云南省几市2022届高三上学期“3 3 3”高考备考诊断性联考数学（理）试题（一）

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2022届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）

理科数学

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，，则（    ）．

A．   B．   C．   D．

2．已知复数z满足，则z的共扼复数对应的点所在象限为（    ）．

A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

3．贵州六马盛产“蜂糖李”，其以果大味甜闻名当地．网红“李子哥”以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，大力推进绿色发展，现需订购一批苗木，苗木长度与售价如下表．由表可知苗木长度与售价y/元之间存在线性相关关系，回归方程为．当苗木长度为120cm时，估计价格为（    ）元．

A．36.5    B．35    C．37    D．35.5

4．已知，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，给出下列命题：

①若，，则；

②若，，则；

③若，，，，则；

④若，，则．

其中正确命题的个数为（    ）．

A．0    B．2    C．1    D．3

5．如图，达摩院青橙奖分别由陈杲、方璐（女）、金鑫、刘渊、陆盈盈（女）、王权、王志俊、韦东奕、赵慧蝉（女）、朱飞虎共10位青年科学家获得，每人获得奖金100万元，这也是青橙奖颁奖以来女科学家获奖人数首次达到三人．为了向他们表示敬意，某视频网站UP主准备从中随机选择三位科学家将他们的经历做一期视频，要求所选的三人中至少有一名女科学家，则有多少种不同的选择（    ）．

A．120    B．63    C．85    D．210

6．在满足不等式组的平面区域内随机取一点，设事件A为“”，那么事件A发生的概率为（    ）．

A．    B．    C．    D．

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（    ）．

A．4    B．    C．    D．6

8．已知且，则，则（    ）．

A．   B．    C．    D．

9．如图，在中，点M是AB上的点且满足，N是AC上的点且满足，CM与BN交于P点，设，，则（    ）．

A．   B．   C．   D．

10．已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点P在双曲线的左支上，点Q为圆上一动点，则的最小值为（    ）．

A．6    B．7    C．    D．5

11．函数的图象向右平移个单位得到函数，且在内没有零点，则的取值范围是（    ）．

A．        B．

C．        D．

12．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．

A．   B．    C．   D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知为等差数列，为其前n项和．若，，则______．

14．的展开式中的常数项为______．

15．已知x，y为正实数，且．则的最小值为______．

16．已知中，点，点，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，则满足条件的点C的轨迹长度为______．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

设是数列的前n项和，，，当时，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和．

18．（本小题满分12分）

某工厂为了提高某产品的生产质量引进了一条年产量为100万件的生产线，已知该产品的质量以某项指标值k为衡量标准．为估算其经济效益，该厂先进行了试生产，并从中随机抽取了100件该产品，统计了每个产品的质量指标值k，并分成以下5组，其统计结果如下表所示：

试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题：（注：每组数据取区间的中点值）

（1）由频率分布表可认为，该产品的质量指标值k近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差s，并已求得．记X表示某天从生产线上随机抽取的10件产品中质量指标值k在区间之外的个数，求及X的数学期望（精确到0.001）；

（2）已知每个产品的质量指标值k与利润y（单位：万元）的关系如下表所示（）：

假定该厂所生产的该产品都能销售出去，且这一年的总投资为500万元，问：该厂能否在一年之内通过销售该产品收回投资？试说明理由．

参考数据：若随机变量，则，，，．

19．（本小题满分12分）

如图甲，平面图形ABCDE中，，，，．沿BD将折起，使点C到F的位置，如图乙，使，．

（1）求证：平面平面AEG；

（2）点M是线段FG上的动点，当GM多长时，平面MAB与平面AEG所成的锐二面角的余弦值为？

20．（本小题满分12分）

如图，点M是圆上任意点，点，线段MB的垂直平分线交半径AM于点P，当点M在圆A上运动时，

（1）求点P的轨迹E的方程；

（2）轴，交轨迹E于Q点（Q点在y轴的右侧），直线与E交于C，D（l不过Q点）两点，且CQ与DQ关于BQ对称，则直线l具备以下哪个性质？证明你的结论？

①直线l恒过定点；②m为定值；③n为定值．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）若有两个极值点，求实数a的取值范围；

（2）当时，证明：．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）在平面直角坐标系xOy中，，，M点是曲线C上任意点，求面积的最大值，并求此时M的极径．

23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知，，，函数的最大值为4．

（1）求的值；

（2）求的最小值，并求此时a，b，c的值．

2022届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．为，，0，1，故选D．

2．，，故选C．

3．，，，，当，（元），故选A．

4．①对；②错；③错；④对，故选B．

5．，故选C．

6．符合条件的为图中阴影部分区域，，，

故根据几何概型事件A发生的概率为，故选C．

7．由三视图得其直观图如图所示，

则表面积为 ，故选B．

8．，，，

，，

，故选D．

9．，，

C，P，M三点共线，存在，

使  ①，

又N，P，B三点共线，存在实数，

使得 ②．

由①②，，，，故选B．

10．如图，圆G的圆心为，半径为1，，

．

，

当P，G，三点共线时，最小，最小值为，故选A．

11．，在内没有零点，

满足，，故选B．

12．，，，

令，，

令，，

∴在上单调递减，，

∴恒成立，∴在上单调递减．

∵，∴，

即，则，

即，故选D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．，，∴．

14．的展开式的第项为，

当时，，此时，

当时，，此时，

∴常数项为．

15．因为x，y是正实数，且，

所以，

当且仅当，时，等号成立．

16．如图，

∵，∴，

∴，∴，∴，

又，∴外接圆半径为，，

∴点C的轨迹长度为．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：（1）因为时，，则，

两式相减，，即，

∵，，

∴数列从第二项起构成公比为2，首项为1的等比数列，

∴，，

，不满足上式，∴．

（2）因为，∴，∴，

．

18．（本小题满分12分）

解：（1）由题意知样本的平均数为

，

所以，

而．

所以质量指标k在区间之外的概率为0.1814．

因为，

则，

．

（2）由题意知，每个产品的平均利润

，，

则，

令，得，

故当时，，当时，，

所以当时，y取得最大值，．

因为该生产线的年产量为100万个，

所以该生产线的年盈利的最大值为（万元），且845万元＞500万元，

所以该厂能在一年之内通过销售该产品收回投资．

19．（本小题满分12分）

（1）证明：∵，∴，且．

∵，．，

∴平面ABDE，

∴上平面ABDE，四边形BFGE为矩形．

∴，

∵，，，

∴，则，

∴，，∴平面AEG，

∵平面GEBF，∴平面平面AEG．

（2）解：由（1）可知，EA，EB，EG两两垂直，建立如图空间直角坐标系，

∵，，

∴，，，

设，则，，，

设平面MAB的一条法向量为，

，

令，则，，

∴，平面AEG的一条法向量，

，

设平面MAB与平面AEG所成锐二面角为．

则，，

由题意，，解得，

故当时，平面MAB与平面AEG所成锐二面角的余弦值为．

20．（本小题满分12分）

解：（1）如图，由方程，得，半径，

∵P在BM的垂直平分线上，∴，

则，

∴P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，

由，则，，，

∴点P的轨迹E的方程为．

（2）∵直线l与轨迹E交于C、D两点，设，，如图，

消x，得，

整理，得，

，，

由题意得：，，，，

，即，

∵，，

∴整理：，

，

即，即，

若，则C，D，Q三点共线，不合题意，

∴，即，∴直线l中m为定值．

21．（本小题满分12分）

（1）解：的定义域为，,

由题意在上有两解，

即，即有两解．

令，即的图象与直线有两个交点．

，得，

当时，，递增；

当时，，递减，

∴，．

时，；时，，

∴，∴，∴a的取值范围是．

（2）证明：当时，，

即证，即证，

令，，

令，则，

当时，，∴在递增．

，，

∴存在唯一的，使得，

当时，，递减；

当时，，递增，

∴．

又∵，，∴，

∴，

∴，∴．

22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

解：（1）曲线C的参数方程（为参数）化为普通方程为．

∵，∴曲线C的极坐标方程：，

即．

（2）设，，

直线AB方程为，

M到直线AB的距离，

，

当，即，

即时，取得最大值．

此时，则M的极径．

23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

解：（1）∵，，，

，

∴．

（2）由（1），根据柯西不等式，有

，

∴，

当且仅当，即，，兰时，

取得最小值．