第八章 第二节 两条直线的位置关系课件PPT

课时跟踪检测（四十八）  两条直线的位置关系

[素养落实练]

1．直线x－y－1＝0与直线x＋y－1＝0的交点坐标为(　　)

A．(0,1)　　　　　　　 B．(0，－1)

C．(1,0)  D．(－1,0)

解析：选C　联立两直线的方程，得解得即交点坐标为(1,0)．

2．(多选)(2020·济宁高三月考)已知直线l1：(m－3)x－2y＋2＝0和直线l2：3mx－3y－5＝0垂直，则m＝(　　)

A．－1  B．1

C．2  D．－2

解析：选BC　因为直线l1：(m－3)x－2y＋2＝0和直线l2：3mx－3y－5＝0垂直，直线l1的斜率为k1＝，直线l2的斜率为k2＝m，所以k1·k2＝－1，即·m＝－1，解得m＝1或2，经检验成立．

3．与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程为(　　)

A．3x＋2y＋7＝0  B．3x＋2y－7＝0

C．2x－3y＋7＝0  D．3x－2y－7＝0

解析：选B　由题知与直线3x－2y＋7＝0关于y轴对称的直线方程为3(－x)－2y＋7＝0，即3x＋2y－7＝0.

4．两直线－＝a与－＝a(其中a为不为零的常数)的图象可能是(　　)

解析：选B　法一：直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线方程－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号，故排除A、C、D，选B.

法二：直线方程－＝a中用－x代换y，－y代换x，得－＝a，故两条直线关于直线y＝－x对称，故选B.

5．若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法错误的有(　　)

A．直线l2的斜率为定值

B．当c＝25时，|PQ|的最小值为

C．当|PQ|的最小值为1时，c＝20

D．c≠10

解析：选C　∵l1∥l2，＝3，≠5，∴a＝6，c≠10，故A、D正确；∵|PQ|的最小值为两平行直线间的距离，∴当c＝25时，d＝＝，故B正确；当|PQ|的最小值为1时，d＝＝1，解得c＝20或c＝0，故C错误．

6.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为(　　)

A．2　　　　　　B．1　　　　　　C.　 　　　　　D.

解析：选D 以AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0，设P(t,0)(0<t<4)，由对称知识可得点P关于BC所在直线的对称点P1的坐标为(4，4－t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t,0)，根据反射定律可知P1P2所在直线就是光线QR所在直线．由P1，P2两点坐标可得P1P2所在直线的方程为y＝·(x＋t)．设△ABC的重心为G，易知G.因为重心G在光线QR上，所以有＝，即3t2－4t＝0，解得t＝0或t＝.又因为0<t<4，所以t＝，即|AP|＝，故选D.

7．若直线l与直线2x－y－2＝0关于直线x＋y－4＝0对称，则直线l的方程为________________．

解析：由得即两直线的交点坐标为(2,2)，在直线2x－y－2＝0上取一点A(1,0)，设点A关于直线x＋y－4＝0的对称点的坐标为(a，b)，则解得即点A关于直线x＋y－4＝0的对称点的坐标为(4,3)，则直线l的方程为＝，整理得x－2y＋2＝0.

答案：x－2y＋2＝0

8．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．

解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，如图，

所以四边形的面积S＝2k2×2＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8＝42＋，故当k＝时，四边形面积最小．

答案：

9．已知点M(1,0)，N(2,0)，点P在直线2x－y－1＝0上移动，则|PM|2＋|PN|2的最小值为________，|PM|＋|PN|的最小值为________．

解析：∵点P在直线2x－y－1＝0上，

∴可设点P的坐标为(a,2a－1)，

∴|PM|2＋|PN|2＝(a－1)2＋(2a－1)2＋(a－2)2＋(2a－1)2＝10a2－14a＋7，

∴最小值为＝.

设点M′(x，y)和点M关于直线2x－y－1＝0对称，

则|PM|＋|PN|＝|PM ′|＋|PN|，当M ′，P，N三点共线时，

|PM ′|＋|PN|最小，此时|PM|＋|PN|＝|M ′N|，

由解得

∴|M ′N|＝ ＝，

即|PM|＋|PN|的最小值为.

答案：　

10．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．

(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

解：(1)由已知可得l2的斜率存在，

∴k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.

∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，∴b＝0.

又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾)，

∴此种情况不存在，∴k2≠0，即k1，k2都存在．

∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，

∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.                            ①

又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.                  ②

联立①②，解得a＝2，b＝2.

(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，

∴直线l1的斜率存在，k1＝k2，即＝1－a.③

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，

∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.④

联立③④，解得或

∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.

11．等腰直角三角形斜边所在直线过原点，且斜率为2，一条直角边所在直线l的方程为x－2y－8＝0，且此三角形的面积为5，求此直角三角形的直角顶点的坐标．

解：过原点且斜率为2的直线方程为y＝2x.

设直角顶点为C，C到直线y＝2x的距离为d，

则·d·2d＝5，解得d＝.

设l′是与直线y＝2x平行且距离为的直线，

则l′与l的交点就是C点．

设l′的方程是2x－y＋m＝0，则＝，

∴m＝±5，∴l′的方程是2x－y±5＝0.

由方程组及

得C点坐标是(－6，－7)或.

[梯度拔高练]

1．(多选)已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论错误的是(　　)

A．不存在k，使得l2的倾斜角为90°

B．对任意的k，l1与l2都有公共点

C．对任意的k，l1与l2都不重合

D．对任意的k，l1与l2都不垂直

解析：选AC　逐一考查所给的选项：A.存在k＝0，使得l2的方程为x＝0，其倾斜角为90°，故选项A错误．B.直线l1：x－y－1＝0过定点(0，－1)，直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)⇒k(x＋y＋1)＋x＝0过定点(0，－1)，故选项B正确．C.当k＝－时，直线l2的方程为x－y－＝0，即x－y－1＝0，l1与l2重合，选项C错误．D.两直线垂直，则1×(k＋1)＋(－1)×k＝0，方程无解，故对任意的k，l1与l2都不垂直，选项D正确．

2．若两直线kx－y＋1＝0和x－ky＝0相交且交点在第二象限，则k的取值范围是(　　)

A．(－1,0)  B．(0,1]

C．(0,1)  D．(1，＋∞)

解析：选A　由题意知k≠±1.联立

解得又交点在第二象限，∴

解得－1＜k＜0.故选A.

3．已知点P(2，－1)．

(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；

(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？

解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.

若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，

即kx－y－2k－1＝0.

由已知得＝2，解得k＝.

此时l的方程为3x－4y－10＝0.

综上可得，直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.

(2)作图可得过点P与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．

由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，

因为kOP＝－，所以kl＝－＝2.

由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.

所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离是＝.

4.如图所示，m，n，l是三条公路，m与n是互相垂直的，它们在O点相交，l与m，n的交点分别是M，N，且|OM|＝4，|ON|＝8，工厂A在公路n上，|OA|＝2，工厂B到m，n的距离分别为2,4.货车P在公路l上．

(1)要把工厂A，B的物品装上货车P，问：P在什么位置时，搬运工走的路程最少？

(2)P在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多？(假设货物一次性搬运完)

解：以m，n所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则有A(2,0)，B(－2，－4)，M(0,4)，N(－8,0)，故公路l所在的直线方程为x－2y＋8＝0.

(1)P在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求|PA|＋|PB|的值最小时P的位置．

设点A关于直线l的对称点A′(m，n)，

则解得∴A′(－2,8)．

又P为直线l上的一点，

则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当B，P，A′三点共线时等号成立，此时|PA|＋|PB|取得最小值|A′B|，点P就是直线A′B与直线l的交点．

联立解得∴P(－2,3)．

(2)由题意可知，原问题等价于求点P的位置，使||PB|－|PA||的值最大．A，B两点在直线的同侧，P是直线上的点，

则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时等号成立，此时||PB|－|PA||取得最大值|AB|，点P即直线l与直线AB的交点．

又直线AB的方程为y＝x－2，

由得∴P(12,10)．