第八章 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程课件PPT

课时跟踪检测（四十七）  直线的倾斜角与斜率、直线方程

[素养落实练]

1．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　)

A．30°　　　　　　　　　　 B．60°

C．150°  D．120°

解析：选B　设直线的倾斜角为α，斜率为k，化直线方程为y＝x＋a，∴k＝tan α＝.∵0°≤α＜180°，∴α＝60°.

2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3,4)的直线上，则m的值为(　　)

A．5  B．2

C．－2  D．－6

解析：选C　过M，N两点的直线方程为＝，即x＋y－1＝0，

又点(3，m)在此直线上，

∴3＋m－1＝0，得m＝－2.

3．(多选)已知直线l：mx＋y＋1＝0，A(1,0)，B(3,1)，则下列结论正确的是(　　)

A．直线l恒过定点(0,1)

B．当m＝0时，直线l的斜率不存在

C．当m＝1时，直线l的倾斜角为

D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直

解析：选CD　直线l：mx＋y＋1＝0，故x＝0时，y＝－1，故直线l恒过定点           (0，－1)，选项A错误；

当m＝0时，直线l：y＋1＝0，斜率k＝0，故选项B错误；

当m＝1时，直线l：x＋y＋1＝0，斜率k＝－1，故倾斜角为，选项C正确；

当m＝2时，直线l：2x＋y＋1＝0，斜率k＝－2，kAB＝＝，故k·kAB＝－1，故直线l与直线AB垂直，选项D正确．

4．已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为(　　)

A．y＝x＋2  B．y＝x－2

C．y＝x＋  D．y＝－x＋2

解析：选A　因为直线x－2y－4＝0的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝x＋2.

5．(2021·安阳模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是(　　)

A.  B．(－∞，－2]

C．(－∞，－2]∪   D.

解析：选D　∵直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，

∴kPA＝＝－2，kPB＝＝，

又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，

∴－2≤k≤.

6．已知直线(a－1)x＋y－a－3＝0(a＞1)，当此直线在x轴、y轴上的截距和最小时，实数a的值是(　　)

A．1   B.

C．2  D．3

解析：选D　当x＝0时，y＝a＋3；当y＝0时，x＝.

令t＝a＋3＋＝5＋(a－1)＋.

因为a＞1，所以a－1＞0，所以t≥5＋2 ＝9，

当且仅当a－1＝，即a＝3时，等号成立．故选D.

7．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为____________．

解析：由已知，得BC的中点坐标为，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k＝－，故BC边上中线所在的直线方程为y＋＝－，即x＋13y＋5＝0.

答案：x＋13y＋5＝0

8．不论实数m为何值，直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点________．

解析：直线mx－y＋2m＋1＝0

可化为m(x＋2)＋(－y＋1)＝0，

∵m∈R，∴∴x＝－2，y＝1，

∴直线mx－y＋2m＋1＝0恒过定点(－2,1)．

答案：(－2,1)

9．若过点P(1－a,1＋a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角，且m＝3a2－4a，则实数m的取值范围是________．

解析：设直线的倾斜角为α，斜率为k，

则k＝tan α＝＝，

又α为钝角，所以＜0，

即(a－1)(a＋3)＜0，解得－3＜a＜1.

因为关于a的函数m＝3a2－4a的图象的对称轴为a＝－＝，

所以3×2－4×≤m＜3×(－3)2－4×(－3)，

所以实数m的取值范围是.

答案：

10．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．

解：(1)证明：直线l的方程可化为y＝k(x＋2)＋1，

故无论k取何值，直线l总过定点(－2,1)．

(2)依题意，直线l在x轴上的截距为－，

在y轴上的截距为1＋2k，且k＞0，

所以A，

B(0,1＋2k)，故S＝|OA||OB|＝××(1＋2k)＝≥×(4＋4)＝4，当且仅当4k＝，即k＝时取等号，故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.

[梯度拔高练]

1．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)

A．x＋2y＋3＝0  B．2x＋y＋3＝0

C．x－2y＋3＝0  D．2x－y＋3＝0

解析：选C　因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，又A(2,0)，B(0,4)，故AB的中点为(1,2)，kAB＝－2，故AB的中垂线方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，故选C.

2．已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　由f＝f知，函数f(x)的图象关于x＝对称，所以f(0)＝f，所以－b＝a，则直线ax－by＋c＝0的斜率为k＝＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为，故选D.

3．已知动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，且Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，则＋的最小值为________．

解析：∵动直线l0：ax＋by＋c－3＝0(a>0，c>0)恒过点P(1，m)，∴a＋bm＋c－3＝0.

又Q(4,0)到动直线l0的最大距离为3，

∴＝3，解得m＝0，∴a＋c＝3.

则＋＝(a＋c)＝≥＝，当且仅当c＝2a＝2时取等号．

答案：