第八章 第五节第一课时 椭圆及其性质课件PPT

课时跟踪检测（五十一）  椭圆及其性质

[素养落实练]

1．(多选)已知椭圆x2＋my2＝1的离心率e∈，则下列正确的是(　　)

A．焦点在x轴时，m∈

B．焦点在x轴时，m∈

C．焦点在y轴时，m∈

D．焦点在y轴时，m∈

解析：选AD　椭圆标准方程为＋＝1，

当椭圆的焦点在x轴上且e∈时，

则解得m∈；

当椭圆的焦点在y轴上且e∈时，

则解得m∈.

2．(2021·长沙一模)若椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1　　　　　 B.＋y2＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

解析：选C　由条件可知b＝c＝，a＝2，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.故选C.

3.如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　设圆柱的底面直径为d，则椭圆的短轴长为d，椭圆的长轴长2a＝＝d，所以a＝d.根据c＝得，c＝＝d，则椭圆的离心率e＝.故选A.

4．(2021年1月新高考八省联考卷)椭圆＋＝1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m＝(　　)

A．1   B.

C.  D．2

解析：选C　∵c＝＝1，b＝m，由∠F1AF2＝，得∠F1AO＝，

∴tan∠F1AO＝＝，解得m＝，故选C.

5．(多选)设椭圆＋＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<)与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是(　　)

A．|AF|＋|BF|为定值

B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]

C．当m＝时，△ABF为直角三角形

D．当m＝1时，△ABF的面积为

解析：选AD　设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，

∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；

△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，

∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0,6)，

∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；

将y＝与椭圆方程联立，可解得A(－，)，B(，)，

又∵F(，0)，∴·＝(－2，0)·(－，－)＝6－6<0，

∴△ABF不是直角三角形，C错误；

将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－，1)，B(，1)，

∴S△ABF＝×2×1＝，D正确．

6．(2021·武汉模拟)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1⊥PQ，且|PF1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为(　　)

A．2－   B．－

C．－1   D．－

解析：选D　设|PF1|＝|PQ|＝m(m＞0)，

则|PF2|＝2a－m，|QF2|＝2m－2a，|QF1|＝4a－2m.

由题意知△PQF1为等腰直角三角形，所以|QF1|＝|PF1|，故m＝4a－2a.

因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以(4a－2a)2＋[2a－(4a－2a)]2＝4c2，

整理得4×2＝36－24，即＝＝－，故选D.

7．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)

A．2  B．3

C．6  D．8

解析：选C　设点P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝3－.

因为点F(－1,0)，所以·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.

又x0∈[－2,2]，所以(·)max＝6.

8．焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为__________．

解析：由题意知解得

又b2＝a2－c2，∴b2＝9.

当焦点在x轴上时，椭圆方程为＋＝1；

当焦点在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.

答案：＋＝1或＋＝1

9．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．

解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，

即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．

因为点M在椭圆＋＝1上，

所以联立方程可得

解得

又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)．

答案：(3，)

10.我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道．“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是，(如图所示)，则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为________．

解析：根据题意，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，

因为地球半径为R，卫星近地点、远地点离地面的距离分别是，，

则a＝，c＝|OF1|＝R，则e＝＝＝.

答案：

11.如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．

解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，

所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.

(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，

由＝2，得

解得x＝，y＝－.

代入＋＝1，得＋＝1.即＋＝1，

解得a2＝3.所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，

所以椭圆方程为＋＝1.

12．(2021·南平模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e.

(1)若e＝，求椭圆的方程；

(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且＜e≤，求k的取值范围．

解：(1)由题意得c＝3，＝，所以a＝2，

又因为a2＝b2＋c2，所以b2＝3.

所以椭圆的方程为＋＝1.

(2)由得(b2＋a2k2)x2－a2b2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以x1＋x2＝0，x1x2＝，

依题意易知，OM⊥ON，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2.

因为＝(x1－3，y1)，＝(x2－3，y2)，

所以·＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋9＝0，

即＋9＝0，

将其整理为k2＝＝－1－.

因为＜e≤，所以2≤a＜3，即12≤a2＜18.

所以k2≥，即k∈∪.

[梯度拔高练]

1．(多选)(2020·苏州中学高三开学考试)如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ和Ⅱ的长半轴长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，离心率分别为e1，e2，则下列结论正确的是(　　)

A．a1＋c1>2(a2＋c2)  B．a1－c1＝a2－c2

C．a1c2>a2c1  D．e1＝

解析：选ABD　由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得2a2＝a1，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，可得a2＋c2＝c1.因为a1＋c1＝2a2＋a2＋c2，且a2>c2，则a1＋c1＝2a2＋a2＋c2>2(a2＋c2)，所以A正确；

因为a1－c1＝2a2－(a2＋c2)＝a2－c2，所以B正确；

因为a1c2＝2a2c2，a2c1＝a2(a2＋c2)＝a＋a2c2，则有a1c2－a2c1＝2a2c2－a－a2c2＝a2(c2－a2)<0，所以C错误；

因为e1＝＝＝，所以D正确．

2．已知椭圆C的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，过点F2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，点A关于坐标原点的对称点为B，且∠AF1B＝120°，S△F1AB＝，则椭圆C的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋y2＝1

C.＋＝1   D.＋y2＝1

解析：选C　由题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，如图，连接BF2，由椭圆的对称性易得四边形AF1BF2为平行四边形，由∠AF1B＝120°，得∠F2AF1＝60°，又AF2⊥F1F2，设|AF2|＝|BF1|＝m(m＞0)，则|F1F2|＝m，|AF1|＝2m，又S△F1AB＝·|BF1|·|F1F2|＝×m×m＝，解得m＝，又由2c＝|F1F2|＝m＝2,2a＝|AF1|＋|AF2|＝3m＝2，解得c＝1，a＝，b＝＝，则椭圆C的方程为＋＝1.故选C.

3．(2021·芜湖模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA·kPB∈，则离心率e的取值范围为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　设P(x0，y0)，直线y＝x过原点，

由椭圆的对称性设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，则kPAkPB＝×＝.

又＋＝1，＋＝1，两式作差，代入上式得kPAkPB＝－∈，故<1－<1，

所以e＝ ∈.

4.历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在此圆锥中，圆锥的母线与轴的夹角为30°，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与轴的交点O到圆锥顶点M的距离为1，对于所得截口曲线给出如下命题：

①曲线为椭圆；②点O为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点；③该曲线上任意两点间的距离中最长的距离为，最短的距离为；④该曲线的离心率为.其中正确命题的序号为(　　)

A．①②④  B．①②③④

C．①②③  D．①④

解析：选A　由题意易知曲线为椭圆，故①正确．画出轴截面的示意图如图所示，A，B为截面与圆锥的两条母线的交点.

因为∠AMO＝∠BMO＝30°，MA⊥AB，MO＝1，所以AO＝MO＝，又因为∠OMB＝∠OBM＝30°，所以BO＝MO＝1，所以＝.因为曲线上任意两点之间的线段中最长的线段为AB，所以点O为曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点，故②正确，故排除D.因为曲线是一个封闭的曲线，所以该曲线上任意两点间的距离中没有最短的距离，故③错误，排除选项B、C，故选A.

5．(2019·浙江高考)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．

解析：依题意，设点P(m，n)(n>0)，

由题意知F(－2,0)，

所以线段FP的中点M在圆x2＋y2＝4上，

所以2＋2＝4.                         ①

又点P(m，n)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1.   ②

联立①②，消去n，得4m2－36m－63＝0，

解得m＝－或m＝(舍去)，n＝，

所以kPF＝＝.

答案：

6．已知椭圆C的两个顶点分别为 A(－2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.

(1)求椭圆C的方程．

(2)点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.

解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．

由题意得解得c＝.所以b2＝a2－c2＝1.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)证明：设M(m，n)，则D(m,0)，N(m，－n)．

由题设知m≠±2，且n≠0.

直线AM的斜率kAM＝，

故直线DE的斜率kDE＝－.

所以直线DE的方程为y＝－(x－m)．

直线BN的方程为y＝(x－2)．

联立

解得点E的纵坐标yE＝－.

由点M在椭圆C上，得4－m2＝4n2，所以yE＝－n.

又S△BDE＝|BD|·|yE|＝|BD|·|n|，

S△BDN＝|BD|·|n|，

所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.