p是q的必要条件，知S⊆P.

则所以0≤m≤3.

所以当0≤m≤3时，p是q的必要条件，

即所求m的取值范围是[0，3]．

【引申探究】

1．(变问法)本例条件不变，若x∈P的必要条件是x∈S，求m的取值范围．

解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，若x∈P的必要条件是x∈S，即x∈S是x∈P的必要条件，所以P⊆S，所以可以得到解得m≥9.故m的取值范围是[9，＋∞)．

2．(变问法)本例条件不变，是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？

解：不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，所以所以故满足题意的m不存在．

利用充要条件求参数的关注点

(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．

1．命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A．a≥9 B．a≤9

C．a≥10 D．a≤10

解析：选C.命题∀x∈[1，3]，x2－a≤0⇔∀x∈[1，3]，x2≤a⇔9≤a.则“a≥10”是命题“∀x∈[1，3]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选C.

2．(2021·南京调研)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．

解析：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是

即ac<0.

答案：ac<0

核心素养系列2　逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．

已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝x－，若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．

【解】　由题意知，g(x)在[0，2]上的值域为.

令h(x)＝f′(x)＋2ax＝3x2＋2x－a(a＋2)，

则h′(x)＝6x＋2，由h′(x)＝0得x＝－.

当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，所以[h(x)]min＝h＝－a2－2a－.

又由题意可知，h(x)的值域是的子集，所以

解得实数a的取值范围是[－2，0]．

(1)理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键．此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围．　

(2)解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质．

1．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________．

解析：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1，4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0)．

答案：(－∞，0)

2．已知函数f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．

解析：当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1，2]时，g(x)min＝g(2)＝－m.由f(x)min≥g(x)min，得0≥－m.所以m≥.

答案：