第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件PPT

课时跟踪检测（五十）  直线与圆、圆与圆的位置关系

[素养落实练]

1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是(　　)

A．相交　　　　　B．外切　　　　　C．相离　　　　　D．内切

解析：选A　圆O1圆心坐标为O1(1,0)，半径r1＝1，圆O2圆心坐标为O2(0,2)，半径r2＝2，圆心距|O1O2|＝＝，因为2－1<<2＋1，即r2－r1<|O1O2|<r1＋r2，所以圆O1与圆O2相交，故选A.

2．在圆x2＋y2＋2x－4y＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是(　　)

A.              B.                C.              D.

解析：选B　易知圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，即倾斜角是，故选B.

3(多选)已知圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1，直线l：y＝kx，下列四个命题为真命题的是(　　)

A．对任意实数k和θ，直线和圆相切

B．对任意实数k和θ，直线和圆有公共点

C．对任意实数θ，必存在实数k，使得直线与圆相切

D．对任意实数k，必存在实数θ，使得直线与圆相切

解析：选BD　圆M：(x＋cos θ)2＋(y－sin θ)2＝1恒过定点O(0,0)，直线l：y＝kx也恒过定点O(0,0)，故B正确；圆心M(－cos θ，sin θ)，圆心到直线的距离d＝＝≤1(α为辅助角)，则对任意实数k，存在θ，直线l和圆M的关系是相交或者相切，故D正确，A、C都错误．

4．(2021·日照模拟)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：ax－y＋4＝0.若直线l上存在点M，以M为圆心且半径为1的圆与圆C有公共点，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，－3]∪[3，＋∞)  B．[－3,3]

C．(－∞，－ ]∪[，＋∞)  D．[－， ]

解析：选C　由题意知，圆C：x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线l：ax－y＋4＝0的距离d≤2，

即≤2，解得a≤－或a≥ ，故选C.

5．(多选)(2021·厦门模拟)已知圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，圆M被x轴所截得的弦长为2，则下列结论正确的是(　　)

A．圆M的圆心在定直线x－y－2＝0上

B．圆M的面积的最大值为50π

C．圆M的半径的最小值为1

D．满足条件的所有圆M的半径之积为10

解析：选ABD　因为圆M与直线x＋y＋2＝0相切于点A(0，－2)，所以直线AM与直线x＋y＋2＝0垂直，即点M落在直线x－y－2＝0上，所以选项A正确；设点M的坐标为(a，a－2)，则圆M的半径r＝|a|，圆M的方程为(x－a)2＋(y－a＋2)2＝2a2.令y＝0，则(x－a)2＋(－a＋2)2＝2a2，即x2－2ax－4a＋4＝0.因为圆M被x轴所截得的弦长为2，所以＝2，解得a＝－5或a＝1，故圆M的面积的最大值为50π，圆M半径的最小值为，满足条件的所有圆M的半径之积为5×＝10，所以选项B、D正确，选项C错误．

6．在平面直角坐标系内，过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，则△ABC面积的最大值是(　　)

A．2         B．4         C.         D．2

解析：选A　过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2－2x－3＝0相交于A，B两点，

①当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，在y轴上所截得的线段长为d＝2×＝2，所以S△ABC＝×2×1＝.

②当直线的斜率存在时，设圆心到直线的距离为d，则所截得的弦长l＝2，所以S△ABC＝×2×d＝×≤＝2，当且仅当d＝时等号成立．又2>，所以△ABC面积的最大值为2.

7．(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.

解析：由题意得，圆心C(0，m)到直线2x－y＋3＝0的距离d＝＝r，又r＝|AC|＝，所以＝，解得m＝－2，所以r＝.

答案：－2　

8．(2020·天津高考)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为________．

解析：依题意得，圆心(0,0)到直线x－y＋8＝0的距离d＝＝4，

因此r2＝d2＋2＝25，又r>0，所以r＝5.

答案：5

9．(2021·武汉调研)已知两点A(a,0)，B(－a,0)(a＞0)，若圆(x－)2＋(y－1)2＝1上存在点P，使得∠APB＝90°，则正实数a的取值范围为________．

解析：以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，则由题意知圆(x－)2＋(y－1)2＝1与圆x2＋y2＝a2有公共点，则|a－1|≤≤a＋1，解得1≤a≤3.

答案：[1,3]

10．已知直线2x－y＋m＝0与圆x2＋y2＝5.

(1)若直线和圆无公共点，求m的取值范围；

(2)若直线和圆交于两点，且两个交点处的圆的半径互相垂直，求m的值．

解：(1)由已知，得圆心坐标为(0,0)，半径r＝，圆心到直线2x－y＋m＝0的距离d＝＝.∵直线与圆无公共点，∴d＞r，即＞，解得m＞5或m＜－5，故m的取值范围为(－∞，－5)∪(5，＋∞)．

(2)如图，∵交点处两条半径互相垂直，

∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形．

∴d＝r，即＝×，解得m＝±.

故当m＝±时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．

11．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由．

(2)证明：过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的两根，所以x1x2＝－2，

又点C的坐标为(0,1)，则·＝(－x1,1)·(－x2,1)＝x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0，

所以不能出现AC⊥BC的情况．

(2)证明：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，

由x1x2＝－2可知原点O在圆内，

则由相交弦定理可得|OC|·|OD|＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝2.

又|OC|＝1，所以|OD|＝2，

所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|＋|OD|＝3，为定值．

[梯度拔高练]

1．已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，)，则弦长为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：选A　将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2.∵线段AB的中点坐标为D(2，)，∴|CD|＝＝，∴|AB|＝2＝2.故选A.

2．(2020·广东八市联考)设过点P(－2,0)的直线l与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的两个交点为A，B，若8＝5，则|AB|＝(　　)

A.                B.              C.              D.

解析：选A　由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my－2，

由

得(m2＋1)y2－(8m＋2)y＋13＝0，

则y1＋y2＝，y1y2＝，又8＝5，

所以8(x1＋2，y1)＝5(x2－x1，y2－y1)，

故8y1＝5(y2－y1)，即y2＝y1，代入y1y2＝得：

y＝，故y＝×，

又(y1＋y2)2＝2，

即y＋y＋2y1y2＝×＋＝2，

整理得：m2－40m＋76＝0，解得m＝2或m＝38.

又|AB|＝ ＝2，

当m＝2时，|AB|＝；

当m＝38时，|AB|＝.

综上，|AB|＝.故选A.

3．已知圆E：x2＋y2－2x＝0，若A为直线l：x＋y＋m＝0上的点，过点A可作两条直线与圆E分别切于点B，C，且△ABC为等边三角形，则实数m的取值范围是________．

解析：设圆E的圆心为E，半径为r，圆E：x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心E(1,0)，半径r为1，由题意知直线l上存在点A，使得＝sin 30°＝，即|AE|＝2r.又因为|AE|≥d(d为圆心到直线l的距离)，故要使点A存在，只需d≤2r＝2，可得≤2，解得m∈[－2－1，2－1]．

答案：[－2－1,2－1]

4．(2020·南京五校联考)已知圆C：x2＋y2－8x－6y＋F＝0与圆O：x2＋y2＝4相外切，切点为A，过点P(4,1)的直线与圆C交于点M，N，线段MN的中点为Q.

(1)求点Q的轨迹方程；

(2)若|AQ|＝|AP|，点P与点Q不重合，求直线MN的方程及△AMN的面积．

解：(1)圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－3)2＝25－F，圆心C(4,3)，半径为，

由圆C与圆O相外切知＋2＝，

所以F＝16，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝9.

又点P(4,1)在圆C内，弦MN过点P，且Q是MN的中点，则CQ⊥MN，

所以点Q的轨迹就是以CP为直径的圆，方程为(x－4)2＋(y－2)2＝1.

(2)线段OC与圆O的交点为A，联立y＝x与x2＋y2＝4，解得点A.

若|AQ|＝|AP|，则P，Q是以点A为圆心，AP为半径的圆与点Q的轨迹的交点，

由2＋2＝2＋2与(x－4)2＋(y－2)2＝1得3x＋y－13＝0，

所以直线MN的方程为3x＋y－13＝0.

因为C(4,3)到直线MN的距离d＝＝，

所以|MN|＝2，

又点A到直线MN的距离h＝＝，

所以△AMN的面积S＝|MN|·h＝.